第10讲 函数的单调性与最大(小)值 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性与最大(小)值 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 函数单调性的理解 【题型二】 根据函数的单调性解不等式 【题型三】 利用定义法证明函数的单调性 【题型四】 求函数的单调性或单调区间 【题型五】根据函数的单调性求参数 【题型六】 求函数的最值 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征； 2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明； 3.理解函数的最大(小)值及其几何意义，会求一些简单函数的最值. 【题型一】 函数单调性的理解 相关知识点讲解 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 变式练习 1 （23-24高一·全国·课后作业）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 【答案】C 【分析】利用函数的单调性分析即可得解. 【详解】因为函数在区间和上均为增函数， 对于A，符合条件的图像如图所示， 函数在区间上不是增函数，，但，故A错误； 对于B，符合条件的图像如图所示， 函数在区间和上连续，此时在区间上是增函数，故B错误； 对于CD，函数在区间和上不论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在减区间，故C正确，D错误； 故选：C 2（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为 ，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为 ，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 3（23-24高一上·浙江金华·期中）设函数是上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，根据函数单调性得到，再利用特殊值法排除其他选项即可. 【详解】，即，函数单调递减，故. 取，则，A错误；取得到，B错误； 故选：C. 4（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 【题型二】 根据函数的单调性解不等式 【典题1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 变式练习 1（23-24高一上·全国·课后作业）若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用函数单调性的定义，列不等式进行求解即可. 【详解】∵函数在R上是增函数，且， ∴由函数单调性的定义可知，， 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：C． 2（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【题型三】 利用定义法证明函数的单调性 相关知识点讲解 定义法证明函数的单调性的解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． 【典题1】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则 . 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 变式练习 1（24-25高一上·贵州六盘水·期中）设函数，且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接由列方程即可得解； （2）直接由单调性的定义即可得证. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）知， 任取，，且，有 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. 【题型四】 求函数的单调性或单调区间 【典题1】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 变式练习 1（22-23高一上·天津西青·阶段练习）下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】解：对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C：在定义域上单调递减，故C正确； 对于D：，函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：C 2（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 3 （2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 【题型五】根据函数的单调性求参数 【典题1】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数及反比例函数的性质，列出不等式求解即可. 【详解】因为当时，， 函数的图象开口向下，对称轴为， 又因为当时，， 又因为函数在R上单调递增， 所以，解得. 故选：D. 变式练习 1（23-24高一上·陕西延安·期末）若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是增函数，求解参数范围. 【详解】因为在上是增函数， 则,即. 故选：A 2（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 【题型六】 求函数的最值 相关知识点讲解 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【典题1】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【详解】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 变式练习 1（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知过点，则在区间内的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求出的值，根据解析式判断的单调性，求出值域. 【详解】由题可得，解得，故， 所以函数在区间内单调递减， 则， 故的值域为． 故选：A. 3（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】令， 函数，在时，单调递减，因此， 当时，， 所以的值域是， 故选：C 4（24-25高一上·江苏扬州·期中）定义，设，则下列结论不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．当时，的最大值为 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断. 【详解】，解得或， 所以，函数图像如图所示， ，A选项正确； 不等式的解集为，B选项错误； 当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确； 时，，在上单调递减，D选项正确. 故选：B. 【A组---基础题】 1（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 2（23-24高一上·广西钦州·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析每个函数的单调性，选出满足题意的即可. 【详解】A：在单调递减，在单调递增，不满足题意； B：在上单调递增，不满足题意； C：在上单调递增，不满足题意； D：在和上单调递减，满足题意. 故选：D. 3（23-24高一上·宁夏中卫·阶段练习）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果. 【详解】在上单调递增，，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：C. 4（23-24高二下·新疆喀什·期中）函数的单调区间为（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】的对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 故选：D 5（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】函数的图象对称轴为， 由函数在区间上是单调函数，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 6（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在R上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】在上单调递增， 要想是R上的增函数，需满足， 解得， 故的取值范围为. 故选：C 7（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再利用函数的单调性可求得的解集． 【详解】函数，所以定义域为，解得， 因为是单调递增函数，是单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 由不等式得，解得， 故选：C． 8（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】由基本不等式求得当，时的范围，进而可求解. 【详解】当时，； 当时：，当且仅当，即时等号，此时. 当时，，当且仅当，即时等号，此时， 综上，. 若，则，由题，所以； 若，则，由题，所以， 故选：BC. 9（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，在上值域为，显然不存在最大值； 当时，在上，而在上最大值为，满足题设； 当时，在上值域为， 若时，在上最大值为， 此时，故存在最大值，满足题设； 若时，在上最大值为， 此时只需，则，即， 故，存在最大值，满足题设； 综上，. 故答案为： 10（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 【B组---提高题】 1（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数单调性可得,得出在上的最值解不等式即可得结果. 【详解】因为函数对称轴为，函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，即，则， 若对任意的，都有， 则只要即可，即， 解得，又因为，则. 故选：D 2（2024高三·全国·专题练习）一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，下列结论正确的是（    ） A．若为的“跟随区间”，则 B．函数存在“跟随区间” C．若函数存在“跟随区间”，则 D．二次函数存在“倍跟随区间” 【答案】D 【分析】对于A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可求解的值；对于B，假设存在“跟随区间”，则根据条件求解的值，若有解则存在，反之不存在；对于C，先设“跟随区间”为，则根据满足的条件建立方程组，找出的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围；对于D，若存在“倍跟随区间”，设定义域为，则值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解． 【详解】对于A，若为的“跟随区间”，且的对称轴为，且，所以，解得或（舍），A错误； 对于B，假设存在“跟随区间”，且， 因为在单调区间上递减，则有，解得，不符合， 故不存在，B错； 对于C，在定义域上单调递减， 若存在“跟随区间” ，则有，即， 两式相减得，即， 又因为，所以，所以， 所以， 设，则，即在区间上有一个实数根， 所以，解得，故C错误； 对于D，若存在“倍跟随区间”， 设定义域为，则值域为， 当时，易得函数在定义域上单调递增， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或， 故存在定义域为使得值域为，故D正确． 故选：D 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；本题根据函数的单调性合理转换是解决问题的关键． 3（2025·全国·模拟预测）若对于实数、，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”. (1)若存在“保值区间”，试求和的值； (2)已知函数的图象上有两点和，其中，. ①求的值； ②若，且为函数的“保值区间”，求的值. 【答案】(1)，. (2)①；②或. 【分析】（1）由一次函数的单调性，分与两种情况，根据单调性与最值，建立方程组，可得答案； （2）①由二次函数的解析式求得其对称轴，结合题意建立方程，可得答案；②由①可得函数解析式，二次函数的单调性，分所求参数在不同单调区间的三种情况，分别建立方程，可得答案. 【详解】（1）设该保值区间为，其中，则有以下两种可能： （i），两式相减得：，进而 由于，所以，进而； （ii），两式相减得：，进而 由于，所以，进而； 综上所述，，. （2）①由于，故绝对值可以直接去掉，从而得到 ，两式相减并整理得：，由于， 从而，进而. ②容易得到此时函数解析式为， 注意到，且为其“保值区间”， 从而，同时注意到为的一条对称轴，从而可进行如下讨论： （I），此时随的增大而减小，故有， 两式相减并整理得：，由于，从而，进而， 代回第一个式子得：，整理得，解得或2， 相应地，或1，但，从而只能为，进而； （Ⅱ），此时，注意到， 从而且，解得， 由于，所以， 进而； （Ⅲ），此时随的增大而增大，故有，即， 从而，为关于的方程的两根，解得，但，故舍去.. 综上所述，或. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的单调性与最大(小)值 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 函数单调性的理解 【题型二】 根据函数的单调性解不等式 【题型三】 利用定义法证明函数的单调性 【题型四】 求函数的单调性或单调区间 【题型五】根据函数的单调性求参数 【题型六】 求函数的最值 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征； 2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明； 3.理解函数的最大(小)值及其几何意义，会求一些简单函数的最值. 【题型一】 函数单调性的理解 相关知识点讲解 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1 （23-24高一·全国·课后作业）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 2（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·浙江金华·期中）设函数是上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【题型二】 根据函数的单调性解不等式 【典题1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·全国·课后作业）若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型三】 利用定义法证明函数的单调性 相关知识点讲解 定义法证明函数的单调性的解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． 【典题1】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 变式练习 1（24-25高一上·贵州六盘水·期中）设函数，且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【题型四】 求函数的单调性或单调区间 【典题1】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（22-23高一上·天津西青·阶段练习）下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 3 （2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型五】根据函数的单调性求参数 【典题1】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·陕西延安·期末）若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 2（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型六】 求函数的最值 相关知识点讲解 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【典题1】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式练习 1（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知过点，则在区间内的值域为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·江苏扬州·期中）定义，设，则下列结论不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．当时，的最大值为 D．在上单调递减 【A组---基础题】 1（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 2（23-24高一上·广西钦州·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·宁夏中卫·阶段练习）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·新疆喀什·期中）函数的单调区间为（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 5（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 9（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 . 10（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，下列结论正确的是（    ） A．若为的“跟随区间”，则 B．函数存在“跟随区间” C．若函数存在“跟随区间”，则 D．二次函数存在“倍跟随区间” 3（2025·全国·模拟预测）若对于实数、，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”. (1)若存在“保值区间”，试求和的值； (2)已知函数的图象上有两点和，其中，. ①求的值； ②若，且为函数的“保值区间”，求的值. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$