精品解析：湖北省武汉市新洲区问津联盟2024-2025学年高二下学期6月期末质量检测数学试题

2024~2025学年度下学期期末 新洲区部分学校高中二年级质量检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.06 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若等比数列满足，，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则由，， 得，，解得，， 则. 故选：B. 2. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得. 【详解】由已知，， 令得或， 由题意是极小值点，则， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极小值点， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极大值点，不合题意， 综上，，即. 故选：A. 3. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.依据这两个回答分析，5名同学的可能名次排列种数为（ ） A. 36 B. 48 C. 54 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】依题意甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，故先排乙，再排甲，最后将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，所以先排乙有3种方法， 再排甲有3种方法，其余人全排列，有种方法， 所以5人的名次排列有种方法. 故选：C. 4. 已知二项式展开式中含项的系数为2，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算展开式中项系数和项系数，进而可求解. 【详解】展开式中项系数为：，项系数为：, 所以展开式中含的项的系数， 解得. 故选：D. 5. 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 m 100 初中教师 n 20 100 合计 e f d 根据列联表可求得（ ） （附：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据完成列联表，再代入公式可得答案. 【详解】列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 80 20 100 合计 150 50 200 . 故选：C. 6. 设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（ ） 附：若，则，． A. 0.1355 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0. 3413 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则，所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：A. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性、单调性利用排除法可得答案. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，图象关于轴对称，故C错误； 当时，，故D错误； ， 当，，单调递增， 当，，单调递减，再根据对称性，故B正确. 故选：B. 8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第n次球在甲手中的概率表达式，由于乙、丙地位对称，求出第n次球在甲手中的概率由对立事件即可得到经过次传球后，球恰在乙手中的概率. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第n次球在乙手中”，“第n次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，可构造等比数列， ， 因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 所以乙、丙地位对称，即，所以经过n次传球后， 球恰在乙手中的概率为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B不相互独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据相互独立事件的定义可判断B；求出可判断C；根据条件概率公式可判断D. 【详解】连续抛掷一枚骰子2次，，共有36种样本点， ，共有18样本点， ， 共有27个样本点， 所以，且事件与事件包含的样本点一样， 对于A，事件A与事件B不互斥，故错误； 对于B，，所以， 所以事件A与事件B不相互独立，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确. 故选：BD. 10. 一组样本数据.其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为. ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 【答案】C 【解析】 【分析】利用回归方程系数判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图像的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：， 由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确. 故选：C. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 函数的单调递增区间为 C. 若在的最大值为，则 D. 若方程有两个不同的解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性和极值，并画出大致图象，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设， ，，则点处的切线为，即，A对； 令，即，解得， 当时：当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当时：当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减，B错； 因为， 时： 在上单调递减，在上单调递增， 则，若在的最大值为，即，则； 当时： 在上单调递增，在上单调递减， ，， 在的最大值不可能是，所以，C正确； 要使方程有两个不同的实数解，故，可化为， 令，，令， 得，即， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 所以在出取得最小值， 当时；当时， 若方程有两个不同解，则即可，D对. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊，己6个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，则不同的分配方法种数为_______. 【答案】540 【解析】 【分析】采取先分组后排列的方式求解即可. 【详解】6人分成3组有三种方案：， 共有种方法， 3组分配到3个校门有种方法， 故所求为. 故答案为：540. 13. 已知，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】令、求得的值，再结合二项展开式的通项公式可求得答案. 【详解】令，得， 再令，则 ， 所以，则， 所以的通项为， 令，可得. 故答案为：. 14. 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解. 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前n项和，当时，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推关系，结合及等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用累加法求出，再利用分组求和法及等比数列前n项和公式求解. 【小问1详解】 当时，由，得，即， 而，，即，则， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以. 【小问2详解】 由，得当时，， 则 ，而满足上式，因此， 所以 . 16. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长x（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得：，， （1）根据表格中数据知变量y与x之间可用一元线性回归模型来刻画，请用相关系数说明其相关性强弱； （2）求经验回归方程（结果精确到0.01）； （3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2.5个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了1.0千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. （参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．参考值：，） 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出，求出可得答案； （2）求出，打入公式可得答案； （3）由（2）可知：根据线性回归方程预测可得答案. 【小问1详解】 由表可知：， 所以 ， 因为与的相关系数接近1，所以与具有较强的线性相关性， 可用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 由题可知： ， 所以； 【小问3详解】 由（2）可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2.5个小时， 则． 预测平均体重减少量增加1.05千克，与实际增加值1．0千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 17. 已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与相交于两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为．若，试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离和离心率可得基本量，故可得标准方程； （2）根据面积关系结合面积公式可得平分，即，联立直线方程和椭圆方程消元后结合在椭圆上化简前者后可得. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为得：，即有， 由以的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，所以的方程是. 【小问2详解】 因为，则， 因此，而，有， 于是平分，直线的斜率互为相反数，即， 设， 由得，， 即有，且， 而，则， 即 于是， 故， 化简得：， 又因为在椭圆上，即，即， 从而，即， 又因为不在直线上，即， 所以有,即，所以为定值，且． 18. 甲乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中． （1）记比赛结束时，甲赢球的次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.求的最大值. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出各可能值对应概率值，列出分布列即可. （2）分别计算，，然后得出，利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 根据题意，则所有可能的取值为0，1，2，3， 当时，比赛共打3局结束，乙连胜3局，则， 当时，共打4局结束，前3局甲1胜2负，第4局乙胜，则， 当时，共打5局结束，前4局甲2胜2负，第5局乙胜，则， 当时，共打3局结束，甲连胜3局或共打4局结束，前3局甲2胜1负，第4局甲胜或共打5局结束，前4局甲2胜2负，第5局甲胜， 则， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以 【小问2详解】 记事件为“进行了4局比赛分出胜负”， 则， 记事件为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则， 则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为， 依题意，， 当且仅当，即时取“=”， 故的最大值为. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间与极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数有2个不同的零点，，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为0，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求出极值即可； （2）法一：转化为，令，利用导数求出最值可得答案；法二：令，则，令，利用导数求出最值可得答案； （3）令，利用导数结合零点个数可得答案. 【小问1详解】 当时，，其定义域为， ， 当时，，此时单调递减；当时，， 此时单调递增；所以有极小值，无极大值. 综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 极小值为0，无极大值； 【小问2详解】 法一：由在上恒成立得到，即， 令，则 令，则， 再令，则 在上恒成立， 所以在上递增，所以， 于是在上递增，， 即在上递增， ，故，即实数的取值范围为； 法二：同构法，，令， 则，令，， 所以在上单调递增，可得，所以； 【小问3详解】 ，令， 因为，所以在单调递增，则， 令，即在有2个零点，且， 又因为，当时，在单调递增， 不存在2个零点，所以， 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增， 则， 令， 当时，单调递减；当时， 单调递增， 则，所以恒成立，即恒成立 因此即， 又因为当时，，当时，， 且 所以当，即时， 函数有2个不同的零点. 综上知函数有2个不同的零点时实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期期末 新洲区部分学校高中二年级质量检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.06 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若等比数列满足，，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 2. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.依据这两个回答分析，5名同学的可能名次排列种数为（ ） A. 36 B. 48 C. 54 D. 60 4. 已知二项式展开式中含项的系数为2，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 m 100 初中教师 n 20 100 合计 e f d 根据列联表可求得（ ） （附：，） A. B. C. D. 6. 设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（ ） 附：若，则，． A. 0.1355 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0. 3413 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B不相互独立 C. D. 10. 一组样本数据.其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为. ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 函数的单调递增区间为 C. 若在的最大值为，则 D. 若方程有两个不同的解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊，己6个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，则不同的分配方法种数为_______. 13. 已知，若，则_______． 14. 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前n项和，当时，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前n项和． 16. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长x（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得：，， （1）根据表格中数据知变量y与x之间可用一元线性回归模型来刻画，请用相关系数说明其相关性强弱； （2）求经验回归方程（结果精确到0.01）； （3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2.5个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了1.0千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. （参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．参考值：，） 17. 已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与相交于两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为．若，试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由. 18. 甲乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中． （1）记比赛结束时，甲赢球的次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.求的最大值. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间与极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数有2个不同的零点，，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $