第09讲 整式的概念（4个模块8个知识点9个考点）-【暑假预习】讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第09讲 整式的概念 模块导航 · 模块一 代数式的概念 · 模块二 单项式 · 模块三 多项式 · 模块四 课后作业 模块一 代数式的概念 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: 类型 书写要求 字母与字母相乘 “×”号通常省略不写或写成“ · ”；如：x×y写作xy或x · y 数与字母相乘 数字 通常写在字母的前面；（不只要写作字母前面，有括号时还要写在括号前面。）如可写作 ， （a+b）2可写作2（a+b）。 带分数与字母相乘 通常化带分数为 假 分数；如可写作 除式中含有字母 要写成 分数 的形式。如2应写作 ，x应写作 代数式带有单位 当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,结果带单位时,式子整体加括号。如：（3+a）米，[4+2（m-1）]cm等 注意： (1)同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示。 (2)用字母表示实际问题中的某个量时，字母的取值必须使式子有意义且符合实际情况。 (3)“平方的和(差)"要先平方再相加(减)；“和(差)的平方"要先相加(减)再平方，和(差)要加括号。 (4)代数式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符号。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代数式。 知识点2 代数式的概念 像10a+2b，，2a2，这样，由数、表示数的 字母 和 运算符号 组成的数学表达式叫作代数式。单独的一个数或一个字母也是 代数式 注意： 代数式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符号。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代数式。 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用 语言叙述 出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予 具体的含义 。 注意： (1)要注意实际问题中的数量关系必须与代数式所表示的相一致。 (2)问题的结论往往具有开放性，只要说法合乎情理即可。 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式。例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是 a 减去 b ，列成式子为 a-b ；运算词“商”表是 a 除以“差”,即 （填完整的代数式） 注意：按照顺序逐步列式 (1)审题，认真分析问题中有关术语的含义。如:和、差、积、商、多、少、几倍、几分之一、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小等； (2)注意问题中的语言叙述所表示的运算顺序； (3)弄清问题中的层次关系,抓住“”字的作用； (4)注意运算的逆向思维。如某数与ab的积为5,则该数为，问题中出现的是积，而列出的代数式却为商的形式。 知识点5 代数式的值的概念 用 数值 代替代数式中的 字母 按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。这个过程叫作求代数式的值。例如：当x=-5时，代数式(x+2)2=(-5+2)2=(-3)2=9，那么 9 就是当x=-5 时,代数式(x+2)2的值。 考点专训 考点1 代数式的概念 【例1】在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 【变式2】下列说法不正确的是（　　） A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例关系 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系 C．速度一定，路程与时间成正比例关系 D．单价一定，总价与数量成正比例关系 【变式3】下列各式：，，，，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【变式4】下列各式中， ； ； ； ； ； ； ； ； ，代数式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点2 用字母表示数的书写 【例1】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】填空： （1）字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“ ”； （2）字母与数相乘时，数通常写在字母的 ； （3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为 ； （4）字母与字母相除时，要写成 的形式； （5）若三角形的一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ； （6）小明从每月的零花钱中贮存x元捐给希望工程，一年下来小明共捐款 元． 【变式2】下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【变式3】有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不符合式子书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点3 列代数式 【例1】据市科技局发布，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我市高新技术企业数量分别为m家和n家，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】用代数式表示： （1）甲数与乙数的和为10，设甲数为y，则乙数为 ． （2）甲数比乙数的2倍多4，设甲数为x，则乙数为 ． （3）为了迎接即将举行的运动会，学校准备购置一批篮球和足球，买一个篮球需要x元，买一个足球需要y元，买30个篮球和20个足球共需要 元． （4）大华的身高为，小亮的身高为，他们俩的平均身高为 ． 【变式2】有两块棉花田，第一块是，收棉花，第二块是，收棉花，这两块棉花田的平均产棉量是 ． 【变式3】说出下列代数式的意义： (1)： ； (2)： ； (3)： ； (4)： ． 【变式4】用文字语言表示下列代数式： (1)： (2)： 模块二 单项式 知识点 单项式 1.单项式的概念:由数与字母或字母与字母 相乘 组成的代数式叫作单项式。单独一个 数 或一个 字母 也叫单项式，如0，-1，a。 方法：判断一个代数式是不是单项式，关键是看该代数式是不是数与字母或字母与字母的乘积。式子中含有加、减运算或分母中含有字母的均不是单项式。 2.单项式的系数:单项式中的 数字因数 叫作这个单项式的系数。例如，-3x的系数是-3，ab的系数是1。 注意：在确定单项式的系数时，要注意其符号，其中形如a，-a这样的式子的系数分别是1，-1，不能误以为没有系数。 3.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的 指数 的 和 叫作这个单项式的次数。例如，-3x的次数是1，ab的次数是1+1=2。 注意：(1)单项式的次数与数字因数无关，只与字母有关，是单项式中所有字母的指数的和。如单项式b的次数是1，而不是0；常数-5 的次数是0；9x103a2b3c的次数是6，与 103无关。 (2)要正确区分单项式的次数与单项式中字母的次数，如6p2q的次数是3，其中字母p的次数是2。 考点专训 考点1 单项式的定义 【例1】下列代数式中，属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 考点2 单项式的系数与次数 【例1】单项式的系数和次数分别是（   ） A．系数，次数3 B．系数，次数3 C．系数，次数4 D．系数5，次数4 【变式1】单项式的系数是 ． 【变式2】已知是关于x，y的五次单项式，则 ． 【变式3】单项式的次数是 ，系数是 ． 【变式4】已知是关于的五次单项式，则m的值是 ． 模块三 多项式 知识点1 多项式 1.定义：由几个单项式 相加 组成的代数式叫作多项式。 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的 项 ，不含字母的项叫作 常数项 。一个多项式含有几项，就叫几项式。例如：a2+3a-2的项有a2，3a，-2，三项，叫三项式；其中常数项是-2。 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的 次数 就是这个多项式的次数。例如：a2+3a-2次数最高的项a2的次数是2，a2+3a-2的次数为2。 注意： (1)确定多项式的项时，要带前面的符号。 (2)确定多项式的次数时，先计算出多项式中每一个单项式的次数，再确定多项式的次数。 (3)一个多项式是几次几项，就叫几次几项式，如2x2+3x-3有三项，次数最高项的次数为2，所以 2x2+3x-3是二次三项式。 知识点2 整式 1.概念: 单项式 和 多项式 统称为整式。 2.判断整式、单项式及多项式的方法 (1)单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； (2)多项式是几个单项式的和； (3)单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式。 方法： 凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连接起来的就是多项式，而单项式注重一个“积”字。 考点专训 考点1 多项式的概念 【例1】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式 C．单项式的次数是1，无系数 D．是多项式 【变式1】在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【变式2】已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ （1）其中单项式有 （写序号），它们的系数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． （2）其中多项式有 （写序号），它们的次数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． 【变式3】把下列代数式分别填在相应的括号内．    (1)单项式：｛              …｝ (2)多项式：｛              …｝ 考点2 多项式的项与次数 【例1】下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 【变式1】是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项系数为 ，常数项为 ，写出所有的项： ． 【变式2】若是关于的四次三项式，则的值为 ． 【变式3】多项式   是 次 项式，常数项是 ． 【变式4】如果关于的多项式中不含一次项，那么 ． 考点3 整式的概念 【例1】已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【变式1】下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 考点4 求整式的值 【例1】当时，代数式的值为 ． 【变式1】若，则 ． 【变式2】若代数的值为5，则代数式的值是 ． 【变式3】若，则的值是 ． 【变式4】在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【变式5】如图是某算法的程序框图，若开始输入的，则最后输出的结果为 ． 模块四 课后作业 1．近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．下列是代数式的有： ．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 3．下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的含义是a与4的差除以b的商；④a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为．其中正确的有 ．（填序号） 4．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)；  ;   (2)；  ;  (3)；  ;   (4)； ; (5)；   ; (6)米． ; 5．下列代数式中有 个单项式．，，，，0，，， 6．用代数式表示： （1）某商店甲商品的单价为x元，乙商品的单价为y元，则小明买3件甲商品与5件乙商品共花费 元； （2）已知A、B两地相距540千米，甲列车从A地开往B地，速度是a千米/时；乙列车从B地开往A地，速度是b千米/时，若两车同时出发，则 小时后两车相遇． 7．若单项式是一个关于x，y的五次单项式，则 ． 8．（1）单项式的系数是 ，次数是 ． （2）单项式的系数是 ，次数是 ． 9．若单项式的系数是，次数是4，则 ． 10．下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                } 多项式{                                } 11．多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式． 12．多项式是 次 项式． 13．有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有 ，属于多项式的有 ，属于整式的有 ．（填序号） 14．若，则 ． 15．当时，二次根式的值是 ． 16．按下面的程序计算： 若输入，输出结果是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 整式的概念 模块导航 · 模块一 代数式的概念 · 模块二 单项式 · 模块三 多项式 · 模块四 课后作业 模块一 代数式的概念 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: 类型 书写要求 字母与字母相乘 “×”号通常省略不写或写成“ · ”；如：x×y写作xy或x · y 数与字母相乘 数字 通常写在字母的前面；（不只要写作字母前面，有括号时还要写在括号前面。）如可写作 ， （a+b）2可写作2（a+b）。 带分数与字母相乘 通常化带分数为 假 分数；如可写作 除式中含有字母 要写成 分数 的形式。如2应写作 ，x应写作 代数式带有单位 当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,结果带单位时,式子整体加括号。如：（3+a）米，[4+2（m-1）]cm等 注意： (1)同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示。 (2)用字母表示实际问题中的某个量时，字母的取值必须使式子有意义且符合实际情况。 (3)“平方的和(差)"要先平方再相加(减)；“和(差)的平方"要先相加(减)再平方，和(差)要加括号。 (4)代数式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符号。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代数式。 知识点2 代数式的概念 像10a+2b，，2a2，这样，由数、表示数的 字母 和 运算符号 组成的数学表达式叫作代数式。单独的一个数或一个字母也是 代数式 注意： 代数式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符号。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代数式。 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用 语言叙述 出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予 具体的含义 。 注意： (1)要注意实际问题中的数量关系必须与代数式所表示的相一致。 (2)问题的结论往往具有开放性，只要说法合乎情理即可。 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式。例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是 a 减去 b ，列成式子为 a-b ；运算词“商”表是 a 除以“差”,即 （填完整的代数式） 注意：按照顺序逐步列式 (1)审题，认真分析问题中有关术语的含义。如:和、差、积、商、多、少、几倍、几分之一、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小等； (2)注意问题中的语言叙述所表示的运算顺序； (3)弄清问题中的层次关系,抓住“”字的作用； (4)注意运算的逆向思维。如某数与ab的积为5,则该数为，问题中出现的是积，而列出的代数式却为商的形式。 知识点5 代数式的值的概念 用 数值 代替代数式中的 字母 按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。这个过程叫作求代数式的值。例如：当x=-5时，代数式(x+2)2=(-5+2)2=(-3)2=9，那么 9 就是当x=-5 时,代数式(x+2)2的值。 考点专训 考点1 代数式的概念 【例1】在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 【变式1】有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的概念及识别，掌握代数式的概念是解题的关键． 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式，注意，单独的一个数或字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：①，是代数式， ②，不是代数式， ③，是代数式， ④，是代数式， ⑤，不是代数式， ⑥，是代数式， ⑦，是代数式， ⑧，不是代数式， ⑨，不是代数式， ∴代数式的有①③④⑥⑦，共5个， 故选：D ． 【变式2】下列说法不正确的是（　　） A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例关系 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系 C．速度一定，路程与时间成正比例关系 D．单价一定，总价与数量成正比例关系 【答案】A 【分析】本题考查了正比例和反比例，两个量比值一定成正比例，乘积一定成反比例，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：、工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系，该选项说法错误，符合题意； 、圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系，该选项说正确，不合题意； 、速度一定，路程与时间成正比例关系，该选项说正确，不合题意； 、单价一定，总价与数量成正比例关系，该选项说正确，不合题意； 故选：． 【变式3】下列各式：，，，，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 根据代数式的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：，，，，，，，中，代数式有：，，，，，共个， 故选：D． 【变式4】下列各式中， ； ； ； ； ； ； ； ； ，代数式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的概念，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．这样根据代数式的概念逐一仔细判断即可，正确理解代数式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据代数式的概念可知，是代数式，共个， 故选：． 考点2 用字母表示数的书写 【例1】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：B． 【变式1】填空： （1）字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“ ”； （2）字母与数相乘时，数通常写在字母的 ； （3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为 ； （4）字母与字母相除时，要写成 的形式； （5）若三角形的一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ； （6）小明从每月的零花钱中贮存x元捐给希望工程，一年下来小明共捐款 元． 【答案】 前面 假分数 分数 12x 【解析】略 【变式2】下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 【变式3】有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键．根据代数式书写要求进行判断即可． 【详解】解：符合代数式书写要求； 应该写成，不符合代数式书写要求； 米应该写成米，不符合代数式书写要求； 符合代数式书写要求； 故选B． 【变式4】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不符合式子书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写要求，根据代数式的书写规则：分数不能为带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，数与字母相乘，乘号省略或者用“．”表示，对各项代数式逐一判定即可． 【详解】①中分数不能为带分数； ②2•3中数与数相乘不能用“”，应该用“”； ③中不能出现除号； ④20%x，书写正确； ⑤书写正确； ⑥书写正确； 不符合代数式书写要求的有①②③共3个． 故选：C． 考点3 列代数式 【例1】据市科技局发布，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我市高新技术企业数量分别为m家和n家，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据题意，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．可得2023年我市高新技术企业数量为，2024年我市高新技术企业数量为，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，, 故选：B． 【变式1】用代数式表示： （1）甲数与乙数的和为10，设甲数为y，则乙数为 ． （2）甲数比乙数的2倍多4，设甲数为x，则乙数为 ． （3）为了迎接即将举行的运动会，学校准备购置一批篮球和足球，买一个篮球需要x元，买一个足球需要y元，买30个篮球和20个足球共需要 元． （4）大华的身高为，小亮的身高为，他们俩的平均身高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，比较简单，列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，并注意书写的规范性． 【详解】解：（1）由题意得，设甲数为y，则乙数为：； 故答案为：； （2）由题意得，设甲数为x，则乙数为：； 故答案为：； （3）由题意得，买30个篮球和20个足球共需要元， 故答案为：； （4）由题意得，他们俩的平均身高为 ； 故答案为：． 【变式2】有两块棉花田，第一块是，收棉花，第二块是，收棉花，这两块棉花田的平均产棉量是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．求这两块棉田的平均产量，首先算出棉花的总产量和总面积数；再用棉花的总产量除以总面积数即可． 【详解】解：有两块棉花田，第一块是，收棉花，第二块是，收棉花， 这两块棉花田的平均产棉量是． 故答案为：． 【变式3】说出下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的倍与的和 (2)与的和的倍 (3)除以与的积的商 (4)的平方、的倍与的和 【分析】本题考查代数式， （1）根据代数式，用语言叙述出来即可； （2）根据代数式，用语言叙述出来即可； （3）根据代数式，用语言叙述出来即可； （4）根据代数式，用语言叙述出来即可． 掌握代数式的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：的意义是的倍与的和； （2）的意义是与的和的倍； （3）的意义是除以与的积的商； （4）的意义是的平方、的倍与的和． 【变式4】用文字语言表示下列代数式： (1) (2) 【答案】(1)的倍与的倍的和 (2)的平方与、乘积的一半的差 【分析】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是观察代数式的特点． （1）根据代数式的特点求解即可； （2）根据代数式的特点求解即可． 【详解】（1）解：表示：的倍与的倍的和； （2）表示：的平方与、乘积的一半的差． 模块二 单项式 知识点 单项式 1.单项式的概念:由数与字母或字母与字母 相乘 组成的代数式叫作单项式。单独一个 数 或一个 字母 也叫单项式，如0，-1，a。 方法：判断一个代数式是不是单项式，关键是看该代数式是不是数与字母或字母与字母的乘积。式子中含有加、减运算或分母中含有字母的均不是单项式。 2.单项式的系数:单项式中的 数字因数 叫作这个单项式的系数。例如，-3x的系数是-3，ab的系数是1。 注意：在确定单项式的系数时，要注意其符号，其中形如a，-a这样的式子的系数分别是1，-1，不能误以为没有系数。 3.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的 指数 的 和 叫作这个单项式的次数。例如，-3x的次数是1，ab的次数是1+1=2。 注意：(1)单项式的次数与数字因数无关，只与字母有关，是单项式中所有字母的指数的和。如单项式b的次数是1，而不是0；常数-5 的次数是0；9x103a2b3c的次数是6，与 103无关。 (2)要正确区分单项式的次数与单项式中字母的次数，如6p2q的次数是3，其中字母p的次数是2。 考点专训 考点1 单项式的定义 【例1】下列代数式中，属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，可以做出选择． 根据单项式的定义进行分析即可． 【详解】解：A、是单项式，符合题意； B、分母有字母，不是单项式，不符合题意； C、是多项式，不符合题意； D、是多项式，不符合题意， 故选：A． 【变式1】给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的判断， 根据定义解答，即数字与字母的乘积就是单项式，注意单独的数字和字母也是单项式 【详解】解：单项式有，一共4个，其中是多项式，而不是单项式，也不是多项式. 故选：B. 【变式2】在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义是解题的关键． 【详解】解：式子，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子，，不是单项式； 式子为等式，不是单项式； 故单项式有①③． 故答案为：①③． 考点2 单项式的系数与次数 【例1】单项式的系数和次数分别是（   ） A．系数，次数3 B．系数，次数3 C．系数，次数4 D．系数5，次数4 【答案】C 【分析】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和单项式的次数是解题的关键．根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进行求解即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是 4 ， 故选：C． 【变式1】单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的系数，根据单项式系数的概念，即可解得，熟知单项式的系数的概念是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 【变式2】已知是关于x，y的五次单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数的定义，解题的关键是根据单项式次数的定义，可得，，求出m的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于、的五次单项式， ，， ， ∴． 故答案为：． 【变式3】单项式的次数是 ，系数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】解：的次数是，系数是． 故答案为：，． 【变式4】已知是关于的五次单项式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．根据次数等于5且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得： 且， 解得． 故答案为：． 模块三 多项式 知识点1 多项式 1.定义：由几个单项式 相加 组成的代数式叫作多项式。 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的 项 ，不含字母的项叫作 常数项 。一个多项式含有几项，就叫几项式。例如：a2+3a-2的项有a2，3a，-2，三项，叫三项式；其中常数项是-2。 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的 次数 就是这个多项式的次数。例如：a2+3a-2次数最高的项a2的次数是2，a2+3a-2的次数为2。 注意： (1)确定多项式的项时，要带前面的符号。 (2)确定多项式的次数时，先计算出多项式中每一个单项式的次数，再确定多项式的次数。 (3)一个多项式是几次几项，就叫几次几项式，如2x2+3x-3有三项，次数最高项的次数为2，所以 2x2+3x-3是二次三项式。 知识点2 整式 1.概念: 单项式 和 多项式 统称为整式。 2.判断整式、单项式及多项式的方法 (1)单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； (2)多项式是几个单项式的和； (3)单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式。 方法： 凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连接起来的就是多项式，而单项式注重一个“积”字。 考点专训 考点1 多项式的概念 【例1】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式 C．单项式的次数是1，无系数 D．是多项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据单项式的系数和次数的定义、多项式的次数和项数的定义逐项判断即可求解 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，该选项不符合题意； B、多项式是四次三项式，该选项不符合题意； C、单项式的次数是1，系数是1，该选项不符合题意； D、是多项式，该选项符合题意； 【变式1】在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式． 【详解】解：在代数式，，，0，，，中，单项式有，，0，，共4个，多项式有，，，共3个， 故选：C． 【变式2】已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ （1）其中单项式有 （写序号），它们的系数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． （2）其中多项式有 （写序号），它们的次数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． 【答案】 ①②⑦ 、、 ④⑥ 、 【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答； （2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答． 【详解】解：（1）∵单项式是由数字与字母的积组成的整式， ∴，，是单项式，即①②⑦是单项式， ∴的系数为，的系数为，的系数是， 故答案为：①②⑦；、、； （2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式， ∴，，即④⑥， ∴的次数为，的次数为， 故答案为：④⑥；、． 【点睛】本题主要考查了单项式的定义及其系数的定义，多项式的定义及其系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【变式3】把下列代数式分别填在相应的括号内．    (1)单项式：｛             …｝ (2)多项式：｛             …｝ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据单项式是数与字母的积可得答案； （2）根据多项式是几个单项式的和可得答案． 【详解】（1）解∶ 单项式：｛ …｝ （2）解∶ 多项式：｛ ，…｝ 考点2 多项式的项与次数 【例1】下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据定义判定即可． 【详解】解：A、是二次三项式，故该选项符合题意； B、不是整式，故该选项不符合题意； C、是二次三项式，不是四次三项式，故该选项不符合题意； D、是三次三项式，故该选项不符合题意； 故选：A 【变式1】是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项系数为 ，常数项为 ，写出所有的项： ． 【答案】 三 三 1 【分析】本题考查多项式的项，项数，系数和次数，根据多项式中的单项式中的个数为项数，最高项的次数为多项式的次数，每一项的数字因数，为每一项的系数，不含字母的项为常数项，进行作答即可． 【详解】解：是三次三项式，其中三次项系数是，二次项系数为，常数项为1，所有的项为； 故答案为：三，三，，，1，． 【变式2】若是关于的四次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，根据四次三项式的定义可得且，据此解答即可求解，掌握多项式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的四次三项式， ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式3】多项式   是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 三 四 【分析】本题考查多项式的项数，次数，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 【详解】解：多项式由四个单项式组成，最高次项是，次数是3，常数项是． 故答案为：三；四；． 【变式4】如果关于的多项式中不含一次项，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．令一次项的系数等于0求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式中不含一次项， ∴， ∴． 故答案为：5． 考点3 整式的概念 【例1】已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个， 故答案为：5． 【变式1】下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式，据此即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有①，④，⑤，共个， 故答案为：． 考点4 求整式的值 【例1】当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式求值，算术平方根．解题的关键在于正确的运算． 将代入求值即可． 【详解】解：将代入得，， 故答案为：2． 【变式1】若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 【变式2】若代数的值为5，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，再由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵代数的值为5， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式3】若，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查代数式的整体代入求值， 解题的关键在于将已知条件中的视为整体，直接代入所求代数式中．先将变形为，再由已知条件通过整体代入的方式求解即可． 【详解】解：由， 整理得：． 将变形为， ∴ ； 故答案为：2025． 【变式4】在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环的规律是解题的关键． 【详解】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环， ， ∴第2025次输出的结果为2， 故答案为：2． 【变式5】如图是某算法的程序框图，若开始输入的，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、代数式求值，掌握有理数混合运算顺序，读懂题意是解题关键．把代入，得出，不合题意，再次依次代入，直到得出符合条件的结果． 【详解】把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 故答案为：． 模块四 课后作业 1．近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据题意可得打八折后新能源汽车的价格为元，故再优惠元后，新能源汽车的售价为元． 【详解】解：由题意得：打八折后新能源汽车的价格为元， 再优惠元后，新能源汽车的售价为元 故选：C． 2．下列是代数式的有： ．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 【答案】（1）（2）（3）（6）（8） 【分析】本题考查了代数式的概念：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，根据此概念判断即可． 【详解】解：；；；； 0是代数式，其它都不是代数式； 即（1）（2）（3）（6）（8）是代数式； 故答案为：（1）（2）（3）（6）（8）． 3．下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的含义是a与4的差除以b的商；④a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了代数式的意义，代数式的书写方法，理解除和除以的区别，在解答的过程中要认真分析题意，搞清运算顺序是关键，代数式书写时带分数必须化为假分数． 【详解】解：a是代数式，1也是代数式，故①不正确； 表示数a，b，的积的代数式是，故②不正确； 代数式的含义是a与4的差除以b的商，故③正确； a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为，故④不正确． 综上，正确的有③， 故答案为：③． 4．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)；  ;   (2)；  ;  (3)；  ;   (4)； ; (5)；   ; (6)米． ; 【答案】 米 【分析】根据代数式的书写格式解答即可 【详解】解：（1）应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； (5)应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； (6)米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 【点睛】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号． 5．下列代数式中有 个单项式． ，，，，0，，， 【答案】5 【分析】根据单项式的定义进行判断即可． 本题主要考查了单项式的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单个的字或数字也是单项式． 【详解】单项式有，，0，，y，共5个． 故答案为：5． 6．用代数式表示： （1）某商店甲商品的单价为x元，乙商品的单价为y元，则小明买3件甲商品与5件乙商品共花费 元； （2）已知A、B两地相距540千米，甲列车从A地开往B地，速度是a千米/时；乙列车从B地开往A地，速度是b千米/时，若两车同时出发，则 小时后两车相遇． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式； （1）由甲商品的总价加上乙商品的总价可得答案； （2）由总路程除以甲、乙的速度和可得答案． 【详解】解：（1）某商店甲商品的单价为x元，乙商品的单价为y元，则小明买3件甲商品与5件乙商品共花费元； 故答案为： （2）A、B两地相距540千米，甲列车从A地开往B地，速度是a千米/时；乙列车从B地开往A地，速度是b千米/时，若两车同时出发，则小时后两车相遇． 故答案为： 7．若单项式是一个关于x，y的五次单项式，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式次数的定义：“所有字母的指数和”，列式计算即可． 【详解】解：根据题意：， 则， 故答案为：． 8．（1）单项式的系数是 ，次数是 ． （2）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． （1）根据单项式的概念解答即可； （2）根据单项式的概念解答即可． 【详解】解：（1）单项式的系数是，次数是， （2）单项式的系数是，次数是， 故答案为：，5，，4． 9．若单项式的系数是，次数是4，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式系数和次数的定义，代数式求值，掌握单项式的数字因数是单项式的系数，字母的指数和是单项式的次数是解题关键．根据单项式系数和次数的定义可求出，，再代入中求值即可． 【详解】解：因为单项式的系数是，次数是4， 所以，， 解得：，， 所以． 故答案为：． 10．下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                } 多项式{                                } 【答案】，0，，， ；，， 【分析】本题主要考查整式的有关概念及分类，注意区分单项式与多项式的概念是解答本题的关键．“由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式．” “几个单项式的和叫做多项式．”根据单项式和多项式的定义一一判断即分类即可． 【详解】解：单项式{，0，，， } 多项式{，， } 11．多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式． 【答案】 五 二 【分析】本题考查了多项式的相关概念，理解并掌握多项式次数，项数的定义是解题的关键． 根据多项式次数的定义进行判定即可求解． 【详解】解：多项式的最高次项是，次数是，它是五次二项式， 故答案为：①；②；③五；④二 ． 12．多项式是 次 项式． 【答案】 六 四 【分析】本题考查了多项式的相关概念，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的次数、项数的概念即可作答． 【详解】解：多项式的最高次数为6，项数为4，所以该多项式是六次四项式． 故答案为：六，四． 13．有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有 ，属于多项式的有 ，属于整式的有 ．（填序号） 【答案】 ①⑤ ②④⑥ ①②④⑤⑥ 【分析】根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式，可以判断出是单项式；根据几个单项式的和叫做多项式，可以判断出属于多项式的有；根据单项式和多项式统称整式，可以判断出属于整式的有． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式， 是与的积， 是单项式， 是、、的积， 是单项式， 属于单项式的有； 几个单项式的和叫做多项式， ，是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 属于多项式的有； 单项式和多项式统称整式， 属于整式的有． 中的分母中含有字母， 是分式，既不是单项式也不是多项式，也不是整式． 【点睛】本题主要考查了单项式、多项式、整式．解决本题的关键是熟练地掌握单项式、多项式、整式的定义． 14．若，则 ． 【答案】7 【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是将变形为整体代入求解． 先将变形为，然后根据整体方法代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 15．当时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，代入求值是解题的关键． 利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时，． 故答案为： ． 16．按下面的程序计算： 若输入，输出结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据程序流程图把代入计算即可求解，看懂程序流程图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴输出结果是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$