专题09 有理数章末易错压轴题型（18易错+8压轴）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题09 有理数章末易错压轴题型 （18易错+8压轴） 易错题型一 有理数的概念与分类 1．下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数的意义，根据正数与负数的性质及的意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为℃，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：因为正整数，0，负整数统称为整数，所以A不正确； 因为0是有理数，所以B不正确； 因为非负有理数就是正有理数和0，所以C不正确； 因为整数和分数统称为有理数，所以D正确． 故选：D． 3．把下列各数填入相应的横线内： ，，，，，． 自然数：____________；负分数：____________；正有理数：____________． 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握自然数，负数，正有理数的定义是解题的关键． 自然数：如的数是自然数；负分数：正分数前面加一个负号的数是负分数，；正有理数包括正分数、正整数，由此即可求解． 【详解】解：， ∴自然数有：； 负数有：； 正有理数有：； 故答案为：；； ． 易错题型二 数轴 4．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，根据数轴得到，结合有理数运算法则及绝对值判断即可得到答案； 【详解】解：由数轴得， ， ∴，故C正确，符合题意， ，，，故A，B，D不符合题意， 故选：C． 5．小华同学写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值判断，被墨迹盖住的两部分的整数有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴，整数的概念，根据数轴上点的特点，可知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于而小于3，写出其中的整数即可． 【详解】解：根据数轴得：墨迹盖住的整数共有，，，和，0，1，2，共7个． 故答案为：7． 6．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)写出大于b的所有负整数． (2)在数轴上标出表示，0，，b的点，并用“”连接起来． 【答案】(1) (2)数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，利用数轴表示有理数的大小： （1）根据题意可知b对应的数是，则根据数轴可知大于b的所有负整数为； （2）先在数轴上表示出各数，再根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为． ∴b对应的数是， ∴大于b的所有负整数为； （2）解：如图所示，即为所求； ∴． 易错题型三 相反数 7．下列说法正确的是（    ） A．带“+”号的和带“”号的数互为相反数 B．和一个点距离相等的两个点表示的数一定互为相反数 C．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D．一个数的前边添上“”号所得的数是这个数的相反数 【答案】D 【分析】根据相反数的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、和不互为相反数，故A不正确，不符合题意； B、表示9和11的点到10的距离相等，但9和10不互为相反数，故B不正确，不符合题意； C、和在原点两旁，不互为相反数，故C不正确，不符合题意； D、一个数的前边添上“”号所得的数是这个数的相反数，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数． 8．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 9．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【详解】【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点； （3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C； （3）如图所示： 故答案为：B；C． 易错题型四 绝对值非负性 10．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 11．a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 12．根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可； （2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，互为相反数， ∴， 又∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键． 易错题型五 绝对值化简 13．如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 14．数轴上，有理数a，b，，c的位置如图，则化简的结果为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴，绝对值，关键是从数轴上分析a、b、c的大小关系，进行去绝对值计算． 观察数轴可得，由此进行去绝对值计算即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ．， 故答案为： 0． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是____________； ②数轴上表示和的两点之间的距离是____________； ③数轴上表示和4的两点之间的距离是____________； （2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________． （3）应用： ①如果表示数和2的两点之间的距离是5，则可记为：，那么__________． ②若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． 【答案】（1）3；4；6；（2）；（3）或；7 【分析】本题考查了数轴表示数的意义和方法、绝对值的意义，理解数轴上两点距离的计算方法是解本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）根据题意得或，求解即可；由题意得，求解即可． 【详解】解：（1）①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3； ②数轴上表示和的两点之间的距离是4； ③数轴上表示和4的两点之间的距离是6； 解：（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； 解：（3）①∵， ∴或，解得：或； ②由题意得：， ∴； 易错题型六 有理数的大小比较 16．下列说法中，正确的是（　　） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的大小比较，掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义，对题目选项中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个负数绝对值较大的数反而小，故此选项错误； B、两个正数绝对值较大的数较大，故此选项错误； C、互为相反数的两个数绝对值相等，故此选项正确； D、绝对值相等的两个数相等或者互为相反数，故此选项错误． 故选：C． 17．比较大小： （填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 18．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，多重符号化简，解题的关键是掌握有理数的大小比较． （1）先化简计算，再比较大小； （2）先化简计算，再比较大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 易错题型七 有理数的加法运算 19．用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； （2）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（1）计算：；         （2）计算： 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去绝对值负号再进行相加即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 易错题型八 有理数的减法运算 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可； （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)10 (3)8 (4)0 【分析】本题考查有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （2）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （3）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （4）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 24．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【答案】(1)3 (2) (3)168 (4) (5)7 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ． 易错题型九 有理数加减中的简便运算 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加； （2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（1）； （2） ； （3） ； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用绝对值的性质及有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加减法则计算即可； （4）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 易错题型十 有理数的乘法运算 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 29．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 30．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案； （2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错题型十一 有理数的除法运算 31．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)0 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （2）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （3）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （4）原式各项利用除法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可； （2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可； （3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 易错题型十二 有理数的乘方运算 34．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 35． ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，直接根据负数的奇次幂是负数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 36．计算：． 【答案】 【分析】先利用有理数的乘方，零次幂分别化简，进而计算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、零次幂的概念与计算，掌握有关运算法则是解题的关键． 易错题型十三 有理数的混合运算 37．递等式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）将除法统一成乘法，根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 38．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算加减即可； （2）根据乘方分配律计算即可． 【详解】（1） （2） 39．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）变为省略加号和括号的加法计算即可； （2）把除法变为乘法进行多个有理数的乘法运算即可； （3）把除法变为乘法用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 易错题型十四 有理数的四则混合运算实际应用 40．陶山甘蔗是瑞安的特产，每年十月是其盛产期．小瑞同学打算从瑞安寄箱甘蔗到杭州，以每箱千克为标准，实际重量统计如下表，记录如下：小瑞同学选择了某快递公司，收费标准如下：首重千克以内元（含千克），续重（超过千克的部分）元千克，不足千克按千克计． 每箱的重量（单位：千克） 箱数 (1)求这箱甘蔗的总重量． (2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：分箱，每箱一个包裹．方案二：箱打包进一个大箱子，大箱子重千克，元一个．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少钱？ 【答案】(1)（1） (2)方案二更省钱，省元． 【分析】（）求出记录数字之和，确定出总重即可； （）根据两种寄件方式及快递收费标准分别求出两种方案的费用，再比较即可； 本题考查了有理数四则运算实际应用，正确理解题意并灵活运用相关知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）； （2）方式一：（元），（元）， 方式二：元， ∴方案二更省钱，省元． 41．如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． (1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ (2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 【答案】(1) (2)101个 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据图1中的数据求出每增加一个纸杯增加的高度即可； （2）根据总高度求出纸杯的个数即可． 【详解】（1）根据题意得： ， ， 则2个叠放在一起的纸杯的高是； （2）根据题意得： （个）， 则纸杯个数为101个． 42．有10筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 1 1 3 1 3 (1)10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，10筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这10筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重千克； (2)与标准重量比较，10筐白菜总计超过2千克； (3)630元． 【分析】本题考查了正负数的意义以及有理数加减运算，乘法运算的实际应用，正确理解题意，列出算式是解答本题的关键． （1）用超过的最大数减去不足的最小数，可得答案； （2）求出超过和不足的重量和，根据结果可得答案； （3）求出总重量，利用单价乘以重量，可得答案． 【详解】（1）解：（千克）． 答：10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：（千克）． 答：与标准重量比较，10筐白菜总计超过2千克； （3）解：（元）． 答：出售这10筐白菜可卖元． 易错题型十五 科学记数法 43．2024年，模型发布，爆火全球，据AI数据统计，截止到2025年2月9日，该应用的下载量超过1.1亿次，周活跃用户达到了9700万．其中数据“9700万”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：9700万． 故选C． 44．ChatGP7是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故答案为：． 45．2005年6月18日，重庆轨道交通第一条线路——2号线开通初期运营，使重庆成为西部地区第一座开通城市轨道交通的城市．目前，重庆轨道交通现已开通运营13条线路，运营里程538公里，最高日客运量516.2万人次．其中，516.2万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解： 516.2万． 516.2万用科学记数法表示为． 故答案为：． 易错题型十六 程序流程图 46．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为4，则输出的值为（   ）    A．30 B． C． D．28 【答案】D 【分析】本题结合流程图考查了有理数的混合运算． 直接按照流程图步骤列式：，再计算即可． 【详解】解：由题意可得，当输入4时，输出结果为： ； 故选D． 47．如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据题意列式计算，直至结果小于0即可． 【详解】解：输入1时，，输出结果， 故答案为：． 48．以下是一个简单的数值运算程序：    小明认为当输入的为正数时，输出的值为负数；当输入的为负数时，输出的值仍为负数．你同意小明的观点吗？请你分别选择一个正数和一个负数输入该程序，看输出的结果分别是多少． 【答案】同意，代入结果见解析 【分析】根据程序框图列出关系式，将和代入求解，即可作出判断． 【详解】解：同意他的观点． 例如：当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 易错题型十七 算“24”点 49．中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：或． 故答案为：或．（答案不唯一） 50．算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连结起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“”这4个数字算“24点”，列出的算式是 ． 【答案】 【分析】利用运算符号将四个数连接，结果为24即可．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：． ∴列出的算式是． 51．小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，24点的计算方法，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可； （2）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：或或．（答案不唯一，合理即可） （2）解：． 易错题型十八 近似数 52．下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断．根据各选项的数值单位及精确位数逐一分析． 【详解】解：选项A：0.759精确到个位时，需看十分位的数字7，，向个位进1，结果为1，说法正确，本选项不符合题意； 选项B：18.04精确到0.1（十分位）时，需看百分位的数字4，，舍去，结果为18.0，说法正确，本选项不符合题意； 选项C：5.7万表示57000，以万为单位时，小数点后第一位（十分位）对应实际数值的千位．因此，“精确到十分位”指精确到千位，但选项描述为“精确到十分位”，容易误解为原数57000的小数点后第一位（实际不存在），表述不严谨，本选项符合题意； 选项D：356700精确到万位时，千位数字为，向万位进1，得36万，科学记数法为，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 53．用四舍五入法取近似数，18950精确到百位是 （用科学记数法表示最后结果） 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法与精确度，一个近似数精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，再进行四舍五入． 【详解】解：． 故答案为：． 54．用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似数． (1)53320；（精确到百位） (2)1.395．（精确到百分位） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键在于能够熟知：精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入． （1）把十位上的数字2进行四舍五入即可； （2）把千分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 压轴题型一 数轴上的动点问题 55．如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． (1)点在数轴上表示的数为 　　，点在数轴上表示的数为 　　， (2)当点与点相遇时，求点，在数轴上表示的数； (3)当运动到（单位长度）时，求出此时点在数轴上表示的数． 【答案】(1)，22 (2)当点与点相遇时，点表示的数为3，点表示的数为12 (3)当运动到（单位长度）时，点在数轴上表示的数为或 【分析】（1）根据点A，点C表示的数以及，计算即可； （2）根据速度时间距离列方程求解即可； （3）分情况讨论：根据绝对值的意义，列方程求出t的值，然后再分别计算点B在数轴上表示的数即可． 本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点在数轴上表示的数为； 点在数轴上表示的数为． 故答案为：，22； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ，． 答：当点与点相遇时，点表示的数为3，点表示的数为12； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，． 答：当运动到（单位长度）时，点在数轴上表示的数为或． 56．阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是 (2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解； （2）设这个数是，根据题意得：，即可求解； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点， 故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：， 解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点， 故答案为：或； （3）设点运动的时间为， 由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒）， 分四种情况： ①当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ②当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ③当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ④当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 57．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 压轴题型二 数轴动点中的定值问题 58．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数； （3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断； 【详解】解：（1）由题意可得： 点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为：， 故答案为：，1； （2）由题意可得：， 又∵，， ∴， ∴点M对应的数为：，点N对应的数为：； （3）的长度与t无关，理由如下： ∵， ∴点Q对应的数为：， ∴， ∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8． 59．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题． （1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值； （2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 的相反数为， ， 故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合， 折点为， 与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 60．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （）；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 压轴题型三 带有字母的绝对值化简问题 61．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 62．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 63．若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 压轴题型四 绝对值的几何意义 64．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 65．我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（）由得式子表示到的距离与到的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由得式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴式子表示到的距离与到的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； （）∵， ∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和， 如图， 可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 66．【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 压轴题型五 有理数的四则混合运算综合 67．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)26 (2) (3) (4)2 【分析】(1)按照有理数四则混合运算法则计算即可． (2) 根据分配律，四则混合运算法则计算即可． (3)按照有理数的加减混合运算法则计算即可． (4)变除法运算为乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的运算律，乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 68．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 69．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3)1 (4)5050 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 压轴题型六 有理数简便运算综合 70．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 71．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 72．用简便方法计算 (1) (2). 【答案】(1)；(2)99900. 【分析】（1）将写成，再根据乘法分配律进行计算即可；（2）将写成，再利用乘法分配律的逆运算进行计算即可求得结果. 【详解】解：(1) ； (2)原式 . 【点睛】此题考查有理数的乘法分配律及其逆运算，（1）中将带分数拆分成与其相近的整数加减其它分数表示的方法，再根据乘法分配律计算很简便；（2）中要将每组乘法中的一个因式写成同一个数的形式，再利用乘法分配律的逆运算进行运算，以达到简便的目的. 压轴题型七 有理数的四则混合运算实际应用 73．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟； (2)①小明不能按照计划到家，理由见解析；②见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为：（元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 方案一：出租车＋便民自行车，最少时间18分钟，费用14元 方案二：公交车＋出租车，时间20分钟，费用13元 方案三：出租车＋公交＋便民自行车，时间20.5分钟，费用14元 方案四：公交车＋便民自行车，时间最少21.5分钟，费用4元 方案五：出租车＋公交＋走路，时间最少24.5分钟，费用13元 方案六：出租车，时间14分钟，费用19元； 方案七：公交车，时间25.5分钟，费用3元； 74．游戏推理：星期天，小明和叔叔一起玩扑克牌，叔叔想考考小明，便拿出两副牌，一边说一边做：取两副牌，每副牌的排列顺序按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色又按，，，，，，顺序排列，然后把两幅扑克牌叠放在一起，把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层如此下去，猜想最后一张是哪张牌．小明想了想，又算了算，得出了正确答案，你知道是哪张牌吗？说出理由． 【答案】最后剩下的应是方块6，理由见解析． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，整式的运算等知识点，可以通过由特殊情况到一般情况的归纳推理，当扑克牌的张数分别为时，从简单入手，找出规律即可得解，熟练掌握其性质并能正确找出规律是解决此题的关键． 【详解】先给每张牌标上牌号1，2，3，4……从简单情况入手，不难得到下表：     游戏 牌数 留下 牌号 规律 游戏牌数 留下 牌号 规律 2 2 11 6 3 2 12 8 4 4 13 10 5 2 14 12 6 4 15 14 7 6 16 16 8 8 17 2 9 2 18 4 10 4 …… …… …… 剩下的牌号（参加牌数）（为最靠近且小于的数）． 运用规律得出答案：两副牌共有（张），留下的牌号为 （号）． 又∵每副牌有大、小王各1张，黑桃、红桃、方块、梅花各13张， ∴（张），． ∴最后剩下的应是方块6． 75．某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)每个班计划购书量为本 (2)，， (3) 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算，正确理解正负数的意义是解题的关键． （1）由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本． （2）由一班实际购书量与计划购书量的差本，二班实际购书量为本，三班实际购书量为本，与每个班计划购书量为本相加减即可求． （3）把每班实际数量相加，可得个班团体购书总数量，用总数除以，求出每次购买本的次数，以及需要单独购买的数量，根据每本书售价为元，列式计算可得答案． 【详解】（1）解：∵由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为， ∴每个班计划购书量为本， （2）解：由题意可得：∵一班实际购书量与计划购书量的差本， ∴一班实际购入本， ∵二班实际购书量为本， ∴二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， ∵三班实际购书量为本， ∴三班实际购书量与计划购书量的差为本， 故答案为：，，． （3）解：由上可得个班团体购书总数量为：本， ∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， 又∵一次购买达到本，其中本书免费， ∴一次购买达到本，只需要花本书的钱， ∴最低总花费为：元， ∴这个班团体购书的最低费用为． 压轴题型八 有理数的新定义问题 76．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 77．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 78．定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 【答案】(1)2，4，8，16，32 (2)或 (3)5； 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）根据有理数乘法计算法则求出这4个数两两相乘的结果即可得到答案； （2）二维数组中有0，则这几个有理数中必定有一个数为0，假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，则可推出一定是二维数组中的每个数，再由，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，可得这几个有理数都是整数；若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，则此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，此时必有有理数为和，这与假设矛盾，当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，得到此时必有有理数为和，这与假设矛盾；当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，可得此时必有一个有理数为，进而推出此时必有有理数4和6，则有理数满足题意，同理有理数也满足题意； （3）要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，根据4个数两两相乘一共有6种结果，则当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，由1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，故当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，据此求解即可． 【详解】（1）解：，，，，，， ∴1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数为2，4，8，16，32； （2）解：∵二维数组中有0， ∴这几个有理数中必定有一个数为0， 假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足， ∴一定有一个数满足，一定有一个数满足， ∴一定是二维数组中的每个数， ∵，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方， ∴这几个有理数都是整数； 若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数， ∵， 此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾， ∴没有有理数1， 当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴ 此时必有有理数为和，这与假设矛盾； 当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24，且， ∴此时必有有理数4和6， ∵， ∴这时有理数满足题意， 同理有理数也满足题意； （3）解：∵0乘以任何数为0， ∴要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0， ∵4个数两两相乘一共有6种结果， ∴当剩下的4个数两两相乘的结果要最少， ∵1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数， ∴当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少， 综上所述，5个不同的数相乘时不同的结果最少为5个，即，此时满足题意的有理数可以为， 故答案为：5；． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 有理数章末易错压轴题型 （18易错+8压轴） 易错题型一 有理数的概念与分类 1．下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 3．把下列各数填入相应的横线内： ，，，，，． 自然数：____________；负分数：____________；正有理数：____________． 易错题型二 数轴 4．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．小华同学写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值判断，被墨迹盖住的两部分的整数有 个． 6．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)写出大于b的所有负整数． (2)在数轴上标出表示，0，，b的点，并用“”连接起来． 易错题型三 相反数 7．下列说法正确的是（    ） A．带“+”号的和带“”号的数互为相反数 B．和一个点距离相等的两个点表示的数一定互为相反数 C．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D．一个数的前边添上“”号所得的数是这个数的相反数 8．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 9．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 易错题型四 绝对值非负性 10．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 11．a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 12．根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 易错题型五 绝对值化简 13．如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 14．数轴上，有理数a，b，，c的位置如图，则化简的结果为 ． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是____________； ②数轴上表示和的两点之间的距离是____________； ③数轴上表示和4的两点之间的距离是____________； （2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________． （3）应用： ①如果表示数和2的两点之间的距离是5，则可记为：，那么__________． ②若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． 易错题型六 有理数的大小比较 16．下列说法中，正确的是（　　） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 17．比较大小： （填“”“”“”）． 18．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 易错题型七 有理数的加法运算 19．用适当方法计算： (1) (2) 20．（1）计算：；         （2）计算： 21．计算： (1)； (2)． 易错题型八 有理数的减法运算 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 易错题型九 有理数加减中的简便运算 25．计算： (1)； (2)． 26．计算： (1)； (2)． 27．（1）； （2） ； （3） ； （4） 易错题型十 有理数的乘法运算 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．计算： (1)； (2)； (3)． 30．用简便方法计算： (1)； (2)． 易错题型十一 有理数的除法运算 31．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．计算： (1)； (2)； (3)． 易错题型十二 有理数的乘方运算 34．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 35． ． 36．计算：． 易错题型十三 有理数的混合运算 37．递等式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 38．计算： (1) ； (2)． 39．计算 (1) (2) (3) 易错题型十四 有理数的四则混合运算实际应用 40．陶山甘蔗是瑞安的特产，每年十月是其盛产期．小瑞同学打算从瑞安寄箱甘蔗到杭州，以每箱千克为标准，实际重量统计如下表，记录如下：小瑞同学选择了某快递公司，收费标准如下：首重千克以内元（含千克），续重（超过千克的部分）元千克，不足千克按千克计． 每箱的重量（单位：千克） 箱数 (1)求这箱甘蔗的总重量． (2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：分箱，每箱一个包裹．方案二：箱打包进一个大箱子，大箱子重千克，元一个．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少钱？ 41．如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． (1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ (2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 42．有10筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 1 1 3 1 3 (1)10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，10筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这10筐白菜可卖多少元？ 易错题型十五 科学记数法 43．2024年，模型发布，爆火全球，据AI数据统计，截止到2025年2月9日，该应用的下载量超过1.1亿次，周活跃用户达到了9700万．其中数据“9700万”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 44．ChatGP7是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为 ． 45．2005年6月18日，重庆轨道交通第一条线路——2号线开通初期运营，使重庆成为西部地区第一座开通城市轨道交通的城市．目前，重庆轨道交通现已开通运营13条线路，运营里程538公里，最高日客运量516.2万人次．其中，516.2万用科学记数法表示为 ． 易错题型十六 程序流程图 46．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为4，则输出的值为（   ）    A．30 B． C． D．28 47．如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 48．以下是一个简单的数值运算程序：    小明认为当输入的为正数时，输出的值为负数；当输入的为负数时，输出的值仍为负数．你同意小明的观点吗？请你分别选择一个正数和一个负数输入该程序，看输出的结果分别是多少． 易错题型十七 算“24”点 49．中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 50．算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连结起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“”这4个数字算“24点”，列出的算式是 ． 51．小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 易错题型十八 近似数 52．下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 53．用四舍五入法取近似数，18950精确到百位是 （用科学记数法表示最后结果） 54．用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似数． (1)53320；（精确到百位） (2)1.395．（精确到百分位） 压轴题型一 数轴上的动点问题 55．如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． (1)点在数轴上表示的数为 　　，点在数轴上表示的数为 　　， (2)当点与点相遇时，求点，在数轴上表示的数； (3)当运动到（单位长度）时，求出此时点在数轴上表示的数． 56．阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 57．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 压轴题型二 数轴动点中的定值问题 58．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 59．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 60．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 压轴题型三 带有字母的绝对值化简问题 61．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 62．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 63．若a、b、c是整数，且，则 ． 压轴题型四 绝对值的几何意义 64．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 65．我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 66．【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 压轴题型五 有理数的四则混合运算综合 67．计算 (1) (2) (3) (4) 68．计算： (1)； (2)； (3)． 69．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 压轴题型六 有理数简便运算综合 70．简便计算： (1)； (2)． 71．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 72．用简便方法计算 (1) (2). 压轴题型七 有理数的四则混合运算实际应用 73．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 74．游戏推理：星期天，小明和叔叔一起玩扑克牌，叔叔想考考小明，便拿出两副牌，一边说一边做：取两副牌，每副牌的排列顺序按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色又按，，，，，，顺序排列，然后把两幅扑克牌叠放在一起，把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层如此下去，猜想最后一张是哪张牌．小明想了想，又算了算，得出了正确答案，你知道是哪张牌吗？说出理由． 75．某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 压轴题型八 有理数的新定义问题 76．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 77．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 78．定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$