2024-2025学年高一下学期数学期末复习知识总结（适用于重庆市）

高一下知识总结 （重庆25春） 目 录 S5 三角函数.....................................................................1 S6 平面向量....................................................................25 S7 复数........................................................................31 S8 立体几何....................................................................38 S9 统计........................................................................61 S10 概率.......................................................................69 S5 三角函数 考点一：三角函数有关计算 知识点1 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： 【变形】， (2)商数关系： 【变形】。 (3)倒数关系：，， 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ · 常考题型 （一）知一得二 已知一个三角函数值求其它三角函数值 “先定符号，再定值” 1.先根据角所在象限，确定相应三角函数的符号 2.画直角三角形，根据勾股定理确定各边边长，进而确定相应的三角函数值 （二）弦的齐次式 1.弦的齐次式化简求值 （1）特征：分式或等式，弦的次数相同 （2）常用变形： （1） 分式：分子分母上下同时除以 （2） 等式：等号左右两边同时除以 【注】二次无分式，数字变弦 → “1”的替换： +=1 2. sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 （1）完全平方关系 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． （2）求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 1.若，则 ， ． 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 三角恒等变换 1、两角和差角公式 ; ; . 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 正弦： sin 2α＝2sin α cos α sin α cos α＝sin 2α cos α＝ 1 ± sin 2α＝(sin α ± cos α)2 余弦： （升幂公式） （降幂公式） 正切： tan 2α＝ 3、辅助角公式 y＝asin x＋bcos x ＝ sin(x＋θ) (a，b不同时为0)， 或 ＝ cosn(x－θ) 其中cos θ＝，sin θ＝. · 常考题型 角的拼凑：给值求值、给角求角 （一）同倍角的拼凑 （二）二倍角的拼凑 【角的拼凑给值求值、给值求角】 1.适用情况（题目特征）：出现sin(α+φ），求另一个cos(α+β），φ、β为具体值，但不一定为特殊角 2.求解思路： ①只看字母角，观察是同倍角还是二倍角，需化成同倍角 ②观察要求角与已知角的关系，将两者进行加减变形，从而将要求角用已知角表示 ③利用诱导公式、和差公式、二倍角公式，计算变形后的式子，结果即为要求 1．若，则__________. 2. （1）已知，，则_____________. （2）已知，，______． 考点二：三角函数的图象与性质 知识点1 三角函数的图象与性质 （一）标准式三角函数 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x 定义域 R 值域 [－1,1] R 周期性 周期是2kπ，最小正周期为2π (k∈Z且k≠0) 周期是kπ，最小正周期是π 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在开区间内都是增函数 对称轴 无对称轴 对称中心 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－ +2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ时，ymax＝1； x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 无最值 （二）三角函数式 ——整体思想 ★★★★ 正弦型函数 余弦型函数 正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ) 定义域 R 令解得x 值域 R 最值 ＝2kπ＋时，ymax＝A； ＝2kπ－时，ymin＝－A ＝2kπ时，ymax＝A； ＝2kπ＋π时，ymin＝－A 无最值 周期性 周期是k，最小正周期 (k∈Z且k≠0) 周期是k，最小正周期是. 单调性 复合函数“同增异减” 同号时： 单调递增，解出x的范围即可 单调递减，解出x的范围即可 （异号时反之） 同号时： 单调递增，解出x的范围即可 单调递减，解出x的范围即可 （异号时反之） 时， 令单调递增，解出x的范围即可 奇偶性 不一定具有奇偶性，视具体情况定 能化成sinωx，则为奇函数； 若能化为cosωx，则为偶函数； 当时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 对称轴 令 令 无对称轴 对称中心 横坐标令， 即对称中心为 横坐标令， 即对称中心为 对称中心，横坐标 【注意】若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心。 最值 ＝2kπ＋时，ymax＝A； ＝2kπ－时，ymin＝－A ＝2kπ时，ymax＝A； ＝2kπ＋π时，ymin＝－A 无最值 知识点2 函数y＝sin(x＋φ)的图象的伸缩、平移变换 1. φ、ω、A对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响 系数 影响 φ φ>0 向左平移|φ|个单位长度 φ<0 向右平移|φ|个单位长度 ω ω>1 (纵坐标不变)，横坐标缩短到原来的倍 0<ω<1 (纵坐标不变)，横坐标伸长到原来的倍 A A>1 (横坐标不变)，纵坐标伸长到原来的A倍 0<A<1 (横坐标不变)，纵坐标缩短到原来的A倍 2. 三角函数图象（解析式）平移、伸缩规律 ★★★ 平移：上加下减、左加右减 伸缩：（w、A＞0），若＜0，先用诱导公式化正，再判断 自变量x的系数w → 横坐标变为原来的 sin/cos的系数A → 纵坐标变为原来的A倍 3. 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 ★★★ 【注】在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）。无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. · 常考题型 （一）图象性质的基础求解 （二）图象变换 1．（25字水月考）（多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为 2．（24重庆期末）（多选）已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若在区间单调递增且，则的取值范围为 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 3. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 存在两个不同的实数，使得为偶函数 考点三：正余弦定理解三角形 知识点1 正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式 ＝＝. a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 适用 情况 ①出现sin ②对边对角 ①出现cos ②两边夹角、三边 边角 互化 边化角 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ， ， 角化边 sinA＝，sinB＝，sinC＝. cosA＝， cosB＝， cosC＝. 知识点2 正弦定理的齐次结构——正弦的边角互化 1．结构特点：在等式(不等式)或分式中，出现每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化 2．两种常考类型及举例 类型 举例 整式齐次式 边的齐次式 sin角的齐次式 分式齐次式 3. 核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角? ⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 ⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 ⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题 ⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 【注】一般：出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦， 出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。 知识点3 利用正余弦定理解三角形（求边、求角）常用定理 1．内角和定理：，进而有＝－等式子 2．三角函数关系 → “拆角、合角” ① ②； ③； ④斜三角形中， ⑤三角函数值与角关系的转化 在中， ⇔ ① ②（舍去） ⇔ ① ② ⇔ 或 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． · 常考题型 （1） 正余弦定理直接应用 （2） 边角互化解三角形（求解+范围问题） （一）正余弦定理直接应用 1．（24八中期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．在中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 （二）边角互化（求解+范围问题） 3．（24南开期末）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 4．（25巴蜀期中模拟）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，求AC边上的中线长． 5．（24南开期末）在中，角的对边分别为，且满足的面积为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24西附期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. S6 平面向量 考点一：平面向量及运算 知识点1 平面向量的运算 知识点2 向量共线定理 1.两向量共线的条件 （1）特殊规定：当向量时，与任一向量共线． （2）向量共线定理 ①判定定理：当向量时，对于向量，如果有一个实数，使，则与共线． 故：向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ. ②性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】(1)向量共线定理中规定．（非零向量） (2)λ的值是唯一存在的． 2.证明或判断三点共线的方法 判定A，B，C三点共线的方法 （1）不引入新的点： （根本）存在实数，使 或 成立.（ ≠，） （2）引入新的点 ①对空间任一点O，有. ②对空间任一点O，有. 3.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． · 常考题型 （1） 用已知向量（基底）表示未知向量 （2） 向量共线 （3） 平面向量的运算 （一）用已知向量（基底）表示未知向量 1．已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． （二）向量共线 2．已知向量，若，则 ． （共线结论：系数和为1） 3．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 4．在中，，，.为的中点，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． （三）平面向量的运算 5．在中，，点为边上一点，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 6．已知向量，，且，则向量与的夹角为 ． 7．（多选）已知向量，，则（    ） A．向量方向上的单位向量为 B．当时，向量在向量上的投影向量为 C．当与的夹角为锐角时， D．当时， 8．在同一平面内的三个向量，若. (1)若，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. S7 复数 考点：复数的计算 知识点1 复数的有关概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 【易错点】(1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2 复数的几个“几何意义” 1、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 2、复数加、减法的几何意义 加 法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减 法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 3、复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数)的模，记为或； （2）公式：，其中 【总结】求模先求平方 4、复数模的几何意义 （1）一个复数，其模的几何意义为：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）两个复数的差的模的几何意义 |z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离． 即设复数在复平面内对应的点分别是，则= 【常用结论】一般地，设复数对应的点分别是，则复数z对应的点Z的轨迹如下： ① 若，则为圆； ② 若，则为线段的垂直平分线； ③ 若，为线段； 知识点3 复数的运算 1．复数的四则运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 2、虚数单位i的乘方（周期性） 虚数的单位i的乘方，具有周期性， i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1， 故，如果n∈N＋，则i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 3、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i （5）＝－1，＝i，＝－i． 4、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （两根共轭） （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． · 常考题型 （1） 复数的判断及运算 （2） 复数的模 （一）复数的判断及运算 1．（多选）设复数的共辄复数为，为虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B． C．在复平面内对应的点位于第三象限 D． 2．（24主城四区期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25海南）（多选）在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 4．（24重庆高一联考）已知复数分别为方程的两根，则 . （二）复数的模及几何意义 5．（24一外期末）（多选）设，，为复数，，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D． 6．（25辽宁）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． S8 立体几何 考点一：几何体表面积、体积的计算 知识点1 斜二测画法与直观图 1．斜二测画法：常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2．直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变； （2）与轴平行的线段长度变为原来的一半； （3）图形改变。 “三不变”：（1）平行性不改变； （2）与轴和轴平行的线段长度不改变； （3）相对位置不改变。 3．直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 知识点2 简单几何体的表面积与体积 （一）多面体的表面积与体积 多面体 图形 侧面积和表面积 体积 棱柱 （为底面周长，为高） 棱锥 正棱锥： （为底面周长，'为斜高） 棱台 正棱台： （分别为上、下底面周长，'为斜高） 【注】台体侧面积的记忆方法：类比梯形面积 （二）旋转体的表面积与体积 旋转体 图形 侧面积和表面积 体积 圆柱 圆锥 圆台 ++ 球 （R为球半径） （R为球半径） · 常考题型 （一）斜二测画法的应用 （二）几何体的表面积与体积 （1） 斜二测画法的应用 1．（多选）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 （二）几何体的表面积与体积 3．已知正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . （球） 7．四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 8．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点二：空间中平行、垂直的判断与证明（几何法） 知识点 空间中平行、垂直的判定与性质（几何法） 考点三：空间距离及空间角的求解（几何法） 知识点1 线线角 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 知识点2 直线与平面所成角（线面角） 1、有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，θ∈[0°，90°] 2、线面角的求法 （1）垂线法求线面角（也称直接法）： 步骤：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，AB∩α=B，作AO⊥α于点O，∠ABO为直线AB与平面α所成角 （2）公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点3 二面角 1、有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 （3）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： （一）定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 如图，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 （二）三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 1. 原理：利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，从而找到二面角的平面角。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线. （1）三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. （2）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 2. 三垂线法求二面角的平面角：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面的交线）作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 如图，在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 （三）垂面法（空间一点垂面法） 过空间中一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 如图，过二面角内一点A作于B，作于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 （四）射影面积法 求二面角 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则. （这个方法适用于选填题，对于无棱二面角的求解很简便。） · 常考题型 （1） 空间中平行、垂直的判断与证明 （二）空间距离、空间角的求解 （一）空间中平行、垂直的判断与证明 1．设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2． 如图，四棱锥中，为矩形，为的中点，平面平面，，. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积. 3．如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 4．如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 5．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. (1)求证：是的中点； (2)求点到平面的距离. （二）空间距离、空间角的求解 6．如图，在斜三棱柱中，，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 10．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. S9 统计 考点：抽样方式及统计数据计算 知识点1 简单随机抽样 1、定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2、最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 抽签法 随机数表法 定义 把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个样本容量为n的样本。 利用随机试验或信息技术（即计算器、电子表格软件和R统计软件）生成的随机数进行抽样 步骤 ①编号：将个个体编号（号码可以从1到，也可以使用已有的号码） ②写签：将个号码写到大小、形状相同的号签上. ③抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取次，并记录其编号. ④定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本. ①把总体中的每个个体编号。 ②用随机数工具产生编号范围内的整数随机数. ③把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，知道抽足样本所需要的数量. 注意事项 ①对个体编号时，也可以利用已有的编号. ②制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）的形状、大小要一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等. ③抽取样本前总体要“均匀搅拌”，目的是让每个号签被抽到的机会相等. ①从某行的第几个数开始，几位数字作为一个整体，进行选择 ②超出范围的、重复的，要排除不选 知识点2 分层随机抽样 1、分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2分层随机抽样的步骤 （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；分层原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠． （2）计算抽样比：抽样比； （3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数； （4）抽样：每层抽样时，按简单随机抽样的方法抽取样本 （5）成样：综合各层抽样，组成样本。 3、分层随机抽样的相关计算 关键：比例相同 （1）＝；（层与总） （2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．（层与层） 知识点3 用样本估计总体 （一）总体集中趋势的估计 1. 众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； 2. 中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数， 若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 3. 平均数：（1）设样本的数据为,则样本的算术平均数为； （2）加权平均数 4. 第p百分位数 （1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． ☆（2） 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． （3） 常用百分位数 第25百分位数（下四分位数），第50百分位数，第75百分位数（上四分位数） 【易错】成绩的前是指第75百分位数，因为成绩按从大到小排列 （二）总体离散的估计 数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； 1. 极差：（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； 2. 方差： （1）定义：描述了一组数据围绕平均数波动的大小； （2）计算：设样本的数据为，样本的平均数为， ①基本公式：方差； ②简化公式：= （方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） 3. 标准差：是方差的算术平方根． 标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． 4. 两组数据之间，平均数、方差的关系： 如果一组数的平均数为，方差为， 则另一组数的平均数为，方差为； （三）频率分布直方图 1. 绘制步骤 ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且； ③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组． ④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。 2. 频率分布直方图的特点： ① 频率； ② 每个小长方形的面积； ③ 所有小长方形的面积总和为1； ④ 各矩形的：高之比=面积比=频率比=频数比． ☆3. 频率分布直方图中求众数、中位数、平均数 ①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标； ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； 【常需设末知数， 利用面积=0.5建立方程求解. 】 ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． · 常考题型 （1） 分层抽样的计算 （二）统计数据的计算（已知具体数据）——根据定义套用公式 （三）统计数据的计算（未知具体数据）——三类 1．（多选）某学校为了解学生英语口语情况，在学校组织了一次口语测试，高一、高二、高三的参考人数分别为300，400，300，采用样本量比例分配的分层随机抽样从三个年级中抽取容量为50的样本，经计算三个年级口语成绩的样本平均数分别为90，85，90，方差分别为2，1，2，则（    ） A．三个年级分别抽15，20，15人 B．总样本平均数为88 C．总样本方差为 D．估计该校学生的口语成绩平均数为 2. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ） A 20 B. 30 C. 40 D. 45 3．（多选）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（    ） A．平均数为14 B．方差为13.4 C．第85百分位数为18 D．众数为12 4．（多选）已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（    ） A．数据，的平均数为5 B．数据，的方差为9 C．数据的方差为1 D．数据的平均数为5 5．某学校高一年级举办了数学竞赛活动，共有1000名学生参加．从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按，，，，的分组作出频率分布直方图，如图所示． (1)求实数x的值，并估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； (2)现从，两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7人组成数学学习小组，再从这7人中抽取2人作为组长，求至少一名组长来自的概率． S10 概率 考点一：事件的分类、关系及运算 知识点1 简单随机抽样 知识点二：事件的分类 1、随机事件：我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生； 2、必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件； 3、不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件。 【总结】判断一个事件是哪类事件看两点 一看条件：因为三种事件都是相对于一定条件而言的； 二看结果是否发生：一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 知识点三：事件的关系及运算 1、包含关系 定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 含义 A发生导致B发生 符号表示 B ⊇A(或A⊆B) 图形表示 特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B 2、 交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 3、 互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 4、 用集合观点看事件间的关系 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω · 常考题型 事件的判断 1．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． （互斥、对立事件的判断） 2．（2024 安徽 ）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 考点二：概率的计算 知识点1古典概型及概率 1、古典概型的定义 将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点， 则定义事件A的概率P(A)＝＝， 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点2 相互独立事件及概率 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、性质及推广： 如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 3、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 知识点3 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. ☆ 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ☆ 性质4：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． ☆ 性质5：如果事件A与事件互为对立事件，那么P()＝1－P(A)，P(A)＝1－P()． 性质6：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)． 知识点4 频率与概率 1、频率的稳定性 大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有__随机性__. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性。 因此可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2、频率的求法 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率， 频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． 3、 频率和概率区别和联系 名称 区别 联系 频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 (2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率 · 常考题型 （一）古典概型求概率 ☆☆☆ （二）概率公式求概率（特殊事件的概率公式）☆☆☆ （三）频率估计概率 （一）古典概型求概率 1．（2025高三·河南信阳·期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． （2） 概率公式求概率（特殊事件的概率公式） （互斥、对立、相对独立事件的概率计算） 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 5. 甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. （1）求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少； （2）求团体总分不低于3分的概率； （3）若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级的概率. （概率性质综合） 6．（多选）已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么， B．如果与互斥，那么， C．如果与相互独立，那么， D．如果与相互独立，那么， 7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． （3） 概率估计概率 8．（2025高二·陕西西安月考）下列四个命题中真命题的个数为（    ）个 ①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品； ②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是； ③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率； ④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为. A． B． C． D． 9．（2025高二·湖北孝感·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球 个． 第 1 页 第 2 页 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下知识总结 （重庆25春） 目 录 S5 三角函数.....................................................................1 S6 平面向量....................................................................25 S7 复数........................................................................31 S8 立体几何....................................................................38 S9 统计........................................................................61 S10 概率.......................................................................69 S5 三角函数 考点一：三角函数有关计算 知识点1 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： 【变形】， (2)商数关系： 【变形】。 (3)倒数关系：，， 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ · 常考题型 （一）知一得二 已知一个三角函数值求其它三角函数值 “先定符号，再定值” 1.先根据角所在象限，确定相应三角函数的符号 2.画直角三角形，根据勾股定理确定各边边长，进而确定相应的三角函数值 （二）弦的齐次式 1.弦的齐次式化简求值 （1）特征：分式或等式，弦的次数相同 （2）常用变形： （1） 分式：分子分母上下同时除以 （2） 等式：等号左右两边同时除以 【注】二次无分式，数字变弦 → “1”的替换： +=1 2. sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 （1）完全平方关系 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． （2）求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 1.若，则 ， ． 【答案】 / 【来源】北京市第八十中学2024-2025学年高一上学期12月阶段测评数学试题 【分析】根据同角的三角函数关系，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则， 故答案为：； 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【来源】湖北省部分市州2024-2025年高一上学期期末质量监测数学试题 【分析】弦化切后代入计算． 【详解】因为， 所以， 故选：C． 3．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山东省淄博市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题 【分析】利用与之间的关系式，再由平方关系计算可得A错误，B错误，联立方程组并由商数关系可得C错误，代入计算可得D正确. 【详解】由可得，即； 所以，即，即A错误； 又，所以，因此 所以，即B错误； 联立，可得， 所以，即C错误； 代入计算可得，即D正确. 故选：D 知识点2 三角恒等变换 1、两角和差角公式 ; ; . 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 正弦： sin 2α＝2sin α cos α sin α cos α＝sin 2α cos α＝ 1 ± sin 2α＝(sin α ± cos α)2 余弦： （升幂公式） （降幂公式） 正切： tan 2α＝ 3、辅助角公式 y＝asin x＋bcos x ＝ sin(x＋θ) (a，b不同时为0)， 或 ＝ cosn(x－θ) 其中cos θ＝，sin θ＝. · 常考题型 角的拼凑：给值求值、给角求角 （一）同倍角的拼凑 （二）二倍角的拼凑 【角的拼凑给值求值、给值求角】 1.适用情况（题目特征）：出现sin(α+φ），求另一个cos(α+β），φ、β为具体值，但不一定为特殊角 2.求解思路： ①只看字母角，观察是同倍角还是二倍角，需化成同倍角 ②观察要求角与已知角的关系，将两者进行加减变形，从而将要求角用已知角表示 ③利用诱导公式、和差公式、二倍角公式，计算变形后的式子，结果即为要求 1．若，则__________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 则， 故答案为：． 2. （1）已知，，则_____________. 【来源】重庆市2023-2024学年高一下学期四区联考期末考试数学试题 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数同角关系求，则，然后利用二倍角的正弦公式化简求值即可. 【详解】因为， 所以，且， 所以，即， 故. 故答案为：. （2）已知，，______． 【答案】 【解析】， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为： 考点二：三角函数的图象与性质 知识点1 三角函数的图象与性质 （一）标准式三角函数 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x 定义域 R 值域 [－1,1] R 周期性 周期是2kπ，最小正周期为2π (k∈Z且k≠0) 周期是kπ，最小正周期是π 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在开区间内都是增函数 对称轴 无对称轴 对称中心 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－ +2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ时，ymax＝1； x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 无最值 （二）三角函数式 ——整体思想 ★★★★ 正弦型函数 余弦型函数 正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ) 定义域 R 令解得x 值域 R 最值 ＝2kπ＋时，ymax＝A； ＝2kπ－时，ymin＝－A ＝2kπ时，ymax＝A； ＝2kπ＋π时，ymin＝－A 无最值 周期性 周期是k，最小正周期 (k∈Z且k≠0) 周期是k，最小正周期是. 单调性 复合函数“同增异减” 同号时： 单调递增，解出x的范围即可 单调递减，解出x的范围即可 （异号时反之） 同号时： 单调递增，解出x的范围即可 单调递减，解出x的范围即可 （异号时反之） 时， 令单调递增，解出x的范围即可 奇偶性 不一定具有奇偶性，视具体情况定 能化成sinωx，则为奇函数； 若能化为cosωx，则为偶函数； 当时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 对称轴 令 令 无对称轴 对称中心 横坐标令， 即对称中心为 横坐标令， 即对称中心为 对称中心，横坐标 【注意】若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心。 最值 ＝2kπ＋时，ymax＝A； ＝2kπ－时，ymin＝－A ＝2kπ时，ymax＝A； ＝2kπ＋π时，ymin＝－A 无最值 知识点2 函数y＝sin(x＋φ)的图象的伸缩、平移变换 1. φ、ω、A对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响 系数 影响 φ φ>0 向左平移|φ|个单位长度 φ<0 向右平移|φ|个单位长度 ω ω>1 (纵坐标不变)，横坐标缩短到原来的倍 0<ω<1 (纵坐标不变)，横坐标伸长到原来的倍 A A>1 (横坐标不变)，纵坐标伸长到原来的A倍 0<A<1 (横坐标不变)，纵坐标缩短到原来的A倍 2. 三角函数图象（解析式）平移、伸缩规律 ★★★ 平移：上加下减、左加右减 伸缩：（w、A＞0），若＜0，先用诱导公式化正，再判断 自变量x的系数w → 横坐标变为原来的 sin/cos的系数A → 纵坐标变为原来的A倍 3. 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 ★★★ 【注】在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）。无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. · 常考题型 （一）图象性质的基础求解 （二）图象变换 1．（25字水月考）（多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】ACD 【难度】0.65 【来源】重庆市字水中学2024-2025学年高一下学期4月学情调研数学试题 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐一判断各项即可得到结论. 【详解】由函数的部分图象知， ，且， 所以，所以， 又， 所以，即， 又，所以， 所以. 对于A，当时，， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，得，则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，由，可得， 结合正弦函数图象，可得函数与有4个交点， 令，解得；令，解得；    其中关于对称，关于对称， 所以，故D正确. 故选：ACD. 2．（24重庆期末）（多选）已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若在区间单调递增且，则的取值范围为 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BCD 【难度】0.65 【来源】重庆市部分区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题卷 【分析】先根据图象求出函数解析式，然后利用代入验证法判断A；根据单调区间判断周期范围，然后可得，求出的范围，结合正弦函数的单调性可判断B；利用辅助角公式化简，根据平移变换和诱导公式可判断C；将问题转化为直线与在上的图象有两个交点，结合正弦函数性质可判断D. 【详解】由图可知，，，所以， 所以， 将点代入解析式得，所以， 即，又，所以，. 对于A，因为， 所以点不是函数的对称中心，A错误； 对于B，在单调递增， 所以，解得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，要使在区间单调递增，则， 解得，所以，B正确； 对于C，， 将其图象向右平移所得图象对应的解析式为： ，C正确； 对于D，当时，， 当，即时，取得最大值2； 当，即时，； 当，即时，. 所以，要使方程在上有两个不相等的实数根， 只需直线与在上的图象有两个交点， 所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：根据正弦函数图象求解析式，一般先根据图象求和周期，由周期公式求，再通过代入点的坐标求，然后利用整体代入法，结合正弦函数性质求解即可. 3. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 存在两个不同的实数，使得为偶函数 【来源】重庆市2023-2024学年高一下学期四区联考期末考试数学试题 【答案】ABD 【解析】A选项，验证的关系即可判断；B选项，根据时，，得到，换元后得到，利用复合函数单调性即可判断；C选项，令，此时得到，换元后得到，结合二次函数的性质即可判断；D选项，由得到只需且，从而得到且，结合，解不等式，得到相应的，，验证后即可判断. 【详解】对于A，因为 ， 所以函数的周期为，故A正确； 对于B，时，， 故，令， 则， 因为，所以，故， 且在单调递减， 则，故， 故， 则在单调递增， 由复合函数满足同增异减可知：在单调递减，故B正确； 对于C，令， 若，，即，时， ， 两边平方得：， 故， 若，，即，时， 此时， 两边平方得： 此时， 综上：对于，均有， 所以变形为， 因为，所以当时，取得最大值，最大值为1， 其中，， 因为，故最小值为， 综上：的值域为，C错； 对于D，， 则， 假设为偶函数，则， 即， 只需且， 由， 可得①，或②， 其中由①得：，不能对所有恒成立，舍去； 由②得：， 由可得：③， 由③得：， 故需要保证与同时成立， 令，解得：且， 令，解得：且，故， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 取，此时，此时令，解得：，舍去， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 综上：存在两个不同的实数，使得为偶函数， ，就是这两个实数，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：三者的关系如下： ，， ， 当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决 考点三：正余弦定理解三角形 知识点1 正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式 ＝＝. a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 适用 情况 ①出现sin ②对边对角 ①出现cos ②两边夹角、三边 边角 互化 边化角 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ， ， 角化边 sinA＝，sinB＝，sinC＝. cosA＝， cosB＝， cosC＝. 知识点2 正弦定理的齐次结构——正弦的边角互化 1．结构特点：在等式(不等式)或分式中，出现每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化 2．两种常考类型及举例 类型 举例 整式齐次式 边的齐次式 sin角的齐次式 分式齐次式 3. 核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角? ⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 ⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 ⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题 ⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 【注】一般：出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦， 出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。 知识点3 利用正余弦定理解三角形（求边、求角）常用定理 1．内角和定理：，进而有＝－等式子 2．三角函数关系 → “拆角、合角” ① ②； ③； ④斜三角形中， ⑤三角函数值与角关系的转化 在中， ⇔ ① ②（舍去） ⇔ ① ② ⇔ 或 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． · 常考题型 （1） 正余弦定理直接应用 （2） 边角互化解三角形（求解+范围问题） （一）正余弦定理直接应用 1．（24八中期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得，整理可得， 则，且，所以. 由正弦定理可得， 且，则，所以. 故选：A. 2．在中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.65 【来源】北京市昌平区2023-2024学年高一下学期期末质量抽测数学试卷 【分析】根据条件，利用余弦定理得到，再由，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，，由余弦定理， 得到，即，解得， 由，得到， 又，所以， 故选：B. （二）边角互化（求解+范围问题） 3．（24南开期末）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用正弦定理化简得到，求得，即可求解； （2）由余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得， 即， 化简得， 因为，可得，所以， 因为，所以. （2）因为且， 由余弦定理，可得， 即，解得或（舍去）， 故的面积为. 4．（25巴蜀期中模拟）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，求AC边上的中线长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一下学期期中模拟（二）数学试题 【分析】（1）由得，代入得到三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小； （2） 由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求AC边上的中线长． 【详解】（1）∵，∴， 由正弦定理得， 由，得， 又由，得，，， 由余弦定理得， 又∵，∴， 由，，，得， ∴，； （2）由（1）得，，，，，，， 所以， 设AC的中点为D，则， 在中，由余弦定理得， 所以AC边上的中线长为． 5．（24南开期末）在中，角的对边分别为，且满足的面积为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【来源】重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】直接利用余弦定理得到,即得B的值，结合三角形面积公式和基本不等式求的最小值. 【详解】，， 又 ， 又因为，所以， ， 当且仅当时，等号成立， 即为等边三角形时，取最小值为2. 故选：B 6．（24西附期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【来源】重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得； （3）延长交于，延长交于，设，，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； （2）因为，，， 即，解得， 设边上的角平分线长为， 则，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （3）延长交于，延长交于， 设，，所以， 在中， 在中，，所以， 在中，同理可得， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. S6 平面向量 考点一：平面向量及运算 知识点1 平面向量的运算 知识点2 向量共线定理 1.两向量共线的条件 （1）特殊规定：当向量时，与任一向量共线． （2）向量共线定理 ①判定定理：当向量时，对于向量，如果有一个实数，使，则与共线． 故：向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ. ②性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】(1)向量共线定理中规定．（非零向量） (2)λ的值是唯一存在的． 2.证明或判断三点共线的方法 判定A，B，C三点共线的方法 （1）不引入新的点： （根本）存在实数，使 或 成立.（ ≠，） （2）引入新的点 ①对空间任一点O，有. ②对空间任一点O，有. 3.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． · 常考题型 （1） 用已知向量（基底）表示未知向量 （2） 向量共线 （3） 平面向量的运算 （一）用已知向量（基底）表示未知向量 1．已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解． 【详解】因为， 所以，即， 又的中点为E， 所以， 故选：D． （二）向量共线 2．已知向量，若，则 ． 【答案】 【来源】重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】首先求出的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以. 故答案为：． （共线结论：系数和为1） 3．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8 4．在中，，，.为的中点，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用、表示，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为为的中点，则， 因为为上一点，设， 则 ， 又、不共线，所以，解得， 所以， 所以 ，即. 故选：A. （三）平面向量的运算 5．在中，，点为边上一点，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【来源】重庆南城巴川学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【知识点】平面向量的混合运算、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得， 因为点为边上一点，且，可得， 所以， 所以. 故选：D. 6．已知向量，，且，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【来源】重庆市巫山县大昌中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】利用向量数量积的运算公式求解即可. 【详解】设向量与的夹角为， 因为， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 7．（多选）已知向量，，则（    ） A．向量方向上的单位向量为 B．当时，向量在向量上的投影向量为 C．当与的夹角为锐角时， D．当时， 【答案】BC 【来源】重庆市两江新区2023-2024学年高一下学期期末抽测数学试题 【知识点】零向量与单位向量、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】向量方向上的单位向量为即可判断A；向量在向量上的投影向量为判断B；根据且与不同向判断C，根据求出，再由向量模的坐标表示判断D. 【详解】对于A：因为，则， 所以向量方向上的单位向量为，故A错误； 对于B：当时，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向， 故，解得，故C正确； 对于D：当，则，解得，所以， 所以，所以，故D错误. 故选：BC 8．在同一平面内的三个向量，若. (1)若，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【来源】重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）利用共线向量定义得，再利用向量模长的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量垂直得，展开代入数据计算得，最后利用向量夹角余弦值的公式即可. 【详解】（1），，其中， ， 或. （2）与垂直，， 于是，， ， . S7 复数 考点：复数的计算 知识点1 复数的有关概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 【易错点】(1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2 复数的几个“几何意义” 1、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 2、复数加、减法的几何意义 加 法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减 法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 3、复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数)的模，记为或； （2）公式：，其中 【总结】求模先求平方 4、复数模的几何意义 （1）一个复数，其模的几何意义为：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）两个复数的差的模的几何意义 |z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离． 即设复数在复平面内对应的点分别是，则= 【常用结论】一般地，设复数对应的点分别是，则复数z对应的点Z的轨迹如下： ① 若，则为圆； ② 若，则为线段的垂直平分线； ③ 若，为线段； 知识点3 复数的运算 1．复数的四则运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 2、虚数单位i的乘方（周期性） 虚数的单位i的乘方，具有周期性， i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1， 故，如果n∈N＋，则i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 3、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i （5）＝－1，＝i，＝－i． 4、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （两根共轭） （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． · 常考题型 （1） 复数的判断及运算 （2） 复数的模 （一）复数的判断及运算 1．（多选）设复数的共辄复数为，为虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B． C．在复平面内对应的点位于第三象限 D． 【答案】ABD 【来源】重庆市两江新区2023-2024学年高一下学期期末抽测数学试题 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，根据复数的定义判断A，根据复数的模判断B，根据复数的几何意义判断C，根据共轭复数及复数的乘法判断D. 【详解】因为，即，则， 所以复数的虚部为，故A正确； 因为，所以，故B正确； ，则在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 2．（24主城四区期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市主城四区2023-2024学年高一下学期期末高中学生学业质量调研测试数学试题 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，借助复数相等求出，再利用复数除法计算即可. 【详解】设，由，得， 即，则，即， 所以. 故选：C 3．（25海南）在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】BCD 【来源】海南省海南中学2024-2025学年高三下学期第2次半月考数学试题 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、复数的除法运算 【分析】对于A将代入方程求解即可判断，对于B利用A选项得方程，求方程的根即可求，对于C计算即可判断，对于D先计算，最后利用即可求解. 【详解】对于A：是方程的根，则， 即，那么，所以，，故A错误； 对于B：由A知，，所以，，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，所以，故D正确． 故选：BCD． 4．（24重庆高一联考）已知复数分别为方程的两根，则 . 【答案】 【来源】重庆市部分学校2023-2024 学年高一下学期期末联合检测数学试卷 【知识点】复数范围内方程的根、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由题意可得，则，再结合根与系数的关系可求得结果. 【详解】因为分别为方程的两根， 所以，， 所以. 故答案为： （二）复数的模及几何意义 5．（24一外期末）（多选）设，，为复数，，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D． 【答案】ABD 【来源】重庆市四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2023-2024学年高一下学期期末适应性考试数学试题 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】对于A，化成，结合复数相等的知识即可求解；对于B，利用复数代数形式求解即可；对于C，举出反例即可；对于D，利用复数的向量表示作图即可判断. 【详解】设（）， 对于A，若，则， 因为，结合复数相等的知识，所以， 所以选项A正确； 对于B，由，所以， 所以， ， ， 同理：， 所以，所以选项B正确； 对于C，令，，但是， 所以选项C错误； 对于D，设分别表示复数，    由，若不共线时， 如图：，即，    若共线且反向时， 如图： 易知，    若共线且同向时， 如图：易知， 综上：，所以选项D正确. 故选：ABD. 6．（25辽宁）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市第二十中学2024-2025学年高三第九次（最后一次）模拟考试数学试题 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数加减的几何意义可确定最大值. 【详解】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1， 该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为， 故选：D. S8 立体几何 考点一：几何体表面积、体积的计算 知识点1 斜二测画法与直观图 1．斜二测画法：常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2．直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变； （2）与轴平行的线段长度变为原来的一半； （3）图形改变。 “三不变”：（1）平行性不改变； （2）与轴和轴平行的线段长度不改变； （3）相对位置不改变。 3．直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 知识点2 简单几何体的表面积与体积 （一）多面体的表面积与体积 多面体 图形 侧面积和表面积 体积 棱柱 （为底面周长，为高） 棱锥 正棱锥： （为底面周长，'为斜高） 棱台 正棱台： （分别为上、下底面周长，'为斜高） 【注】台体侧面积的记忆方法：类比梯形面积 （二）旋转体的表面积与体积 旋转体 图形 侧面积和表面积 体积 圆柱 圆锥 圆台 ++ 球 （R为球半径） （R为球半径） · 常考题型 （一）斜二测画法的应用 （二）几何体的表面积与体积 （1） 斜二测画法的应用 1．（多选）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【来源】河北省NT20名校2023-2024学年高一下学期大比拼考试（5月期中）数学试题 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． （二）几何体的表面积与体积 3．已知正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【来源】湖南省邵阳市邵东市创新高级中学有限公司2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【答案】A 【分析】由题意求出三棱锥的高，根据棱锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】如图正三棱锥，设其高为，O为底面中心， 则，故， 故三棱锥的体积为， 故选：A 4．如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A 【分析】由题意确定几何体为三棱台，再结合棱台的体积公式求出三棱台的体积和棱柱的体积之间的关系，即可求得答案. 【详解】因为在三棱柱中，，， 故， 则，故几何体为三棱台； 设三棱台的体积为，几何体的体积为， 设h为三棱柱的高，则， ， 故， 故选：A 5．若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【来源】贵州省学校卓越联盟发展计划项目2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【答案】D 【分析】根据题意可得该圆柱的高，底面半径，进而可得体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的高，    底面圆的周长为，解得， 所以圆柱的体积． 故选：D． 6．已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 【来源】北京市怀柔区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【答案】 【分析】根据题意求出底面的半径和圆锥的高，再用圆锥的体积公式即可得解. 【详解】 如图，图为圆锥的轴截面示意图，由题意可得，， 所以底面半径为，圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 故答案为：. （球） 7．四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 【来源】重庆市两江新区2023-2024学年高一下学期期末抽测数学试题 【答案】A 【分析】首先根据题意将四棱锥中补全成长方体，根据表面积可得球半径，再求长方体的外接球半径即可． 【详解】将四棱锥中补全成长方体，如图所示： 所以四棱锥的外接球即为长方体的外接球． 由于四棱锥的外接球的表面积为，故球半径满足，故， 则外接球的半径为， ． 故选：A． 8．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【来源】新疆乌鲁木齐地区2024届高三下学期第三次质量监测数学试题 【答案】B 【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解． 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 考点二：空间中平行、垂直的判断与证明（几何法） 知识点 空间中平行、垂直的判定与性质（几何法） 考点三：空间距离及空间角的求解（几何法） 知识点1 线线角 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 知识点2 直线与平面所成角（线面角） 1、有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，θ∈[0°，90°] 2、线面角的求法 （1）垂线法求线面角（也称直接法）： 步骤：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，AB∩α=B，作AO⊥α于点O，∠ABO为直线AB与平面α所成角 （2）公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点3 二面角 1、有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 （3）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： （一）定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 如图，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 （二）三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 1. 原理：利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，从而找到二面角的平面角。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线. （1）三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. （2）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 2. 三垂线法求二面角的平面角：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面的交线）作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 如图，在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 （三）垂面法（空间一点垂面法） 过空间中一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 如图，过二面角内一点A作于B，作于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 （四）射影面积法 求二面角 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则. （这个方法适用于选填题，对于无棱二面角的求解很简便。） · 常考题型 （1） 空间中平行、垂直的判断与证明 （二）空间距离、空间角的求解 （一）空间中平行、垂直的判断与证明 1．设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【答案】C 【分析】对ABD举出反例即可，对C根据线面垂直的性质即可判断. 【详解】对A，若，，则或与异面，故A错误； 对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误； 对C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对D，若，，，当 都与的交线平行时，满足题设条件，此时，故D错误. 故选：C. 2． 如图，四棱锥中，为矩形，为的中点，平面平面，，. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积. 【来源】重庆市2023-2024学年高一下学期主城四区联考 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质及线面平行的判定推理即可. （2）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得. （3）取中点，连接，由面面垂直的性质可得⊥平面，再利用倍分法求出体积. 【小问1详解】 连接交于点，连接，由矩形，得点为的中点， 又为 的中点，则，而平面，平面 ， 所以平面. 【小问2详解】 矩形中⊥，面面，面面，面， 则平面，又平面，所以. 【小问3详解】 取中点，连接，由，得， 而面面，面面，面，则面， ，而，为的中点， 因此， 所以三棱锥的体积为. 3．如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 【来源】第03讲 直线、平面平行的判定与性质（八大题型）（讲义） 【答案】证明见解析 【分析】先根据线面平行证明面面平行，再应用面面平行性质得出线面平行 【详解】证明：设中点为，连接， 为中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 4．如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】重庆市育才中学校2024-2025学年高一下学期五月联合诊断性考试数学试题 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）连接，利用线线平行证得平面平面，进而利用面面平行的性质可得结论； （2）利用已知可证平面，进而利用线面平行的性质可证. 【详解】（1）连接，因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以∥平面； （2）记过过点的平面为平面，平面交于点，交于点， 因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. 5．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. (1)求证：是的中点； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【来源】重庆市巴蜀中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 【知识点】面面平行证明线线平行、求点面距离 【分析】（1）连接，由面面平行的性质定理得到，进而得到，结合E是棱的中点，得到结论； （2）根据等体积法可求. 【详解】（1）连接，如图所示. 因为平面 平面，平面平面，平面平面，所以. 又，所以四边形为平行四边形，，. 又E是棱的中点，所以F是的中点. （2）在正方体中，易求. 在中，由余弦定理可求，， . 设点到平面的距离为d. ，， . （二）空间距离、空间角的求解 6．如图，在斜三棱柱中，，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市育才中学校2024-2025学年高一下学期五月联合诊断性考试数学试题 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】连接，易知所求的角即为或其补角，再由余弦定理计算出的各边长，再根据余弦定理计算即可得出结果. 【详解】连接，如下图所示： 根据三棱柱性质可得， 又因为分别为的中点，所以，， 又且，所以可得且， 即可得四边形为平行四边形，因此； 即可得异面直线和所成的角即为和所成的角，即为或其补角. 因为，所以，， 在中，由余弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得，则, 因此在中，由余弦定理可得. 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：B. 7．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市女子职业高级中学2024-2025学年综合高中高一下学期6月月考数学试题 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义，结合正棱锥的结构特征求出其夹角余弦值. 【详解】依题意，，， 取的中点，连接，由为侧棱的中点，得， 是异面直线与所成角或其补角， 而，因此. 故选：B. 8．如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】 天津市第二十一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行. （2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直. （3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值. 【详解】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【来源】重庆南城巴川学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【知识点】求二面角、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点的具体位置，即可求解. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点， 所以可得四边形为菱形，可得， 又，所以可得； 因为，平面； 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又因为，平面； 所以平面， 又平面，所以 又，因此可得即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，可得， 即. （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点作交于，连接，如下图所示： 所以，即可得四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，可得点为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且； 易知为正三角形，且，所以可得， 由勾股定理可得， 所以， 因此. 10．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题 【知识点】证明线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离、求线面角、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【详解】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. S9 统计 考点：抽样方式及统计数据计算 知识点1 简单随机抽样 1、定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2、最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 抽签法 随机数表法 定义 把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个样本容量为n的样本。 利用随机试验或信息技术（即计算器、电子表格软件和R统计软件）生成的随机数进行抽样 步骤 ①编号：将个个体编号（号码可以从1到，也可以使用已有的号码） ②写签：将个号码写到大小、形状相同的号签上. ③抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取次，并记录其编号. ④定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本. ①把总体中的每个个体编号。 ②用随机数工具产生编号范围内的整数随机数. ③把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，知道抽足样本所需要的数量. 注意事项 ①对个体编号时，也可以利用已有的编号. ②制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）的形状、大小要一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等. ③抽取样本前总体要“均匀搅拌”，目的是让每个号签被抽到的机会相等. ①从某行的第几个数开始，几位数字作为一个整体，进行选择 ②超出范围的、重复的，要排除不选 知识点2 分层随机抽样 1、分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2分层随机抽样的步骤 （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；分层原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠． （2）计算抽样比：抽样比； （3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数； （4）抽样：每层抽样时，按简单随机抽样的方法抽取样本 （5）成样：综合各层抽样，组成样本。 3、分层随机抽样的相关计算 关键：比例相同 （1）＝；（层与总） （2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．（层与层） 知识点3 用样本估计总体 （一）总体集中趋势的估计 1. 众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； 2. 中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数， 若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 3. 平均数：（1）设样本的数据为,则样本的算术平均数为； （2）加权平均数 4. 第p百分位数 （1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． ☆（2） 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． （3） 常用百分位数 第25百分位数（下四分位数），第50百分位数，第75百分位数（上四分位数） 【易错】成绩的前是指第75百分位数，因为成绩按从大到小排列 （二）总体离散的估计 数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； 1. 极差：（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； 2. 方差： （1）定义：描述了一组数据围绕平均数波动的大小； （2）计算：设样本的数据为，样本的平均数为， ①基本公式：方差； ②简化公式：= （方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） 3. 标准差：是方差的算术平方根． 标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． 4. 两组数据之间，平均数、方差的关系： 如果一组数的平均数为，方差为， 则另一组数的平均数为，方差为； （三）频率分布直方图 1. 绘制步骤 ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且； ③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组． ④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。 2. 频率分布直方图的特点： ① 频率； ② 每个小长方形的面积； ③ 所有小长方形的面积总和为1； ④ 各矩形的：高之比=面积比=频率比=频数比． ☆3. 频率分布直方图中求众数、中位数、平均数 ①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标； ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； 【常需设末知数， 利用面积=0.5建立方程求解. 】 ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． · 常考题型 （1） 分层抽样的计算 （二）统计数据的计算（已知具体数据）——根据定义套用公式 （三）统计数据的计算（未知具体数据）——三类 1．（多选）某学校为了解学生英语口语情况，在学校组织了一次口语测试，高一、高二、高三的参考人数分别为300，400，300，采用样本量比例分配的分层随机抽样从三个年级中抽取容量为50的样本，经计算三个年级口语成绩的样本平均数分别为90，85，90，方差分别为2，1，2，则（    ） A．三个年级分别抽15，20，15人 B．总样本平均数为88 C．总样本方差为 D．估计该校学生的口语成绩平均数为 【答案】ABC 【分析】首先求出各年级抽取的人数，再由平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意高一年级抽取人， 高二年级抽取人， 高三年级抽取人，故A正确； 所以总样本平均数为，故B正确； 则估计该校学生的口语成绩平均数为，故D错误； 总样本方差为，故C正确. 故选：ABC 2. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ） A 20 B. 30 C. 40 D. 45 【来源】重庆市2023-2024学年高一下学期四区联考期末考试数学试题 【答案】A 【解析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再求出绘画及合唱人数和即可得解. 【详解】由条形图得演讲人数为30，由饼状图得演讲人数占比，因此选取的总人数为， 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为，人数和为， 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. 故选：A 3．（多选）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（    ） A．平均数为14 B．方差为13.4 C．第85百分位数为18 D．众数为12 【答案】ABC 【分析】将数据由小到大排列，根据平均数公式、方差公式计算可判断AB；先计算，然后可判断C；由众数定义可判断D. 【详解】将数据由小到大排列：. 对A，，A正确； 对B，，B正确； 对C，因为，所以第85百分位数为第9个数据，即18，C正确； 对D，16出现了3次，12只出现2次，所以众数为16，D错误. 故选：ABC 4．（多选）已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（    ） A．数据，的平均数为5 B．数据，的方差为9 C．数据的方差为1 D．数据的平均数为5 【答案】AD 【分析】对于AB：根据平均数、方差的性质分析求解；对于CD：根据平均数、方差公式运算求解. 【详解】因为样本数据的平均数为2，方差为1， 对于选项A：所以数据，的平均数为，故A正确； 对于选项B：数据，的方差为，故B错误； 对于选项C：因为，， 则数据的平均数为， 所以方差为，故C错误； 对于选项D：由，， 得，可得， 所以数据的平均数为，故D正确； 故选：BD. 5．某学校高一年级举办了数学竞赛活动，共有1000名学生参加．从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按，，，，的分组作出频率分布直方图，如图所示． (1)求实数x的值，并估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； (2)现从，两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7人组成数学学习小组，再从这7人中抽取2人作为组长，求至少一名组长来自的概率． 【答案】(1)，众数为75分，中位数为71分，平均数为分 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积之和为1，可以求出，再根据频率分布直方图可求出众数，中位数，平均数. （2）根据分层抽样可得中抽取的人数为，中抽取的人数为，然后把所有情况都列举出来，用古典概率计算公式即可求解． 【详解】（1）在频率分布直方图中，，解得， 结合频率分布直方图，估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数为75分， 落在的频率为0.16，的频率为0.3，的频率为0.4．则中位数落在内，设中位数为y，则，解得，即中位数为71分， 平均数为分. （2）按比例分配的分层随机抽样方法．中抽取的人数为，中抽取的人数为． 记来自的5人和来自的2人分别为，，，，，，， 则所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，满足题意的有11个， 由古典概型知，至少一名组长来自的概率为． S10 概率 考点一：事件的分类、关系及运算 知识点1 简单随机抽样 知识点二：事件的分类 1、随机事件：我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生； 2、必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件； 3、不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件。 【总结】判断一个事件是哪类事件看两点 一看条件：因为三种事件都是相对于一定条件而言的； 二看结果是否发生：一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 知识点三：事件的关系及运算 1、包含关系 定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 含义 A发生导致B发生 符号表示 B ⊇A(或A⊆B) 图形表示 特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B 2、 交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 3、 互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 4、 用集合观点看事件间的关系 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω · 常考题型 事件的判断 1．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，事件A包含于事件D；B选项，事件B，D不能同时发生，B正确；C选项，根据事件运算得到C正确；D选项，，，D错误. 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC （互斥、对立事件的判断） 2．（2024 安徽 ）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【答案】D 【解析】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 考点二：概率的计算 知识点1古典概型及概率 1、古典概型的定义 将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点， 则定义事件A的概率P(A)＝＝， 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点2 相互独立事件及概率 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、性质及推广： 如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 3、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 知识点3 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. ☆ 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ☆ 性质4：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． ☆ 性质5：如果事件A与事件互为对立事件，那么P()＝1－P(A)，P(A)＝1－P()． 性质6：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)． 知识点4 频率与概率 1、频率的稳定性 大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有__随机性__. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性。 因此可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2、频率的求法 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率， 频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． 3、 频率和概率区别和联系 名称 区别 联系 频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 (2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率 · 常考题型 （一）古典概型求概率 ☆☆☆ （二）概率公式求概率（特殊事件的概率公式）☆☆☆ （三）频率估计概率 （一）古典概型求概率 1．（2025高三·河南信阳·期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列举基本事件，再利用古典概型的概率公式求解. 【解析】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下： （蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件， 其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件， 所以蓝、白口罩同时被选中的概率为． 故选：A. 2．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． （2） 概率公式求概率（特殊事件的概率公式） （互斥、对立、相对独立事件的概率计算） 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由题意可得，， 则有，又，即， 解得，故. 故选：C. 4．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、独立事件的判断 【分析】根据古典概率和相互独立的公式即可求解. 【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为， 由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误； 对于选项B：，，，，故选项B错误； 对于选项C：，，， 所以，所以与相互独立，故选项C正确； 对于选项D：，，，故选项D错误. 故选：C. 5. 甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. （1）求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少； （2）求团体总分不低于3分的概率； （3）若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级的概率. 【来源】重庆市2023-2024学年高一下学期四区联考期末考试数学试题 【答案】（1）乙、丙每次投篮成功概率分别是 （2） （3） 【解析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙每次投篮命中的概率分别为， 则， 所以， 即乙、丙每次投篮成功的概率分别是； 【小问2详解】 团体总分不低于3分，即至少有一个人命中， 所以团体总分不低于3分的概率为； 【小问3详解】 团体总分不低于6分，即至少两人命中， 所以该小组晋级的概率为. （概率性质综合） 6．（多选）已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么， B．如果与互斥，那么， C．如果与相互独立，那么， D．如果与相互独立，那么， 【来源】浙江省宁波市三锋教研联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题 【答案】ABD 【分析】根据独立事件和互斥事件的概率公式计算概率后判断． 【详解】如果，那么，，A正确； 如果与互斥，那么， ，B正确； 如果与相互独立，那么，C错； ，，D正确． 故选：ABD． 7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B （3） 概率估计概率 8．（2025高二·陕西西安月考）下列四个命题中真命题的个数为（    ）个 ①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品； ②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是； ③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率； ④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由频率和概率的概念与意义进行辨析即可. 【解析】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题； 对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题； 对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题； 对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题. 综上所述，真命题个数为个. 故选：A. 9．（2025高二·湖北孝感·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球 个． 【答案】 【分析】用频率估计概率，根据绿球个数除以总个数即可. 【解析】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为袋中有个红球，个白球， 所以，解得：， 故答案为：8. 第 1 页 共 81 页 第 2 页 共 81 页 第 3 页 共 81 页 学科网（北京）股份有限公司 $$