2025-2026学年初升高数学衔接第3讲 函数的基本概念+函数的表示教案（暑假衔接）

初升高精品教案 教学课题 第3讲 函数的概念及其表示 教学目标 1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系。 2了解构成函数的要素； 3会求一些简单函数的定义域和值域； 4能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 5明确函数的三种表示方法； 教学重难点 1理解函数的模型化思想；2.明确函数的三种表示方法；3.了解分段函数。 第1节 函数的概念 引入课题 今天我们学习函数，函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的，后经维布伦，林纳用集合与对应的观点，揭示了函数概念的本质。 我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）时，首先把“function”译成函数。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。 函数是科学技术的重要工具，小到手机，ipad，大到神9上天，无论从飞行器设计，到轨道计算，哪里都离不开函数运算，而且必须保证高度准确，否则就无法成功。 新课教学 （1） 函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ①函数首先是两个数集之间建立的对应. 函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系. ②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应。 强调： y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． 2． 构成函数的三要素： ( A B C f )若A是函数的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域． 因此我们可以知道：对于函数f：A B而言，如果如果值域是C，那么，因此不能将集合B当成是函数的值域． 我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了． 考点： （1）求函数定义域 说明： 函数的定义域通常由问题的实际背景确定。 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． （2）判断两个函数是否为同一函数 说明： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 精讲精练 例1. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4） 例2. 求下列函数的定义域 （1） （2） （3） 例3在下列从集合到集合的对应关系中，不可以确定是的函数的是 _____________________ （1） ，对应关系 （2），对应关系 （3），对应关系 （4），对应关系 变式1：下图中，可表示函数的图像只能是（ ） ( O y x ) ( O y x ) ( O y x ) ( O y x ) ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) 例4.求下列函数的值域： （1），，； （2）； 变式2：求下列函数的值域： （1） （2）,，6] 第2讲 函数的表示 引入课题 复习初中已经遇到过的对应： 1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应； 2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 4． 金逸影城的变形金刚4的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 新课教学 1． 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping） 2. 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）． 记作“f：AB” 3. 映射与函数 由映射的定义可以看出,映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的 两个集合A,B必须是 。 4.表示函数的方法常用的有： 、 、 。[来源:学科网] （1）解析法：用 表示两个变量之间的对应关系； （2）图像法：用 表示两个变量之间的对应关系； （3）列表法：用 表示两个变量之间的对应关系； 5.分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。 对分段函数的概念需要注意： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 精讲精练 例1.求下列函数的解析式： （1）已知f（x）是一次函数，且f[f(x)]=9x+4,求f（x）。 （2）已知： ，若，且，求 （3）已知： ，求 的解析式； 例2 已知函数 （1）求的值；（2）若 求a的值； 例3.在给定的映射的条件下，点 的原象是 （ ） A、 B、或 C、 D、 变式1.映射定义域A到值域B上的函数，下列结论正确的是（ ） A、A中每个元素必有象，但B中元素不一定由原象； B、B中元素必有原象， C、B中元素只有一个原象; D、A或B可以空集或不是数集； 变式2.给定映射 例3. 作出下列函数的图象 （1） （2） （3） 例4.在运距不超过500公里以内，投寄快寄包裹，首重不超过1000克需付邮资5元，5000克以内续重每500克需付邮资2元，5001克以上续种500克需付邮资1元（不足500克，按500克计算），一件重x克的包裹需付邮资y元， 请写出在运距不超过500公里以内投寄快递包裹需付邮资y元与包裹重量x克（）之间的函数表达式，求出函数的值域，并作出函数的图像。 变式2 某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收1元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y，所走千米数设为x,写出的表达式，并画出其图像。 课后作业 A.磨剑 一．选择题 1.已知下列对应不表示从P到Q的函数的是 （ ） A. B. C D.[来源:学*科*网] 2. 已知，则的值等于 （ ） A．25 B.36 C.42 D.49 3已知函数，则等于 A 2x-1 B x+1 C 2x+1 D 1 2. 填空题 4.已知函数满足，当时，x的值为 5.设函数 ，则 B.挑战 1.已知 ，求 的解析式。 2..已知，求来源:学+科+网][来源:Z|xx|k.Com] 来源:Z.xx.k.Com] 3. 函数y=f(x)是一次函数，且f[f(x)]=9x+8,求f(x). 4. 已知3f(x)+2f(-x)=x+3,求f(x) 5.定义在R上的函数满足则 （ ） A 2 B 3 C 6 D 9 6.作出函数的函数图像 7.已知函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 总结： 课堂收获: 关键点： 作业评价： [来源:学科网] ( 8 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$