专题1-1 数轴中的九类动态问题（核心专题）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题1-1.数轴中的九类动态问题（重难点专题） 数轴中的动态问题属于（2024）浙教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 2 考点2.动态中点与n等分点模型 5 考点3.单（多）动点匀速模型 8 考点4.单（多）动点变速模型 11 考点5.动点往返运动模型 15 考点6.动态定值（无参型）模型 18 考点7.动态定值（含参型）模型 22 考点8.数轴折叠（翻折）模型 25 考点9.数轴上的线段移动模型 28 32 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 . ‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 考点2.动态中点与n等分点模型 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 例2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 例3．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是_ ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 例4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 考点3.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 例2．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 例3．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 考点4.单（多）动点变速模型 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 考点5.动点往返运动模型 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．其中b是最大的负整数，且a，c满足．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C，到达点C后再返回运动到点B并停止．    (1) ， ， ；(2)在点P运动的过程中，当点P运动x秒时，，求x的值． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1)　　　　，　　　　，　　　　． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数．③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 例3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？ 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球、、，左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若球在数轴上表示坐标原点，球表示的数为40，则球表示的数为_______，右挡板表示的数为_______． 任务2 碰撞实验中，若球以每秒的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出球第一次和第二次撞向右挡板的时间． 任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时，球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案） 考点6.动态定值（无参型）模型 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1) ， ， ；(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为 ；(3)点A，点B与点C同时开始在数轴上运动，若点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒过后，若点A，点B之间的距离表示为，点B与点C间的距离表示为，则＝ ，＝ （用含t的代数式表示），请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且．（1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 考点7.动态定值（含参型）模型 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．    (1)写出数轴上点A表示的数为________，点B表示的数为________，点P表示的数为________（用含t的式子表示）；(2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．①当t为何值时，点P、Q两点到原点的距离相等？②式子的值不随时间t的变化而变化，请求出m的值． 例2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 考点8.数轴折叠（翻折）模型 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数3对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数 对应的点重合．(2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合，求点A，B表示的数．(3)在（2）的条件下，一只青蛙王子，从点B出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵，从A点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关. (1)平移运动：把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．     B． C．     D． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示_____，点表示_____． (3)动点移动：如果、对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，当点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使？ 例3．（24-25七年级上·浙江·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 考点9.数轴上的线段移动模型 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 例2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 例3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），且，下列结论：    ①，；②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有 个． 6．（23-24七年级上·浙江·期末）如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以发现终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题． (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ； (2)如果点A表示数5，将点A向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离为 ； (3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ． (4)如图2，在数轴上从左到右边依次有A，B，C三点，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每秒钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每秒钟4个单位长度从点C向左运动，经过 秒后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为．①当时，求点所表示的数．②当时，求点所表示的数．(2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 10．（24-25七年级上·浙江·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长；(2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）．①问为何值时，为的中点？②当时，求的值． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行． 素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表______站． 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点 表示的数为，点表示的数为，在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点和点在数轴上相距个长度单位，动点从点出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为个单位/秒，“上坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的倍．设运动的时间为秒，问：(1)动点从点运动至点需要时间为________秒； (2)、两点到原点的距离相同时，求出动点在数轴上所对应的数． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点；(3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 15．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    16．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 17．（2024·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 18．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么： (1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ； (2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写出答案． 19．（2024·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 20．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 21．（24-25七年级上·浙江·期中）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 22．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-1.数轴中的九类动态问题（重难点专题） 数轴中的动态问题属于（2024）浙教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 2 考点2.动态中点与n等分点模型 5 考点3.单（多）动点匀速模型 8 考点4.单（多）动点变速模型 11 考点5.动点往返运动模型 15 考点6.动态定值（无参型）模型 18 考点7.动态定值（含参型）模型 22 考点8.数轴折叠（翻折）模型 25 考点9.数轴上的线段移动模型 28 32 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 . ‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 【答案】1 【详解】解：第1次向右运动1个单位长度，用时1秒，在数轴上对应的数为1， 第2次向左运动2个单位长度，用时2秒，在数轴上对应的数为， 第3次向右运动3个单位长度，用时3秒，在数轴上对应的数为2， 第4次向左运动4个单位长度，用时4秒，在数轴上对应的数为， 第5次向右运动5个单位长度，用时5秒，在数轴上对应的数为3， 第6次向左运动6个单位长度，用时6秒，在数轴上对应的数为，…，发现第n次运动n个单位长度，用时n秒，n为奇数时，在数轴上对应的数为，n为偶数时，在数轴上对应的数为， ∵，，∴，， ∴第113秒是在第105秒后的第8秒，∴第113秒的位置是第14次终点向右运动第8秒的位置， ∵，∴，∴第113秒时，点P在数轴上所对应的数是1，故答案为：1． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当动点从原点出发向左运动秒，到达的点表示的数为， 再向右运动秒到达的点表示的数为，动点运动秒向左移动个单位长度， ，动点向左运动了个秒， 动点运动到第秒时所对应的数是．故选：A． 例3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意每前进步后退步的程序运动则有 ，，，，， ，，，，， ，，，，，，故正确，正确； 由上可知，“前进步后退步”这秒组成一个循环结构， 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数，第个循环第个数，…… 第个循环第个数，第个循环第个数， ∵，∴在第个循环第个数， ∵，∴，，，故正确； 由上规律可得：∵，∴，∴， ∴，故正确，综上可知：正确，故选：． 例4．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：第一次落点为处，点表示的数为1； 第二次落点为的中点，点表示的数为； 第三次落点为的中点，点表示的数为；… 则点表示的数为，即点表示的数为；故答案为：． 考点2.动态中点与n等分点模型 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【详解】解：∵点表示的数为，，∴，∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时，即， ∴或，解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等．故选：B． 例2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 【答案】或10或或20 【详解】解：设运动时间为t秒． 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点）， ∴，∴不存在的情况； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点），∴，根据题意得：，解得：； 当时，点B，O重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点B在线段上（不包含顶点），∴，，根据题意得：，解得：； 当时，点A，B重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点A在线段上（不包含顶点）， ∴，，∴不存在的情况． 综上所述，当或10或或20时，A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 故答案为：或10或或20． 例3．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是_ ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或(2)1.5，2.25，3，，9，13.5 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件，故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．故答案：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，，因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，当时，，因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧，当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，，9，13.5． 例4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 考点3.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 【答案】26或/26或 【详解】解：在点P运动过程中，，即，分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，，此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵，∴，则，则，∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或，故答案为：26或． 例2．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数分别为， 、两点间的距离为12个单位长度，，解得：， ∴点在数轴上表示的数为故选：D． 例3．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【答案】（1）11；（2），理由见解析；（3）当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 【详解】（1）解：如图1：∵，∴， ∵D是的中点，，； （2）解：，理由如下：如图1：∵，∴， ∵D是的中点，，∴． （3）解：A表示，点表示5，点C表示21，点D表示17，当运动的时间为t秒时，点B表示，点C表示，点D表示，点，，， ①当点C在点D的右侧，即，解得：， ∴当时，如图2所示，D是的中点，由题意可得：， 即，解得：，不符合题意，舍去； ②当点C在点D的左侧且点C在点B的右侧，即，解得：， ∴当时，如图3所示，C是的中点， 由题意可得：，即，解得：，符合题意； ③当点C在点B的左侧且点D在点B的右侧，则，解得：， ∴当时，如图4所示，B是的中点，由题意可得：， 即，解得∶，符合题意； ④当点D在点B的左侧到停止前，则，解得：， ∴当时，如图5所示，D是的中点，由题意可得：， 即，解得，符合题意． 综上所述，当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 考点4.单（多）动点变速模型 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)18.5秒(2)(3)14.5或19.5 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）；答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为：（秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为：， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，，共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，，∴，解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，，，解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 考点5.动点往返运动模型 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．其中b是最大的负整数，且a，c满足．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C，到达点C后再返回运动到点B并停止．    (1) ， ， ；(2)在点P运动的过程中，当点P运动x秒时，，求x的值． 【答案】(1)，，9(2)或1或或 【详解】（1）解：∵，∴，解得， ∵b是最大的负整数，∴．故答案为：，，9； （2）当点P在线段上时，． 因为，所以． 又因为，所以． 当点P的运动状态是从B到A时，如图所示，因为，所以，所以；         当点P的运动状态是从A到B时，如图所示，因为，所以，所以； 当点P在线段上时，．因为，所以． 又因为，所以． 当点P的运动状态是从B到C时，如图所示，因为，所以，所以；       当点P的运动状态是从C到B时，如图所示，因为，所以，所以． 综上所述，x的值为或1或或． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1)　　　　，　　　　，　　　　． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数．③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 【答案】(1)，，(2)①②点一共运动了个单位长度，此时点在数轴上所表示的有理数为③ 【详解】（1）解：根据二次多项式的定义可得：，，， 解得：，故答案为：，，； （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是， ，，， ∴点从点到点用时:（秒），点从点到点用时:（秒）， 此时点运动的长度为：个单位长度，∴点在的中点， 设再经过秒两点第次重合，则有，，解得：，（秒） 答：当时，点第一次与点重合； ②∵点表示的数是，点表示的数是，， ∴点从点到点用时：（秒），则点一共运动了个单位长度， ，∴此时点在数轴上所表示的有理数为：； ③当时，点在上，点在上运动，，， ，，即：，解得：． 例3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？ 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球、、，左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若球在数轴上表示坐标原点，球表示的数为40，则球表示的数为_______，右挡板表示的数为_______． 任务2 碰撞实验中，若球以每秒的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出球第一次和第二次撞向右挡板的时间． 任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时，球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案） 【答案】任务1：，70 ； 任务2：第一次7（秒）；第二次：43（秒） 任务3：． 【详解】任务1∶根据题意得∶，， 若A球在数轴上表示坐标原点，则C球在数轴的负半轴，右挡板E在数轴的正半轴， ∴C球表示的数为，右挡板E表示的数为．故答案为∶，70； 任务2∶根据题意得∶（秒）；（秒）． 答∶B球第一次撞向右挡板E的时间为7秒，B球第二次撞向右挡板E的时间为43秒； 任务3∶， ∵左挡板D在数轴的负半轴，∴左挡板D表示的数为． 根据题意得∶C球的运动范围为；A球的运动范围为；B球的运动范围为，， ∴当3个钢球运动的路程和为时，C球在运动此时离左挡板D的距离为， ∴此时C球在数轴上表示的数是．故答案为∶． 考点6.动态定值（无参型）模型 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1) ， ， ；(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为 ；(3)点A，点B与点C同时开始在数轴上运动，若点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒过后，若点A，点B之间的距离表示为，点B与点C间的距离表示为，则＝ ，＝ （用含t的代数式表示），请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 【答案】(1)(2)3(3)，不变，为4 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴，，解得：，∵b是最小的正整数，∴，故答案为：；1；6； （2）解：（1）知：点A、B、C表示的数分别为：、1、6， 将数轴折叠，使得点A与点C重合，∴点A与点C的中点为：， 此时与点B重合的数为：，故答案为：3； （3）解：由（1）知：点A、B、C表示的数分别为：、1、6， ∵点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，∴t秒过后，点A、B、C表示的数分别为：、、， 则，， （定值）， ∴的值不随着时间t的变化而改变，定值为：4． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10(2)或时，(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ，，或．答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且．（1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】（1）10；（2）存在，16或0；（3）在运动过程中，的值不变，见解析 【详解】解：（1）∵，∴，， ∴，，∴，故答案为：10； （2）∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴，解得，∴点C表示的数为，∴， ∴点P不可能位于点A的左侧，设点P对应的数为y， ①当点P在点B右侧，由题意得，解得， ②当点P在A、B之间，由题意得，解得 综上所述，点P对应的数为16或0； （3）在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∵P是的中点，∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点，∴Q点对应的数是， ∴，，， ∴，∴在运动过程中，的值不变． 考点7.动态定值（含参型）模型 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．    (1)写出数轴上点A表示的数为________，点B表示的数为________，点P表示的数为________（用含t的式子表示）；(2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．①当t为何值时，点P、Q两点到原点的距离相等？②式子的值不随时间t的变化而变化，请求出m的值． 【答案】(1)，12，(2)①或；②4 【详解】（1）解：因为，所以，解得：， 所以点A表示的数为，点B表示的数为12． 因为动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且运动时间为t秒， 所以点P表示的数为； （2）解：①由题意可知点Q表示的数为， 因为点P、Q两点到原点的距离相等，所以，解得：或， 故当或时，点P、Q两点到原点的距离相等； ②由题意可知点M表示的数为，所以． 因为， 所以． 因为式子的值不随时间t的变化而变化，所以，解得：． 例2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)或(3)存在，，定值为 【详解】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为， 点和点间距个单位长度，，解得， 点表示的有理数是；点表示的有理数是， ，点表示的有理数是， 动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， 点表示的数是，故答案为：，，； （2）解：当点在点左边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当点在点右边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当或秒时，、两点之间相距个单位长度， （3）解：存在常数，使得为一个定值， 理由如下：由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为， ，，， ， 要使得为一个定值，，解得， ，，这个定值为． 例3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 【答案】(1)4，(2)0或(3) 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵点A，点B表示的数分别为a，b，且a，b满足，∴，，故答案为：4，； （2）∵点A，点B表示的数分别为4，，∴， 若点C是“关联点”，则， 当点C在线段上时，，此时，点C所表示的数为； 当点C在线段的延长线上时，，此时，点C所表示的数为， 综上所述，点C所表示的数0或，故答案为：0或； （3）设点Q表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上． ∴，，，， ∴，， ∴， 当点Q运动时，若存在整数m、n，使得式子为定值，则    ， ∴，即整数m、n满足的数量关系是． 考点8.数轴折叠（翻折）模型 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数3对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数 对应的点重合．(2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合，求点A，B表示的数．(3)在（2）的条件下，一只青蛙王子，从点B出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵，从A点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 【答案】(1)(2)A表示98；B表示(3)38 【详解】（1）∵数轴上数表示的点与数3对应的点重合， ∴如图可知，表示数的点到数表示的点的距离与到数3表示的点的距离相等， ∵，∴数轴上数1对应的点与数对应的点重合，故答案为：； （2）由（1）知：折合点表示的数， ∵数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合， ∴折合点表示的数分别到A，B两点的距离为100，∴，， ∵点A在点B的右侧，∴A表示98；B表示， （3）设它们x秒后相遇，∵A，B两点之间的距离为200个单位长度， ∴，∴，∴,∴C点所表示的数为38． 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关. (1)平移运动：把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．     B． C．     D． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示_____，点表示_____． (3)动点移动：如果、对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，当点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使？ 【答案】(1)D(2)①；②，(3)秒或秒时，可使 【详解】（1）解：∵笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，∴笔尖的位置表示什么数为．故选：D． （2）①∵表示的点与表示的点重合，∴折叠的中点表示的数为， ∵，，∴表示的点与表示的点重合．故答案为： ②∵数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同）， ∴折叠中间点表示的数为， ∵、两点经折叠后重合，∴点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：， （3）设运动时间为，∵，∴在点左侧，或在点右侧， ①当点向左运动时，∵、对应的数分别为、，点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发， ∴点表示的数为，∴，， ∵，∴，解得：． ②当向左运动时，∵、对应的数分别为、，点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发， ∴点表示的数为，∴，∴，解得：． 综上所述：秒或秒时，． 例3．（24-25七年级上·浙江·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1011(2)①；②，1012；③ 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：，故选：D． ②∵， ∴当机器人跳次2022时，落在数轴上的点表示的数是；故答案为：； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合，∴折痕处的点表示的数为， 设表示2022的点与表示x的点重合，则，解得：， ∴表示2022的点与表示重合；故答案为： ； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022，A、B两点到折痕1处的距离都是1011， ∴B点表示数为1012，A点表示的数为；故答案为：，1012； ③根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点，∴点C表示的数：． 考点9.数轴上的线段移动模型 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【答案】(1)，，14(2)22，11(3)或15 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，∴，，， ∴，，； （2）解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14，∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒），故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； （3）解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：，， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：，即：，解得或； ③当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：，，解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 例2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 【答案】(1)，(2)5，．(3)(4)或． 【详解】（1）解：由题意可得：在运动过程中，点B表示的数是， ∵点D在数轴上表示的数是14，线段的长度为4个单位长度， ∴点C表示，∴在运动过程中，点C表示的数是．故答案为：，． （2）解：∵线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14，∴点A表示，点C表示，∴在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， ∵当点C和点B表示的数相同时，开始重叠，∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始有重叠部分； ∵点D和点A表示的数相同时，开始不再有重叠部分；∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始不再有重叠部分．故答案为：5，． （3）解：∵在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，点C在线段上，∴，， ∵，∴，解得：，∴当点C在线段上，且时，t的值为． （4）解：∵当点C和点B相遇时，即点C和点B表示的数相同时，∴，解得：， ∵当点B与点D相遇时，即点D和点B表示的数相同时， ∴，解得：，此后点C的运动每秒个单位长度向左运动， ∴当点C和点B相遇后，时点C表示的数为5，以后点C表示的数为； 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：或不合题意舍弃； 当点B与点D相遇后，点C表示的数为 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：符合题意或不合题意舍弃； 综上，当时，或． 例3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 【答案】(1)，(2)或；(3)长方形的运动的时间为8秒或11秒． 【详解】（1）解：由题意知，，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则，所以点A表示的数为：，故答案为：，； （2）解：因，，则点M、N对应的数为、， 由题意知，它们运动秒后M、N点对应的数分别为：、， 由题意得，解得或； （3）解：设长方形运动的时间为秒，当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后D、E点对应的数分别为：、， ∵，解得； 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后A、H点对应的数分别为：、， ∵，解得；综上，长方形的运动的时间为8秒或11秒． 1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，，解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，表示的数是，表示的数是， 根据题意可得：，即：，解得：或，故选：． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或，解得：或， 的值为或1．故选：D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【详解】解：，且，点、表示的数分别为，10，根据题意得，，， 长分两种情况：①当时，，， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，，， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即，故答案为：D． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【详解】解：（1）M点对应的数是：；故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，， 设t秒后P、Q相遇，，解得， 此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是．故答案为：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），且，下列结论：    ①，；②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有 个． 【答案】3 【详解】解：∵，∴，，∴，，故①正确； ∴，当点B与点O重合时，点B在点C的左侧， ∴C对应的数是2，∴，故②错误； 当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2，设点P对应的数是x， 则，，，∴，故③正确； 设B表示的数为，则C表示的数为， ∵M为线段的中点，∴M表示的数为， ∵N为线段的中点，A表示的数是4，∴N表示的数为 ∴，故④正确，∴正确的是①③④，有3个．故答案为：3． 6．（23-24七年级上·浙江·期末）如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以发现终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题． (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ； (2)如果点A表示数5，将点A向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离为 ； (3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ． (4)如图2，在数轴上从左到右边依次有A，B，C三点，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每秒钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每秒钟4个单位长度从点C向左运动，经过 秒后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等． 【答案】(1) 3 7(2) 7 2(3) /(4)或4 【详解】（1）解： 点A表示数，点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是． A，B两点间的距离是．故答案为：3；7． （2）解：点A表示数5，将A点向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度． 终点B表示的数是，A，B两点间的距离．故答案为：7；2． （3）解：点A表示数m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度， 那么终点B表示的数是， A、B两点间的距离是；故答案为：，． （4）解：如图，，，．令B对应的数为0，A对应的数为3，C对应的数为5． 由题意，设t秒后点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等， ①当Q在B右侧时，t秒后，，，．（秒）． ②当Q在B左侧时，t秒后，，， ．（秒）．故答案为：或4． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为．①当时，求点所表示的数．②当时，求点所表示的数．(2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 【答案】(1)①；②点所表示的数为或；(2)点所表示的数为或或或 【详解】（1）解：①， 当时，点是的中点，点所表示的数． ②当时，若在左侧，，点所表示的数 若在之间，，点所表示的数点所表示的数为或． （2）解：，，点所表示的数 ，，点所表示的数 ，，点所表示的数 ，,点所表示的数 点所表示的数为或或或． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)6；10(2)；或；(3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 【详解】（1）解：，，故答案为：6；10； （2）解：t秒时点A表示的数是，此时或， 故答案为：；或； （3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 当点A与点B重合时，，解得， 当时，，， ∴，此时的值随着时间t的变化而改变； 当时，，， ∴，此时的值不随着时间t的变化而改变， 综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或(2)10(3)8或12 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为，所以，解得或．故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2，点A运动了（单位长度）， ∴（秒），∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点，所以A，B之间的距离是； （3）因为，解得或，，所以经过8秒或12秒． 10．（24-25七年级上·浙江·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【详解】解：探索1：点表示，点表示，，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒，从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒，， 点表示，表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时，，， ，，， ，（秒）； ②当在上时，，， ，，（秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长；(2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）．①问为何值时，为的中点？②当时，求的值． 【答案】(1)18(2)①2或②4或8或12 【详解】（1）解：∵，两点对应的数分别为和，，两点对应的数互为相反数， ∴点对应的数为，∴； （2）解：设点对应的数为，点对应的数为， 则：，， ①当时，，即：，解得：， 当时，，即：，解得：， 综上所述，的值为2或； ②当时，∵，∴，解得：或， 当时，∵，∴，解得：或（舍）， 综上所述，的值为4或8或12． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行． 素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表______站． 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度． 【答案】探究1：世纪大道；探究2：；探究3：出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度 【详解】解：（1）∵以东门口站为原点，∴图2中数字5代表世纪大道站． （2）点在数轴上表示的数为． （3）设A运动分钟后在数轴上表示的数为， ①当两辆地铁相遇前相距个单位长度时，，则（分钟）； ②当两辆地铁相遇后相距个单位长度时，   则（分钟）． 综上所述，出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点和点在数轴上相距个长度单位，动点从点出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为个单位/秒，“上坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点从点运动至点需要时间为________秒； (2)、两点到原点的距离相同时，求出动点在数轴上所对应的数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：根据题意知：个单位，个单位，个单位，∴“水平路线”速度是个单位/秒，从到速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点从点运动至点需要的时间为秒，故答案为：； （2）解：设运动时间为秒， ①当，即在上，在上，由、两点到原点的距离相同得方程无解，不符合题意； ②当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是， ∴，解得，此时已不在上，不符合题意，这种情况不存在； ③当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是，∴，解得或，∴表示的数是或； ④当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是， ∴，解得不合题意，舍去， ⑤当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是，∴，此方程无解，不符合题意； 综上所述，、两点到原点的距离相同时，动点在数轴上所对应的数是或． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点；(3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【答案】(1)，，；(2)当运动到第次时，点到达点；(3)第次运动点对应的数为． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，，∴，∴，两点之间的距离为，故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为；， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴，∴，∴；∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 15．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    【答案】(1)(2)，(3)秒或秒或秒或秒 【详解】（1）解：，，，解得：； （2）解：由（1）可得：，点表示的数为12，点表示的数为， 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒， 点在数轴上对应的数为：；点在数轴上对应的数为：，故答案为：，； （3）解：设当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒， 相遇前：，解得： 相遇后：相遇的时间为：（秒）， 相遇点为，点在原地停留4秒时，，解得：； 由题意得：当相遇后，点在数轴上对应的数为：，点在数轴上对应的数为：， 当在左侧时，，解得：， 当在右侧时，，解得：， 故当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒或秒或秒． 16．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或20(2)9(3)存在，6或 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点A的右侧时，，解得．故答案为：或20． （2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：，点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前，则，解得， 又因为点P的速度为3单位每秒，所以点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后，因为点N速度比点P速度快，所以此种情况不存在．故答案为：9． （3）设运动的时间为a秒，因为点B运动到线段上，则，解得， ，解得，则． 设点P所对应的数为m，由点P是线段上一点得，． 则，， 或． 当时，，整理得， 又∵，∴． 当时，同理可求得， 又因为，所以．故线段的长为：6或． 17．（2024·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)(2)存在，x的值为2或(3)24 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴，∴点P对应的数为； （2）解：①当P在AB之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合，由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴，解得，∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 18．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么： (1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ； (2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写出答案． 【答案】(1)(2)为定值，定值为60，理由见解析(3)或时，两个小球间距离为6 【详解】（1）M、N碰到挡板所需时间均为， ∴时M未碰到挡板运动距离为，又M向负轴运动，则M对应数轴上的数为，故答案为． （2）时，设O点在数轴上对应的数为0， 则，， 故为定值，定值为60． （3）时，，令，则； 时，； 令，则． 故或时，两个小球间距离为6． 19．（2024·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【解析】(1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． (2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． (3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 20．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【详解】（1）解：∵，∴在之间，则，， ∴，解得，，∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵，∴，即，或，解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴，∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 21．（24-25七年级上·浙江·期中）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 【答案】(1)，；(2)或或． 【详解】（1）解：∵，，∴不是点，的“关联点”， ∵，，∴，∴是点，的“关联点”， ∵，，∴∴是点，的“关联点”， ∵，，∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得，∴，， ∵点是点，的“关联点”，∴当时，即， 则或，解得：或； 当时，即，则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或，故答案为：或或． 22．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是(2)①或或②或或 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”，故答案为：是； （2）解：①，，，解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时，此时，点表示的数是：； ）当时，此时，点表示的数是：； ）当时，此时，点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或，答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时，，解得：； ）当时，，解得：； ）当时，，解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$