专题1-2 绝对值中的八类最值问题（核心专题）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题1-2.绝对值中的八类最值问题（重难点专题） 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 2 考点1.的最小值模型 2 考点2.的最小值和最大值模型 4 考点3.的最小值模型 6 考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 11 考点5.型或型最值模型 14 考点6.绝对值最值模型的实际应用 15 考点7.绝对值相关运算与最值问题 19 考点8.绝对值最值中的新定义问题 21 24 知识储备： ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 考点1.的最小值模型 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）的最小值为 ． 【答案】3 【详解】，表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，当时，有最小值．故答案为：3． 例2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是．故答案为：． 例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵，即，∴，， ∴，，∴，∴①正确； ②∵，∴，∴②正确； ③，它的几何意义是数轴上表示的点到表示3的点与到表示的点的距离之和，∴当表示x的点位于表示3的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确．综上，①②③正确．故答案为：①②③． 例4．（24-25七年级上·浙江·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【详解】解：∵的最小值为3，∴到的距离与到的距离的和的最小值为3， ∵，∴，∴， ∴，故选：C． 例5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； (3)当取最小值5时，a的值为__________． 【答案】(1)4；4；6(2)或(3)或 【详解】（1）解：数轴上表示1和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和5的两点之间的距离，故答案：4；4；6； （2）解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为x和，且， ∴，∴或，∴或； （3）解：由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数x的点到表示数3和数的两个点的距离之和，∴当表示数x的点在表示数3和数的两个点之间（包括端点）时，有最小值，最小值即为表示数3和数的两个点的距离， ∵得到最小值为5，∴表示数3和数的两个点的距离为5， ∴，∴或，解得或，故答案为：或． 考点2.的最小值和最大值模型 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例 1．（24-25七年级上·浙江·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1)(2)1或(3)5， 【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为；故答案为：． （2）  或， 或；  故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．  故答案为：5；． 例 1．（24-25七年级上·河南漯河·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示，两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵表示在数轴上到的距离减去到的距离， ①当 时，此时，因为到的距离就是与的差（大于）；，因为到的距离就是与的差（大于）； ； ②当时，，因为此时3大于，到3的距离是3与的差，，则，因为，所以，那么； ③当时，，，因为小于，到的距离是与的差的相反数，所以， 综上所述，， ∴的最大值为，故选：C ． 例3．（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 考点3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段” 例1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：(1)若，则 ；(2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．(4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)或(2)或(3)有，最小值为(4)有，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴或，∴或，故答案为：或； （2）解：∵，∴， 即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于， ∵，∴不可能在和之间， 当在的左边时，，解得； 当在的右边时，，解得； 综上，满足条件的的值为或，故答案为：或； （3）解：有．∵， 即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为； （4）解：有．式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，最小值为． 例2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时， 当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10．故答案为：或6． 例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ， (2)应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　 (4)应用四：求的最小值为 【答案】(1)(2)(3)7；(4)997002 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：与的值相等，表示的数与表示4和的数的距离相等， 表示的数是表示4和的数的中点，，故答案为：． （3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，故答案为：7；； （4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．当时，式子取得最小值， 此时， ． 例4．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5（2）或9（3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵，∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7，∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为，的最小值是，故选：． 例2．（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 【答案】(1)，(2)，(3)(4)(5)或 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为，故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，，故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：；故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为：， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ，综上，或． 例3．（2024七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】(1)3，45(2)；3或(3)4(4)6，1.5 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示15和两点之间的距离是．故答案为：3，45； （2）解：数轴上表示和1的两点、之间的距离为，如果，那么， 因为数轴上与1距离为2的点表示的数有两个：3或，所以或，故答案为：；3或； （3）解：根据题意可得，的意义为数轴上表示数的点到表示数，2，3的点的距离之和，因此当时，这个距离之和最小，最小值为4；故答案为：4； （4）解：的几何意义为数轴上表示的点到数轴上表示，1.5，1.5，5点的距离和，当时，这个距离之和最小，最小值为6．故答案为：6，1.5． 考点5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 例1．（24-25七年级上·浙江·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________；(2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3(2)1，2 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）∵∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是，故答案为：1，． 例2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023，故选C． 例3．（24-25七年级上·浙江·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，即的最小值是，故（1）正确； ，，当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误；的最大值是，故（4）正确；．故选：B． 例4．（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 【答案】 【详解】解：，，当式子取最小值时，，， 解得，，，故答案为：． 考点6.绝对值最值模型的实际应用 1）‌理解绝对值的几何意义‌：绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离。理解这一点对于解决绝对值最值问题至关重要。‌ 2）‌掌握绝对值的性质‌：绝对值具有非负性、对称性等性质。非负性意味着任何数的绝对值总是非负的；对称性表示正数与负数的绝对值相等‌。 3）‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 例1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ；(2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ；(4)的最小值为 ； 【解决问题】(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离(2)-1，0，1，2，3(3)4(4)7 (5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值，即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值，的最大值是：． （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，的值最小，最小值为7；故答案为：7． （5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即， 当时，取得最小值，此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 例2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，故答案为：； （）∵，∴或，∴或，故答案为：或； （）当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 当时，，解得； 综上，的值为或，故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为，故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 例3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：(1)若，则的值为多少？ (2)当取最小值时，可以取正整数 　　；最大值为 　　； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 【答案】(1)或(2)1或2；8(3)33 【详解】（1）解：由得：或，或； （2）解：表示到表示，2的点的距离的和， 时，取最小值，可以取正整数为1或2； 当时，， 当时，， ，，即； 当时，；最大值为8；故答案为：1或2；8； （3）解：设驿站建在表示的点处， 根据题意总运输成本为， 当时，， ，，即； 当时，； 当时，， ，，即； 当时，， ，； 综上所述，的最小值为33．最低成本为33元，故答案为：33． 考点7.绝对值相关运算与最值问题 例1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3(2)(3)4(4)或(5)5，(6)3 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是．故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为．故答案为：； （3）当时，则．故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或．故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5．故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为，而， 即时，，，所以的最大值为3．故答案为：3． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】代数式的几何意义是______（选择A或B），代数式最小值为_____； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】若，则________； (3)【拓展延伸】已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6(2)或5(3)最大值为8，最小值为． 【详解】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：，故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立；故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 考点8.绝对值最值中的新定义问题 例1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有如下结论： ①依次输入5，6，7，8，则最后输出的结果是2； ②若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最大值是4； ③若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，则k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：根据题意可以得出：，，，故①符合题意； 对于5，6，7，8，按如下次序输入：5，7，8，6，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为6，最小值是0，故③符合题意； 按如下次序输入：5，7，6，8，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为4，故②符合题意； ④∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，∴设b为较大数字，当时，，，解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 设b为较大数字，当时，，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 综上所述：k的最小值为6．故④符合题意．故选：D． 例2．（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【答案】(1)3，8；(2)6或0.(3) 【详解】（1）解：根据定义可得：1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：；故答案为：3，8； （2）解：∵，∴，∴， ∴或，解得：或∴的值为6或0. （3）解：由已知得：，∵，，∴的最小值；， ∵，，∴的最小值；同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为.故答案为：． 例3．（23-24七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．(1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值．    【答案】(1)1(2)或(3)7或或或 【详解】（1）解：设点C表示的数是， ∵点A表示的数是，点B表示的数是3，点C在线段上，∴， ∵点C是点A关于B的“隔序点”，且 ，∴，∴，解得， ∴点C表示的数是1，故答案为：1． （2）设点C表示的数是，∵，∴或， 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，∴，∴，解得； 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴，∴，解得；综上所述，或． （3）设点C表示的数是m，则，∵k和b满足， 又：表示数轴上表示点的数到表示点的数的距离，以及到表示点3的数的距离之和， ∴当时，有最小值为，∴当k取最小值时，b最大值时，此时：， 当点C是点B关于A“隔序点”时，，，∴，解得：或； 当点C是点A关于B“隔序点”时，，，∴，解得：或； 综上所述m的值为7或或或． 1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为．故选：C 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则；②若，则是正数； ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【详解】解：若，则，则说法①错误； 若，当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以，综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得，综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误；综上，说法正确的是②，故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴； 当时，， ∵，∴，∴， ∵，∴； 当时，， ∵，∴，∴； 当时，； ∵，即，∴，∴； 综上，的最大值，故选：B． 4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，故①错误； ②，总是正数，故②正确； ③，，则的最小值为9，故③正确； ④，，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个故选：B． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）设a是任意有理数，下列说法正确的是（    ） A．的值总是正的B．的值总是正的C．的值总是负的D．的值中，最大值是1 【答案】B 【详解】解：A. 的值总是非负的，不符合题意；B. 的值总是正的，符合题意； C. 的值总是非正的，不符合题意；D. 的值中，最小值是1，不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了平方的非负性，解题关键是明确平方的非负性，准确进行判断解题． 6．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 【答案】 5 【详解】解：当时，取到最小值为0．则的最小值是5； 当时，式子取到最大值，∴，解得，故答案为：5；． 7．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知式子有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：表示到得距离，表示到的距离，表示到的距离，表示到的距离，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，， ①当点位于点左侧时，此时， ； ②当点位于上时，此时， ； ③当点位于上时，此时， ； ④当点位于上时，此时， ； ⑤当点位于点右侧时，此时， ； 综上，当时，，有最小值，故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和．（1）式子的最小值为 ．（2）已知，则的最大值是 ． 【答案】 9 7 【详解】解：（1）依题意，当时，则， 当时， 当时，则； 综上，的最小值为9；故答案为：9． （2） 又∵，， 即的最大值是7，故答案为：7． 9．（24-25七年级上·浙江·随堂练习）若表示一个有理数，则的最小值是 ． 【答案】11 【详解】解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：，故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ． 【答案】7 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴．同理：，， ∵， ∴、，． ∴．∴的最大值为．故答案为：7． 11．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想） (1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______． (2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5． 继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算． ①求代数式的最小值为______；②求代数式的最小值为______； ③求代数式的最小值为______，最大值为______； (3)根据以上材料探索所学求：的最小值． 【答案】(1)8或(2)①6； ②7； ③，6(3) 【详解】（1）表示的意义为，数轴上表示数x的点到数3的点之间的距离为5， 或，解得或． （2）①由材料2可得，当时，有最小值，，最小值为． ②代数式表示，数轴上表示数x的点到数的点，数的点，数2的点的距离和， 当表示数x的点正好落在数的点上时，它们的距离和最小，即当时，有最小值， ． ③代数式表示数轴上表示数x的点到数的点，数的点的距离差， 当数x的点落在数的点上及数的点的左侧时，它们的距离差最小， 即时，， 当数x的点落在数的点上及数的点的右侧时，它们的距离差最大， 即时，，代数式的最小值为，最大值为6． （3）， 表示数轴上表示数x的点到数的点的距离和， 由材料可知，当在这个数中间时，距离之和最小，这个数中间的数为， 当时，有最小值， ． 12．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)6或2(3)8，(4) 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数，∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为；故答案为：； （2）根据题意， ；，解得：或故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知，当或时，，当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为；故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时的最大值为 13．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律：①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用:工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__； （5）知识迁移:有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 【答案】（2）①3；4；②；1或；（3）①小，1；②小，2；③小，4；（4）E；40；（5）有最大值9，最小值． 【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是，故答案为：3，4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ∵，∴，∴或，解得或3，故答案为：；1或； （3）①∵表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为1，故答案为：小，1； ②表示数轴上有理数x所对应的点到1、2和3所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为2，故答案为：小，2； ③表示数轴上有理数x所对应的点到1、2、3和4所对应的点的距离之和， ∴当或时，有最小值4，故答案为：小，4； （4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40； （5）有最大值和最小值，理由如下：当时，， 当时，，当时，， ∴有最大值9，最小值． 14．（24-25七年级上·重庆江津·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示5和的两点之间的距离是_____；数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (2)当取最小值时，符合条件的整数x的和为______； (3)当取最大值时，求符合条件的整数x的和． 【答案】(1)8；；或(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示5和的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； ∵，∴，∴或，解得或； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数和数的距离之和， ∴当时，取最小值，∴满足题意的整数x有 ∴符合条件的整数x的和为； （3）解：当时，， 当时，，当时，， ∴当时，的值为7，当时，的值大于等于0且小于7，当时，的值为7，∴当时或当时，的值有最大值，且最大值为7， ∵互为相反数的两个数的和为0，∴小于等于和大于等于5时符合题意的所有整数x的和为0， ∴符合条件的整数x的和为． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 16．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 【答案】(1)3(2)1；9(3)；24(4)3或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离为：；故答案为：3； （2）解：∵表示数轴上表示a的点到的距离，到1的距离，到4的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为：；故答案为：1；9． （3）解：当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∴此时的值为24； 当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∵，∴此时；∴当时，的值最小，且最小值为24； 故答案为：；24． （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到1的距离与到表示a的点的距离之和， ∴当表示x的点在1和表示a的点之间时，的值最小，且最小值为， ∴，解得：或．故答案为：3或． 17．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上； (3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴， ∴；故答案为：，2024； （2）∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上； （3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ； 当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 21．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-2.绝对值中的八类最值问题（重难点专题） 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 2 考点1.的最小值模型 2 考点2.的最小值和最大值模型 4 考点3.的最小值模型 6 考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 11 考点5.型或型最值模型 14 考点6.绝对值最值模型的实际应用 15 考点7.绝对值相关运算与最值问题 19 考点8.绝对值最值中的新定义问题 21 24 知识储备： ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 考点1.的最小值模型 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）的最小值为 ． 例2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 例4．（24-25七年级上·浙江·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 例5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； (3)当取最小值5时，a的值为__________． 考点2.的最小值和最大值模型 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例 1．（24-25七年级上·浙江·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 例 2．（24-25七年级上·河南漯河·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示，两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 考点3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段” 例1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：(1)若，则 ；(2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．(4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 例2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ， (2)应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　 (4)应用四：求的最小值为 例4．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 例3．（2024七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 考点5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 例1．（24-25七年级上·浙江·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________；(2)当________时，有最小值，最小值是______． 例2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 例3．（24-25七年级上·浙江·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 考点6.绝对值最值模型的实际应用 1）‌理解绝对值的几何意义‌：绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离。理解这一点对于解决绝对值最值问题至关重要。‌ 2）‌掌握绝对值的性质‌：绝对值具有非负性、对称性等性质。非负性意味着任何数的绝对值总是非负的；对称性表示正数与负数的绝对值相等‌。 3）‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 例1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ；(2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ；(4)的最小值为 ； 【解决问题】(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 例2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 例3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：(1)若，则的值为多少？ (2)当取最小值时，可以取正整数 　　；最大值为 　　； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 考点7.绝对值相关运算与最值问题 例1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】代数式的几何意义是______（选择A或B），代数式最小值为_____； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】若，则________； (3)【拓展延伸】已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 考点8.绝对值最值中的新定义问题 例1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有如下结论： ①依次输入5，6，7，8，则最后输出的结果是2； ②若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最大值是4； ③若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，则k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 例3．（23-24七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．(1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值．    1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则；②若，则是正数； ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）设a是任意有理数，下列说法正确的是（    ） A．的值总是正的B．的值总是正的C．的值总是负的D．的值中，最大值是1 6．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 7．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知式子有最小值，则的取值范围是 ． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和．（1）式子的最小值为 ．（2）已知，则的最大值是 ． 9．（24-25七年级上·浙江·随堂练习）若表示一个有理数，则的最小值是 ． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ． 11．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想） (1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______． (2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5． 继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算． ①求代数式的最小值为______；②求代数式的最小值为______； ③求代数式的最小值为______，最大值为______； (3)根据以上材料探索所学求：的最小值． 12．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律：①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用:工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__； （5）知识迁移:有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 14．（24-25七年级上·重庆江津·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为．(1)数轴上表示5和的两点之间的距离是_____；数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______；(2)当取最小值时，符合条件的整数x的和为______；(3)当取最大值时，求符合条件的整数x的和． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 16．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 17．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 21．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题：数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$