2025-2026学年初升高衔接第5讲 函数的奇偶性教案（暑假衔接）

初升高精品教案 教学课题 第4讲 函数的奇偶性 教学目标 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 学会判断函数的奇偶性． 教学 重难点 1. 函数的奇偶性及其几何意义． 2. 判断函数的奇偶性的方法与格式． 第一节 函数的奇偶性 引入课题 1．实践操作： 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称； （2） 若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． 以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数． 新课教学 一．函数的奇偶性定义 象上面实践操作中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作中的图象关于原点对称的函数即是奇函数． 1．偶函数（even function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2．奇函数（odd function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 二．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． 三．判断函数的奇偶性 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(－x)与f(x)的关系； 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数． 四． 利用函数的奇偶性补全函数的图象 规律： 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据． 五． 函数的奇偶性与单调性的关系 （学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征． 精讲精练 例1．判断下列函数是否是偶函数． （1） （2） 变式1（1）、 （2） （3） 例2．判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 变式2 判断函数的奇偶性： 例3.设是上的奇函数，且当时，，求当 时的解析式。 变式3.是定义在上的偶函数，且时，，则当 时，= . 例4.已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。 变式4.已知f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f (3)，b＝f (—2)，c＝f (1)，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.c<b<a B.b<c<a C.c>a>b D.a<b<c 当堂检测 1、函数的奇偶性是 （ ） A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2、 若函数是偶函数，则是（ ） A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 3、若函数是奇函数，且，则必有 （ ） A． B. C. D.不确定 4、已知函数是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程的所有实数根的和为 （ ） A．4 B.2 C.1 D.0 5.函数是_______函数. 6、若函数为R上的奇函数，那么______________. 7..已知，且，=___ 第二节 单调性与奇偶性 精讲精练 例1函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。 例2 已知函数,当时,恒.且当，又 （1）求证：是奇函数； （2）求证：在R上是减函数； （3）求在区间上的最值. 当堂检测 1.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取值范围是 A．（，） B．（，） C．（，） D． 2.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是 （ ）中学学科网 A． B． C． D． 3.已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（ ） A．（，） B.［，） C.(，） D.［，） 4.函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是 （ ） A． B. C. D. 5．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（　　）　 　 A．，b＝0　　　　B．a＝－1，b＝0 　　C．a＝1，b＝0　　　　　D．a＝3，b＝0 6.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（　　） 　　 A．－26　　　　B．－18　　　　C．－10　　　　D．10 7.若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5， 则f（x）在（－∞，0）上有（　　） 　 　A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　　C．最小值－1　　　　　　D．最大值－3 8.如果奇函数在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么在区间[-7,-3]上的最___值为___ 课后作业 A 组 1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点(　　) A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D． 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4．函数是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 5．若函数为奇函数，则a＝(　　) A． B． C． D．1 6．若函数f(x)是奇函数，则＝______. 7．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________. 8．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝________. 9．已知函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式． 10．判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2)定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)． B 组 1．已知函数f(x)是奇函数，x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)＝(　　) A．0 B．1[来源:学科网ZXXK] C．－1 D．±1 2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2) 3．已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则(　　) A．f(－1)＜f(－3)[来源:学|科|网] B．f(0)＞f(－1) C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＜f(－5) 4．已知函数 (x≠±1)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则函数f(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 5．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于(　　) A．0 B．1 C． D．5 6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是________． 7．若f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为________． 8．设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)＞f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围． 9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x， (1)求出函数f(x)在R上的解析式； (2)画出函数f(x)的图象 ． 10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)＞1，f(2)＝2m－3，求m的取值范围． C组 一、选择题 1、函数的奇偶性是 （ ） A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2、函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点（ ） A． B. C. D. 二、填空题： 3、为R上的偶函数，且当时，，则当时，______________________ 4、函数为偶函数，那么的大小关系为__________________. 三、解答题： 5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的，都有 （1）、求的值； （2）、判断函数的奇偶性，并加以证明 总结： 课堂收获: 关键点： 作业评价： ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$