1.1.2空间向量的数量积运算-暑期自我训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2　空间向量的数量积运算

A级——基础过关练

1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈，〉＝(　　)

A．30° B．60°

C．90° D．120°

2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)

A．直角三角形 B．斜三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

3．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)

A．6 B．

C．3 D．

4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

5．已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是(　　)

A．a∥b B．a⊥b

C．a与b相交 D．a与b重合

6．(多选)(2023年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的有(　　)

A．|a·b|＝|a|·|b| B．|a－b|＝

C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

7．如图，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________．

8．如图，在四面体ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，则·＝________．

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出命题：

①|＋＋|2＝3||2；

②·(－)＝0；

③与的夹角为60°；

④此正方体体积为|··|．

其中错误命题的序号是__________．

10．如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求：

(1)(＋)·(＋)；

(2)|＋＋|．

B级——综合运用练

11．(多选)如图，在四面体ABCD中，各棱长均为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的有(　　)

A．2· B．2·

C．2· D．2·

12．已知两个单位向量a，b的夹角为60°．

(1)若c＝λa＋b(λ∈R)，且b·c＝0，则λ的值为________；

(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为________．

13．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝．设＝a，＝b，＝c．

(1)试用a，b，c表示向量，；

(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直线AC与BD1所成的角．

C级——创新拓展练

14．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P为底面ABCD上一点，则·的最小值为________．