精品解析：江苏省南京市文枢高级中学2024-2025学年高二下学期6月期末学业质量监测数学试卷

2024—2025学年度第二学期期末学业质量监测卷 高二数学 命题人：陈捷 审题人：耿豪 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性得到，即可求解集合的交集. 【详解】集合，集合，所以， 故选:C. 2. 已知函数，则(　　) A. 4 B. C. －4 D. － 【答案】B 【解析】 【详解】本试题主要是考查了分段函数的求值问题. 因为函数，则，故选B. 解决该试题的关键是从内向外依次代入对应的关系式求解函数值即可. 3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小 【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关， 囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1， 所以， 故选：A 4. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 5. 设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由对称轴求解. 【详解】解：函数的对称轴方程为：， 因为函数在区间上是减函数， 所以，解得， 故选：B 6. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、，再应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由题设，“3个人都没去A景点且甲独自去一个景点”，甲与乙丙看作两组安排到2个景点有2种方法， “甲独自去一个景点”，甲在3个景点任选一个，其它两人在余下的2个景点任选， 又3人在3个景点任选有种，所以，， 所以. 故选：B 7. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 8. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 6 当在上变化时，的数学期望的变化情况为（ ） A. 单调递增 B. 先减后增 C. 单调递减 D. 先增后减 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的分布列求出的数学期望，再结合二次函数的性质逐项判断作答. 【详解】依题意，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的数学期望是先增后减. 故选：D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列命题成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若不等式的解集是，则 C. 若，，则 D. 若a，b满足，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、一元二次不等式的解法、基本不等式等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，取，，，，则，则A错误； 对于B，方程的两根分别为1和2，则，，解得，，所以，则B正确； 因为，，所以，则C正确； 由，，得，又，所以，即的取值范围是，则D错误. 故选：BC 10. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，下列说法正确的有（ ） A. B. 相关系数 C. 样本数据的残差为 D. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据线性回归方程必过样本中心点运算求解；对于B：根据正相关的定义分析判断；对于C：代入，结合残差的定义运算求解；对于D：代入，结合回归方程的意义分析判断. 【详解】对于选项A：因为线性回归方程必过样本中心点， 由题意可得：，故A正确； 对于选项B：因为，即线性回归方程为的图象是上升的， 可知与满足正相关，所以相关系数，故B正确； 对于选项C：令，可得， 所以样本数据的残差为，故C正确； 对于选项D：令，可得， 但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等， 所以预测物理成绩为92.5，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的性质求解判断. 【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误， 令，得所有项的系数和为，故B正确， 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误， 因为展开式通项为， 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确． 故选：BD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 14. 四棱锥的底面是平行四边形，且，若则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用三点共线的向量表达式可以得到，再运用三角形法则和向量相等，转化为表示即可 【详解】 如图，由于，则运用三点共线的向量表达式可以得到，． 即 则，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}. （1）若a＝3，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）[﹣4，5]；（2）a≥6. 【解析】 【分析】 （1）当a＝3时，化简集合A，利用并集定义求解即可； （2）由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，列出不等式解出实数a的取值范围． 【详解】（1）当a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]， B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]， 所以，A∪B＝[﹣4，5] （2）A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件， 所以， 所以，所以a≥6. 所以，当a≥6时，“x∈A”是“x∈B”的必要条件. 16. 已知二次函数，满足，. （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的值域； （3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由已知代入得， ，建立方程组，解之可得函数的解析式； （2）由（1）得：，再求得，，由此可求得所求的值域； （3）根据二次函数的对称性，建立不等式或，解之可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由，得，由，得， 故，解得， 所以. （2）由（1）得：， 则的图象的对称轴方程为，. 又，， 所以在区间上取值域为； （3）由于函数在区间上单调， 因为二次函数的二次项系数不等于.且图象的对称轴方程为， 所以或，解得：或， 因此的取值范围为：. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为是平面内以为直径的半圆的三等分点， 所以，所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面PBC． （2）． 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）先建立空间直角坐标系，先求平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可以取， 设直线与平面所成角为， 所以， 故与平面所成角的正弦值为． 18. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值是，极小值是； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【小问1详解】 ，由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； 【小问2详解】 由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 19. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为. （1）求学生小杰获得奖品的概率； （2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率； （3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事件：学生通过第轮且继续答题，结合全概率公式和，即可求解； （2）根据题意，结合，即可求解； （3）由题意，随机变量可取，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开， 事件：学生通过第轮且继续答题，）， 由题意得，. 记事件：学生获得奖品.则， ， ， ， . 【小问2详解】 学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：. 【小问3详解】 由题意，随机变量可取， 可得， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期末学业质量监测卷 高二数学 命题人：陈捷 审题人：耿豪 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则(　　) A. 4 B. C. －4 D. － 3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 8. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 6 当在上变化时，的数学期望的变化情况为（ ） A. 单调递增 B. 先减后增 C. 单调递减 D. 先增后减 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列命题成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若不等式的解集是，则 C. 若，，则 D. 若a，b满足，则的取值范围是 10. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，下列说法正确的有（ ） A. B. 相关系数 C. 样本数据的残差为 D. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 11. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 14. 四棱锥的底面是平行四边形，且，若则_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}. （1）若a＝3，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围. 16. 已知二次函数，满足，. （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的值域； （3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 18. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为. （1）求学生小杰获得奖品的概率； （2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率； （3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $