第09讲 函数的概念及其表示 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第09讲 函数的概念及其表示 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】函数概念的理解 【题型二】求函数的定义域 【题型三】 判断两个函数是否同一函数 【题型四】 求函数的值域 【题型五】 求函数的解析式 【题型六】 与分段函数有关的问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素； 2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域； 3.掌握函数的三种表示方法—解析法、图象法、列表法； 4.了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数； 5.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象. 【题型一】函数概念的理解 相关知识点讲解 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 【典题1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 变式练习 1 （24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 2（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·浙江·期中）下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 求函数的定义域 相关知识点讲解 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集． 【典题1】（24-25高一下·河北张家口·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型三】 判断两个函数是否同一函数 相关知识点讲解 两个函数的定义域和解析式均相同，则该两个函数为同一函数. 【典题1】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型四】 求函数的值域 相关知识点讲解 ① 概念：函数值的集合叫做函数的值域． ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典题1】（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【题型五】 求函数的解析式 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3（2023高二下·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型六】 与分段函数有关的问题 相关知识点讲解 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． 【典题1】（广东省冮门市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【典题2】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 2（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 3（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）定义，若函数，则（    ） A．的最大值是5； B．若有3个不同的实数解，则； C．在区间上的值域为； D．若在区间上的值域为，则的最大值为 【A组---基础题】 1（24-25高一上·北京通州·期中）已知集合，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．已知函数满足，则 6（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 . ①    ② ③    ④ 7（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的表达式为，则的解集为 . 8（2025高三·全国·专题练习）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数，都有；②当时，；③．求的值． 9（24-25高一上·福建福州·期中）已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 10（23-24高一上·云南昭通·期中）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【B组---提高题】 1（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三下·浙江绍兴·阶段练习）若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的概念及其表示 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】函数概念的理解 【题型二】求函数的定义域 【题型三】 判断两个函数是否同一函数 【题型四】 求函数的值域 【题型五】 求函数的解析式 【题型六】 与分段函数有关的问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素； 2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域； 3.掌握函数的三种表示方法—解析法、图象法、列表法； 4.了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数； 5.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象. 【题型一】函数概念的理解 相关知识点讲解 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 【典题1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 变式练习 1 （24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 2（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，A中的任意一个数，通过对应关系在B中都有唯一的数与之对应，据此逐项检验即可． 【详解】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 3（24-25高一上·浙江·期中）下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义依次判断各个选项. 【详解】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误； 对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误； 对于C，即，满足函数的定义，故C正确； 对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误. 故选：C. 【题型二】 求函数的定义域 相关知识点讲解 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集． 【典题1】（24-25高一下·河北张家口·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式和分式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 变式练习 1（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据这两个部分对的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【详解】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得. 解不等式，可得. 所以不等式组的解为且. 用区间表示函数的定义域为. 函数的定义域是. 故选：D 2（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由题意知，，， ． 故选：B. 3（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零及分母不为零可得函数的定义域. 【详解】由题意得，，解得或， ∴函数的定义域为. 故选：C. 【题型三】 判断两个函数是否同一函数 相关知识点讲解 两个函数的定义域和解析式均相同，则该两个函数为同一函数. 【典题1】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 变式练习 1（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 2（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】判断解析式和定义域是否都相同，若相同则是同一函数，若有不同，则不是同一函数. 【详解】A. 与，定义域均为，故是同一函数，A正确； B. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误； C. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误； D. 与，定义域均为，但是解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：A 【题型四】 求函数的值域 相关知识点讲解 ① 概念：函数值的集合叫做函数的值域． ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典题1】（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 【典题2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 变式练习 1（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 2（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 3（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 4（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 【题型五】 求函数的解析式 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 【典题2】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得可得的解析式，再求即可. 【详解】令，解得 所以， 则， . 故选：B. 变式练习 1（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设，利用待定系数法法求解. 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 2（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数，利用换元法求出解析式. 【详解】设，则，由，得， 于是， 所以. 故选：B 3（2023高二下·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 【题型六】 与分段函数有关的问题 相关知识点讲解 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． 【典题1】（广东省冮门市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】由题意， . 故选：B. 【典题2】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【详解】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D 变式练习 1（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：D 2（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】A 【分析】求方程的所有根，然后相加即可. 【详解】若，由 ，所以； 若，由 . 因为，所以方程的所有根的和为1. 故选：A 3（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出函数在，，时的值域，然后求并集可得答案. 【详解】当时，，即； 当时，；当时，． 综上可知，的值域为． 故选：B 4（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分情况，分段求函数的值域，再求并集，即可求解. 【详解】当时，函数在单调递减，， ，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件， 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域不是，不符合条件； 所以. 故选：D 5（多选）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）定义，若函数，则（    ） A．的最大值是5； B．若有3个不同的实数解，则； C．在区间上的值域为； D．若在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】AD 【分析】根据定义，作出函数图象，逐项判断. 【详解】解：令或5，如图： 则， 所以的最大值为，A正确， 如图，当或2时，有三个解，B错误， 对于，所以在区间[1，4]上的值域为[1，2]，C错误， 对于最小值为1，令， 所以最太值为+，D正确， 故选：AD 【A组---基础题】 1（24-25高一上·北京通州·期中）已知集合，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义确定正确答案. 【详解】A选项，对于，，，所以A选项错误. B选项，对于，，所以B选项错误. C选项，对于，，所以C选项错误. D选项，对于，集合中任意一个元素，在集合中都有唯一确定的数对应， 所以能构成从到的函数. 故选：D 2（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶次根式和分式的意义来求定义域即可. 【详解】由题意得： 故函数的定义域为， 故选：A. 3（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据选项中函数的定义域可排除A、B、D，对于C，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 则与不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，则与不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 则与表示同一函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 则与不是同一函数，故D错误； 故选：C. 4（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 5（多选）（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．已知函数满足，则 【答案】ABD 【分析】根据相同函数的概念判断A，根据函数的定义域和值域的概念判断BC，利用换元法列方程组判断D. 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，所以两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，选项A说法正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为，选项B说法正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，选项C说法错误； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，选项D说法正确； 故选：ABD 6（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 . ①    ② ③    ④ 【答案】①③ 【分析】根据各选项中图象变换的特征可得值域为的函数的序号. 【详解】对于①，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的， 值域不变，①正确； 对于②，由，得， 即的值域为，②错误； 对于③，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，③正确； 对于④，由，得， 即的值域为，④错误. 故答案为：①③. 7（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的表达式为，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式得到或，解得即可. 【详解】因为，对于不等式， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 8（2025高三·全国·专题练习）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数，都有；②当时，；③．求的值． 【答案】 【分析】令求出，令，求出，再利用求出的值. 【详解】令，， ， 令，， 且，得． 9（24-25高一上·福建福州·期中）已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）代入给定条件建立方程组，利用待定系数法求解解析式即可. （2）利用待定系数法求出解析式，再结合题意建立不等式组确定的范围，再求解的解析式即可. 【详解】（1）因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. （2）由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故. 10（23-24高一上·云南昭通·期中）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一，令，得到，代入即可求解；法二，根据条件，通过配凑，即可求解； （2）设，根据条件，建立方程，即可求解. 【详解】（1）法一，设，则，得到， 所以，故. 解法二：因为， 所以. （2）设， 则 ， 又因为， 所以，解得， 所以． 【B组---提高题】 1（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 2（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论和三种情况，利用基本不等式求得的取值范围，进而利用取整函数的定义即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或2； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或1， 综上，得的值域为 故选：C. 3（24-25高三下·浙江绍兴·阶段练习）若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出，令，可得出，利用赋值法推导出，进而可得出，由此可求得的最小值. 【详解】因为， 所以. 设，那么， 因此， 对任意的，，则， 因此， 所以，所以的最小值是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于令，根据题意得出，进而结合赋值法推导出，进而求解. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$