第04讲 充分条件与必要条件 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断充分条件与必要条件 【题型二】 根据充分、必要条件求参数范围 【题型三】 根据充要条件求参数 【题型四】 充要条件的证明 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题； 4.能对充分条件进行证明. 【题型一】 判断充分条件与必要条件 相关知识点讲解 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 结论 1 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则. 【典题1】 （2025高二下·湖南株洲·学业考试）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 【典题2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若，则,分与讨论，结合元素的互异性求出，再根据充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 变式练习 1 （23-24高一上·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据点和圆的位置关系可得选项A错误；举例可说明选项B错误；根据等腰三角形和等边三角形的关系可得选项C错误；举例可说明选项D正确. 【详解】A. “点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，选项A错误. B. 若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等， 由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，选项B错误. C.由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，选项C错误. D.若，则，为无理数，但是有理数， 若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数， 故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，选项D正确. 故选：D. 3（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 4（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【知识点】必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】时，有，满足，则是的充分条件； 时，有或，不能得到，则不是的必要条件. 所以是的充分非必要条件. 故选：A 【题型二】 根据充分、必要条件求参数范围 【典题1】 （2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 变式练习 1（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 2（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义可得，结合集合间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 3（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 4（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 【题型三】 根据充要条件求参数 相关知识点讲解 (1)充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有， 就记作，此时即是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. (2)充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. (3)充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是是等价. (4) 命题对应集合，若是的充要条件，则. 【典题1】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 变式练习 1．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 2．（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 3（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 【题型四】充要条件的证明 【典题1】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【典题2】．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 变式练习 1（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 2（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【知识点】求集合的子集（真子集）、充要条件的证明 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 3（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集． 【答案】(1)是封闭集；集合不是封闭集，理由见解析 (2)命题是真命题，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、充要条件的证明、集合新定义 【分析】（1）根据封闭集的定义结合元素特征进行检验即可判断； （2）先推充分性，由可任取，推即得；再推必要性，由是封闭集易得，故为真命题； （3）对非空集合进行分类考虑，当时，，得证；当时，运用反证法思想，假设是封闭集合，分和两种情况进行分析讨论，引出矛盾，从而得证. 【详解】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． （2）命题是真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． （3）因非空集合是封闭集合， 当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 若，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，也不是封闭集合， 所以的补集不是封闭集． 【A组---基础题】 1. （2025高一·全国·专题练习）“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，但菱形的对角线一定垂直. 【详解】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 2（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 3（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 4（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 5（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 6（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 7（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 8（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)充分不必要条件，证明见解析 【知识点】列举法表示集合、充要条件的证明、集合新定义 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义，不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集，所以不具有性质． （2）依题意，集合的元素构成有序数对 ，共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）1）当集合具有性质时， ①对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此也是中不同的元素， 所以的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此和也是中不同的元素， 即的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②知； 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 【B组---提高题】 1（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 2（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 3（24-25高一上·山东淄博·期末）已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】(1)不具有性质 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、集合新定义 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断充分条件与必要条件 【题型二】 根据充分、必要条件求参数范围 【题型三】 根据充要条件求参数 【题型四】 充要条件的证明 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题； 4.能对充分条件进行证明. 【题型一】 判断充分条件与必要条件 相关知识点讲解 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 结论 1 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则. 【典题1】 （2025高二下·湖南株洲·学业考试）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典题2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式练习 1 （23-24高一上·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 3（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【题型二】 根据充分、必要条件求参数范围 【典题1】 （2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 4（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【题型三】 根据充要条件求参数 相关知识点讲解 (1)充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有， 就记作，此时即是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. (2)充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. (3)充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是是等价. (4) 命题对应集合，若是的充要条件，则. 【典题1】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式练习 1．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【题型四】充要条件的证明 【典题1】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【典题2】．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 变式练习 1（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 2（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 3（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集． 【A组---基础题】 1. （2025高一·全国·专题练习）“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 2（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 7（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 8（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【B组---提高题】 1（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 2（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 3（24-25高一上·山东淄博·期末）已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$