精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

川沙中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，若，则______． 2. 函数的导函数________． 3. 不等式的解集为________. 4. 的展开式中项的系数为______． 5. 若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 6. 现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则__________. 7. 已知函数，则函数的定义域为________． 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为______________． 10. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 11. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是__________. 12. 已知函数，若，则最大值为______ 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分．） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（ ） ①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为． A. 只有一个正确 B. 只有两个正确 C. 只有一个错误 D. 四个题是错误的 16. 已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；命题乙：若函数的最小正周期是，则．下列选项正确的是（ ） A. 甲和乙均为真命题 B. 甲和乙均为假命题 C. 甲为真命题且乙为假命题 D. 甲为假命题且乙为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． （1）求的表达式； （2）若，实数满足，求的取值范围． 19. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）能否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 21. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川沙中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 2. 函数的导函数________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入数值计算即得答案. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 3. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两式相乘或相除时，同号为正，异号为负，列出不等式组求解即可得到解集. 【详解】由可得： ，解得， 或，此种情况无解， 综上，的解集为. 故答案为：. 4. 的展开式中项的系数为______． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10. 5. 若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 6. 现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出. 【详解】由题意知，，， 所以. 故答案为：. 7. 已知函数，则函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，再根据条件得，即可求解. 【详解】由，得到，所以的定义域为， 又，由，解得，所以的定义域为为， 故答案为：. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为：. 9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，进而可得新的平均数，根据回归直线方程过样本中心结合条件即得. 【详解】因为，且， 所以， 去除两个歧义点和后新的平均数为： ，，又新的回归直线的斜率为3， 所以， 所以新的回归直线方程为. 故答案为：. 10. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 11. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解. 【详解】，令得， 时，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 若函数在上有最小值，则其最小值必为， 则必有且， 即且， 则且，解得， 故答案为：. 12. 已知函数，若，则最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意函数，根据得，即，令，通过导数求的最大值即可. 【详解】由题意，， 注意到，， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由得，然后结合导数求解待求表达式最大值即可. 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分．） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式的性质求解 【详解】对于A. ，，则，成立 对于B. ，，； 对于C. ，； 对于D. 若，则不成立 故选A. 14. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 15. 下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（ ） ①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为． A. 只有一个正确 B. 只有两个正确 C. 只有一个错误 D. 四个题是错误的 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的运算性质得①正确，利用相关系数的性质得②错误，利用条件概率公式和相互独立事件的判断方法可得③错误，利用百分位数的求法可得④错误，即可求解． 【详解】对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为， 标准差为，所以命题①正确， 对于命题②，相关关系越强，相关系数越接近于1，所以命题②错误， 对于命题③，因为，得到， 则事件与事件相互独立，所以命题③正确， 对于命题④，将数据从小排到大得到， 又，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误， 故选：B. 16. 已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；命题乙：若函数的最小正周期是，则．下列选项正确的是（ ） A. 甲和乙均为真命题 B. 甲和乙均为假命题 C. 甲为真命题且乙为假命题 D. 甲为假命题且乙为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数和反证法验证两个命题. 【详解】甲:存在不是周期函数， (反证法)假设是周期函数， 则存在非零常数，使得对，都有， 即①， 在①式中，取，得②， 在①式中，取，得③， 在①式中，取，得④， 由③④得，， 所以⑤， 由②⑤得，，所以， 显然，所以，所以存在且，使， 又，所以存在，使得， 所以，所以，所以是有理数，矛盾， 所以不是周期函数，正确; 乙:取，则，所以，错误; 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 证明：在四棱锥中， 取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且. 又因为底面是正方形，是的中点， 所以，且.所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 由于平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以.又因为平面. 所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系. ，，，，，. ，， 设平面的法向量为.有：即令，则， 所以..设直线与平面所成角为. 有：. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． （1）求的表达式； （2）若，实数满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； 【小问2详解】 由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 19. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）能否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对作答. （2）根据给定条件，利用全概率公式计算作答. （3）由二项分布的期望、方差公式，结合期望、方差的性质计算作答. 【小问1详解】 零假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关， 由给定的数表得，， 于是不成立，所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关. 【小问2详解】 记事件：小张周一选择平台买菜；事件：小张周二选择平台买菜， 则，，， 由全概率公式得， 所以小张周二选择平台买菜的概率为. 【小问3详解】 依题意，喜欢网上买菜的概率为， 显然从社区随机抽取20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，即， 因此，而， 则， 所以，. 20. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2）①证明见解析，；②直线OM与ON的斜率之积为. 【解析】 【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值. 【小问1详解】 因为焦距为，即，所以， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设. 由得， ，. ①因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，. 所以. 所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即. 故线段的垂直平分线恒过定点. ②由弦长公式得， 坐标原点到直线的距离为， 所以的面积为. 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 21. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可； （2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可； （3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可； 法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，记m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【详解】（1）当时， ，． 设直线与曲线相切于点， 则，即， 解得，即切点为， 因为切点在上，所以，解得． （2）不等式可化为． 记， 则对任意恒成立． 考察函数， ，． 当时， ，在上单调递减，又， 所以，不合题意； 当时， ，；， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递增， 所以时， ，符合题意； 若，即时，在上单调递减， 所以当时， ，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． （3）方法一：，，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以， ， 从而 ． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增，又， 不等式可化为，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 方法二：， ，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以，． 设，则， ，所以， ， ， 从而等价于，． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增． 又， ，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $