精品解析：湖北省十堰市2024-2025学年高二下学期6月期末调研考试数学试题

十堰市2024—2025学年度下学期期末调研考试 高二数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2. 展开式中的系数为（ ） A. B. 180 C. D. 960 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 356 B. 166 C. 246 D. 156 5. 若函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 除以64的余数为（ ） A. 13 B. 33 C. 23 D. 31 7. 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸60km的B处，BD垂直于河岸，垂足为D，且D与A相距70km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米3t元和6t元，设，铺设水管的总费用为，则当最小时，（ ） A. B. C. 2 D. 8. 某答题闯关活动规则如下：参与者闯关前积分为1分，每次闯关成功加1分，闯关失败扣1分.积分为0结束闯关，或自愿放弃闯关，此时累计积分可兑换相应奖励.甲参与答题闯关活动，且每次闯关成功的概率为，每次闯关相互独立，在甲闯关5次的条件下，甲累计积分不低于3分的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 既有极大值，也有极小值 D. 曲线在处的切线斜率为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则__________. 13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.曲线在点处的曲率为__________，设曲线的曲率为K，则的极大值为__________. 14. 来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑.马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础.为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 100 女 60 合计 200 （1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关； （2）依据统计表，用分层抽样方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为X，求X的分布列及期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5024 6.635 10.828 16. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列. （2）设，求数列的前n项和. （3）若，求满足条件的最小整数n. 17 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求a，b； （2）若有三个零点，求a的取值范围； （3）若只有一个极值，求a的取值范围. 18. 近年来，中国新能源汽车市场快速发展，续航里程和电池容量是消费者最关心指标之一.某研究机构测试统计市场上10款主流新能源汽车的电池容量（单位：kWh）和官方标称续航里程（单位：km），数据如下： x 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 y 300 320 350 380 400 430 450 480 500 520 （1）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程（精确到整数），并预测电池容量为100kWh时的续航里程. （2）由于各种因素的影响，新能源汽车的实际续航里程有的概率比官方标称续航里程多50km，有的概率比官方标称续航里程少50km，有的概率与官方标称续航里程相等，现从以上10款新能源汽车中随机抽取一辆，求实际里程不低于450km的概率. （3）若根据个人驾驶习惯和环境因素统计得到某新能源汽车第一年实际续航里程与官方标称续航里程相符的概率为.从第二年起，若上一年实际续航里程与官方标称续航里程相符，则这一年实际续航里程与官方标称续航里程仍相符的概率为；若上一年实际续航里程与官方标称续航里程不相符，则这一年实际续航里程与官方标称续航里程相符的概率为.记第n年实际续航里程与官方标称续航里程相符的概率为，求，并解不等式. 附：，，，. 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十堰市2024—2025学年度下学期期末调研考试 高二数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导数定义计算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 2. 展开式中的系数为（ ） A. B. 180 C. D. 960 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】因为通项， 令，得. 故选：C. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性计算可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 4. 等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 356 B. 166 C. 246 D. 156 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，由等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：B. 5. 若函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调递增得出有解，再构造函数得出最值即可求参. 【详解】因为存在单调递增区间，所以有解， 即关于x的不等式有解. 令，则，易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即. 故选：A. 6. 除以64的余数为（ ） A. 13 B. 33 C. 23 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理得到，所求余数即为801除以64的余数，得到答案. 【详解】因 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数. 因为，所以除以64的余数为33. 故选：B 7. 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸60km的B处，BD垂直于河岸，垂足为D，且D与A相距70km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米3t元和6t元，设，铺设水管的总费用为，则当最小时，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用导数判断出单调性再求最值可得答案. 【详解】由题意可知，，， 则， 因为，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，此时. 故选：B. 8. 某答题闯关活动规则如下：参与者闯关前积分为1分，每次闯关成功加1分，闯关失败扣1分.积分为0结束闯关，或自愿放弃闯关，此时累计积分可兑换相应奖励.甲参与答题闯关活动，且每次闯关成功的概率为，每次闯关相互独立，在甲闯关5次的条件下，甲累计积分不低于3分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式及条件概率公式计算求解. 【详解】5次闯关都成功积6分的概率为； 5次闯关成功4次积4分的概率为； 5次闯关成功3次积2分的概率为； 5次闯关成功2次积0分的概率为. 故甲闯关5次的概率为，其中积分不低于3分的概率为， 在甲闯关5次的条件下，甲累计积分不低于3分的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 既有极大值，也有极小值 D. 曲线在处的切线斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AB选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】由图可知，当时，； 当时，. 故在、上单调递减，在上单调递增，A错B对， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，C对， 因为，所以曲线在处的切线斜率为，D对. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出通项，得到；BC选项，赋值法求出答案；D选项，先求导，再赋值得到答案. 【详解】A选项，因为通项，所以，故A错误； B选项，因为，，，，，，， 所以， 中， 令得， 即，故B正确； C选项，令，得，令，得， 所以，故C正确； D选项，令， 则， 令，则，所以D正确. 故选：BCD 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入计算判断A，结合递推公式化简计算特殊项判断B，应用二次函数值域结合递推公式判断范围判断C，应用裂项相消计算判断D. 【详解】当时，，所以A正确. 当时，，即， 所以.当时，，故B错误. 因为，所以. 因为，所以，故C正确. 因为，所以， 所以，所以， 所以 ，故D正确 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况结合等比数列前项和公式计算即可. 【详解】设等比数列首项为， 当等比数列的公比时，有， 即，，所以，此时不符合题意，故， 当等比数列的公比时， 有，， 则，解得. 故答案为： 13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.曲线在点处的曲率为__________，设曲线的曲率为K，则的极大值为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由函数解析式求导，利用题目中的公式求解，根据导数以及极值的定义，可得答案. 【详解】令，则，.因为，， 所以曲线在点处的曲率为. 令，则，，所以. 令，则. 由且，则解得， 由，得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为. 故答案为：；. 14. 来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为__________. 【答案】88 【解析】 【分析】应用分类加法原理结合部分平均分组及排列数组合数的计算求解. 【详解】当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且只去1个景点时，有种选择，再将其他4个景点分给B，C，有种选择，共有种选择； 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去2个景点时，有种选择，再将其他3个景点分给B，C，有种选择，共有种选择； 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去3个景点时，有种选择，再将其他2个景点分给B，C，有种选择，共有种选择； 当A选择北京故宫、西安兵马俑这2个且只去2个景点时，只需将其他3个景点分给B，C，有种选择； 当A选择北京故宫、西安兵马俑且去3个景点时，有种选择，只需将其他2个景点分给B，C，有种选择，共有种选择. 故共有88种不同的打卡方案. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑.马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础.为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 100 女 60 合计 200 （1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为X，求X的分布列及期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知数据完成列联表，求出可得答案； 按照分层抽样，从男性中抽取3人，从女性中抽取2人，求出X取值及相应的概率，再根据期望公式计算可得答案. 【小问1详解】 列联表如下. 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 因为， 所以没有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关； 【小问2详解】 按照分层抽样，从男性中抽取3人，从女性中抽取2人， 所以X的取值可能是0，1，2. 因为，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P . 16. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列. （2）设，求数列的前n项和. （3）若，求满足条件的最小整数n. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1000 【解析】 【分析】（1）化简整理数列的递推公式，根据等比数列的概念，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，根据对数运算化简通项，利用裂项相消，可得答案； （3）利用等比数列的求和公式，根据数列的单调性，可得答案. 【小问1详解】 证明：因为，所以，所以. 因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，则. 因为，所以. 设数列的前n项和为，则. 【小问3详解】 由（2）知，所以. 令，易知单调递增. 因为，， 所以满足条件的最小整数为1000. 17. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求a，b； （2）若有三个零点，求a的取值范围； （3）若只有一个极值，求a的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数求导，由导数的几何意义，利用切点与斜率，建立方程组，可得答案； （2）由零点的等价关系，将问题转化为两个函数求交点，利用导数研究函数的单调性，并求得极值，可得答案； （3）根据极值得定义，可得其导数存在一个变号零点，由零点的等价关系，将问题转化为两个函数求交点，利用导数研究函数的单调性，并求得极值，可得答案； 【小问1详解】 因为，所以. 因为，， 所以，得. 【小问2详解】 若有三个零点，则直线与曲线有三个交点. 令，则， 由得，由得或， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以. 【小问3详解】 若只有一个极值，则只有一个变号根. 因为， 所以关于x的方程只有一个变号根且这个根不为0， 即直线与曲线只有一个变号交点. 令，则， 由得，由得或， 则在，上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以或，故. 18. 近年来，中国新能源汽车市场快速发展，续航里程和电池容量是消费者最关心的指标之一.某研究机构测试统计市场上10款主流新能源汽车的电池容量（单位：kWh）和官方标称续航里程（单位：km），数据如下： x 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 y 300 320 350 380 400 430 450 480 500 520 （1）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程（精确到整数），并预测电池容量为100kWh时的续航里程. （2）由于各种因素的影响，新能源汽车的实际续航里程有的概率比官方标称续航里程多50km，有的概率比官方标称续航里程少50km，有的概率与官方标称续航里程相等，现从以上10款新能源汽车中随机抽取一辆，求实际里程不低于450km的概率. （3）若根据个人驾驶习惯和环境因素统计得到某新能源汽车第一年实际续航里程与官方标称续航里程相符的概率为.从第二年起，若上一年实际续航里程与官方标称续航里程相符，则这一年实际续航里程与官方标称续航里程仍相符的概率为；若上一年实际续航里程与官方标称续航里程不相符，则这一年实际续航里程与官方标称续航里程相符的概率为.记第n年实际续航里程与官方标称续航里程相符的概率为，求，并解不等式. 附：，，，. 【答案】（1），600.5km （2） （3），，且 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法公式结合题中给的参考数据计算即可求解回归方程，进而可预测电池容量为100kWh时的续航里程； （2）根据全概率公式计算即可； （3）由意义得，根据等比数列概念求得，列不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 因为， ， 所以， 所以y关于x的经验回归方程为. 当时，，所以预测电池容量为100kWh时的续航里程为600.5km. 【小问2详解】 由表中数据知官方标称续航里程为300km，320km，350km，380km的4款车实际续航里程低于450km； 官方标称续航里程为500km，520km的2款车实际续航里程不低于450km； 官方标称续航里程为400km，430km的2款车实际续航里程不低于450km的概率为； 官方标称续航里程为450km，480km的2款车实际续航里程不低于450km的概率为. 故从中随机取一辆车，其实际里程不低于450km的概率为. 【小问3详解】 当时，； 当时，，所以. 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 由，得，所以，且. 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，讨论的取值范围可得的单调性. （2）根据条件可得恒成立，分离参数，构造函数，通过导数求函数的最值可得结果. （3）分析条件可得，通过构造函数、分析函数单调性可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，上单调递增，在和上单调递减. 【小问2详解】 （方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则.令，则在上单调递增. 因为，所以，即. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. ， ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不恒成立. ②当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，且， 所以当时，恒成立. 【小问3详解】 设，由（2）得，， 当时，，此时. 因为，，当时，， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且. 由得，， 因为函数在上单调递增，且，所以， 所以，故. 又，所以. 令，则. 要证，只要证，即证. 方法一：要证，即证. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 所以，即成立，故. 方法二：要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$