专题01 比例线段、黄金分割比及平行线分线段成比例5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题01 比例线段、黄金分割比及平行线分线段成比例 目录 典例详解 类型一、利用比例性质求解 类型二、黄金分割点求线段 类型三、黄金分割点的有关证明 类型四、由平行截线求有关线段或比值 类型五、构造平行截线求有关线段或比值 压轴专练 类型一、利用比例性质求解 比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 【例1】若，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 【例2】，，为非零实数，且，若，则等于（    ）. A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【详解】设，从而有，. 化为整式方程有 三式相加，可得. 题设，故知. 从而可知 于是. 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 【变式1-1】已知为的三边，且，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴，，， 可得， ∴， ∵a、b、c为的三边， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式1-2】若，则的值为 ． 【答案】-1或8 【详解】设=k， ∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c）， ∴（a+b+c）(2-k)=0， 当a+b+c=0时，即a+b=-c， ∴k===-1， ∴==k3=-1， 当a+b+c≠0时，则2-k=0， 解得：k=2， ∴==k3=8， 故答案为：-1或8 【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键． 【变式1-3】（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 类型二、黄金分割点求线段 黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 【例3】如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 【答案】/ 【详解】解：， ， ∵点E为线段的黄金分割点，， ，即，解得：， ． 故答案为：． 【例4】我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： ①边为矩形的长时，则矩形的宽为， 矩形的周长为：； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为：， 矩形的周长为； 综上所述，该矩形的周长为或， 故答案为：或． 【变式2-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：或． 【变式2-2】如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， ， ，， ， ∵点为线段的黄金分割点， 设， 则， ， 化简得，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2-3】定义：若线段上有一点满足，则称点为线段的黄金分割点．与的比叫作黄金比．设黄金比为，则的值为 ． 【答案】 【详解】 解： 设，，则， 线段上有一点满足， ，则， ， ，即， 整理得：， ， ，即，， ， ， 故答案为：． 类型三、黄金分割点的有关证明 【例5】【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 【例6】在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形中，当时，称矩形为黄金矩形．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 【答案】见解析 【详解】证明：在上截取，，连接，则， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ， 又， 四边形是正方形， ∵，， ∵， ， 矩形的长与宽的比是黄金分割比，矩形是黄金矩形， 黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 【点睛】此题考查了黄金分割比的意义，矩形的性质，正方形的判定和性质，分母有理化．正确理解黄金矩形的定义是解决问题的关键． 【变式3-1】（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）如图，即为所求， （2）证明：设长为x，则长为， ， ． ， ， ， ， 即点P是线段的黄金分割点． 【变式3-2】如图，已知中，，且，请在图中按如下要求进行操作和证明： (1)用圆规在上截取，保留痕迹，标注点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，保留痕迹，标注点； (2)证明点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）根据题意画图如下： （2）解：设，则，， 由题意得，， 则， ， 则点是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了尺规作图和黄金分割的定义，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 类型四、由平行截线求有关线段或比值 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【例7】如图，在中 ，，，，则 的长为 【答案】4 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：4． 【例8】如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点B关于的对称点为F， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平行四边形的性质求解，根据成轴对称图形的特征进行求解，由平行截线求相关线段的长或比值，勾股定理，解题关键是根据平行截线求相关线段的长． 【变式4-1】如图，若，，，，则 ；若，，，则 ；若，，则 ， ． 【答案】 / 4 6 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得：； ∵，，，， ∴，即， 解得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； 故答案为：；；4，6． 【变式4-2】如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 【变式4-3】如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点O作交于点E、连接，交于点F，过点作交于点G，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型五、构造平行截线求有关线段或比值 【例9】如图，在中，点是的中点，于点，于点，，分别交于点，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，过点作， ∵四边形是平行四边形，点是的中点， ∴，，， ∵，， ∴，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 【例10】等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作，交于点D， 则； 设，则， ∵， ∴； 设； ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】如图，在中，为的中点，为靠近点的三等分点，与交于点．过点作内角平分线的平行线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的平分线，交于点，过点作，交于点， ∴， ∵为中点， ， ∴， ∵为靠近点的三等分点， ， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，，对角线，交于点．若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过作于点，过作于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)若，，，，则的长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点F，交于点P， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．若，则直线的图象必经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三象限 C．第二、三、四象限 D．以上均不正确 【答案】B 【详解】解：①当时，由比例的性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 2．如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴设，则， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：D． 3．点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作交于， ∴，， ∵是的中点，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：D． 5．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 6．如图，在正方形中，，分别是，上的点（不与点，重合），，与交于点，取的中点，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交，于点，，连接． 四边形是正方形， ， ，， 四边形，四边形是矩形， ，，， ∴ 是的中点， ∴ ， ， 由正方形性质可知， ，是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：C． 二、填空题 7．如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）    【答案】 【详解】解：设，则， ， ， 解得（舍）， ， 同理可求， ， ∴， ∴． 故答案为：． 9．在中，，，，为中点，点在射线上运动，直线交直线于点，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过作于， ， ，而为中点， ，， 又， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为： ． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作于点． 四边形是菱形， ，，， ． ， 由是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ，． 是的中点， ， ． 在和中 ， ∴， ， ， ，， ， ， ， 在中．． 故答案为：． 三、解答题 11．已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足，求的值． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图1，在四边形中，是的中点，，垂足为，，． (1)求证：； (2)如图2，为的中点，交于点，若，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：，， ． 又， 四边形为平行四边形， ． 为的中点， 为的中点， 垂直平分， ， ． （2）解：为的中点，为的中点， ， ． 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴ ， ． （3）解：如图，过点作，垂足为． ∴ ∴ ∴ 由（2）可知，当时，， ，， ∴ ． 设，则，． 在中，， ，解得， ，， ． 【点睛】此考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 13．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 14．如图，在中，是边上的高，为上一点，连结并延长交于，连结并延长交于．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，过作的平行线，分别交、、、的延长线于点、、、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，点、在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，即． 15．如图，中，，，．点P从点A出发，沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．连接．设两点的运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示，可以表示为______． (2)当时，求的长． (3)当与的一条边平行时，求t的值． (4)若的面积为S，求S与t之间的函数关系式．并求出S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)S与t之间的函数关系式为． S的最大值为． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，，， ． 当时，点P为的中点，此时，， ∵， ∴点Q运动到上，且， ∴，， 过点Q作，    ∴， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∴． （3）如图，当点Q在上，则， 根据题意，得，    ∵， ∴， ∴， 解得； 当点Q在上，． 根据题意，得，，    ∵， ∴， ∴， 解得； 故当或时，与的一条边平行． （4）如图，当点Q在上， 根据题意，得， ； 当时，S最大，最大值为9；    当点Q在上， 根据题意，得，，    过点Q作， ∴， ∴， ∴， 解得； ． 当时，S最大，最大值为； ， 故S与t之间的函数关系式为， S的最大值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理，构造二次函数求最值，分类思想，熟练掌握平行线分线段成比例定理，构造二次函数求最值是解题的关键． 16．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题意可得， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得：， 故答案为：； （2）解：图7中还有黄金矩形， 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； （3）解：在黄金矩形中，设, 则, ， , , 同理可得, ， . 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 比例线段、黄金分割比及平行线分线段成比例 目录 典例详解 类型一、利用比例性质求解 类型二、黄金分割点求线段 类型三、黄金分割点的有关证明 类型四、由平行截线求有关线段或比值 类型五、构造平行截线求有关线段或比值 压轴专练 类型一、利用比例性质求解 比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 【例1】若，则的值为 ． 【例2】，，为非零实数，且，若，则等于（    ）. A．8 B．4 C．2 D．1 【变式1-1】已知为的三边，且，则 ． 【变式1-2】若，则的值为 ． 【变式1-3】（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 类型二、黄金分割点求线段 黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 【例3】如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 【例4】我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 ． 【变式2-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【变式2-2】如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】定义：若线段上有一点满足，则称点为线段的黄金分割点．与的比叫作黄金比．设黄金比为，则的值为 ． 类型三、黄金分割点的有关证明 【例5】【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【例6】在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形中，当时，称矩形为黄金矩形．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 【变式3-1】（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【变式3-2】如图，已知中，，且，请在图中按如下要求进行操作和证明： (1)用圆规在上截取，保留痕迹，标注点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，保留痕迹，标注点； (2)证明点是线段的黄金分割点． 类型四、由平行截线求有关线段或比值 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【例7】如图，在中 ，，，，则 的长为 【例8】如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为 ． 【变式4-1】如图，若，，，，则 ；若，，，则 ；若，，则 ， ． 【变式4-2】如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【变式4-3】如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点O作交于点E、连接，交于点F，过点作交于点G，则 ． 类型五、构造平行截线求有关线段或比值 【例9】如图，在中，点是的中点，于点，于点，，分别交于点，．若，则（   ） A． B． C． D． 【例10】等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为 ． 【变式5-1】如图，在中，为的中点，为靠近点的三等分点，与交于点．过点作内角平分线的平行线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，，对角线，交于点．若，则的长为 ． 【变式5-3】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)若，，，，则的长为___________． 一、单选题 1．若，则直线的图象必经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三象限 C．第二、三、四象限 D．以上均不正确 2．如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 6．如图，在正方形中，，分别是，上的点（不与点，重合），，与交于点，取的中点，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 8．如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）    9．在中，，，，为中点，点在射线上运动，直线交直线于点，若，则的长为 ． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为 ． 三、解答题 11．已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足，求的值． 12．如图1，在四边形中，是的中点，，垂足为，，． (1)求证：； (2)如图2，为的中点，交于点，若，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，若，求的值． 13．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 14．如图，在中，是边上的高，为上一点，连结并延长交于，连结并延长交于．求证：． 15．如图，中，，，．点P从点A出发，沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．连接．设两点的运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示，可以表示为______． (2)当时，求的长． (3)当与的一条边平行时，求t的值． (4)若的面积为S，求S与t之间的函数关系式．并求出S的最大值． 16．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$