第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 解不含参的一元二次不等式 【题型二】 三个“二次”之间的关系 【题型三】 解含参的一元二次不等式 【题型四】 一元二次不等式恒成立问题 【题型五】 一元二次不等式在某区间有解问题 【题型六】 一元二次方程根的分布问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义； 2.掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题； 3.掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法； 【题型一】 解不含参的一元二次不等式 相关知识点讲解 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 【典题1】（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 变式练习 1 （24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2（24-25高三下·四川乐山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，得，得， 所以，又因为， 则 故选：A. 3（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接解分式不等式求解即可. 【详解】， 所以不等式的解集为． 故选：C. 【题型二】 三个“二次”之间的关系 【典题1】（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 变式练习 1（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【详解】由题意，方程有两根为和4， 故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 2（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有 ，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 3（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果. 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 4（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案. 【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号， 故选:C. 【题型三】 解含参的一元二次不等式 【典题1】（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出方程的根，接着分类讨论求出、和三种情况下不等式的解集，再结合题意即可得解. 【详解】解方程得， 当时，不能等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 当时，不等式解集为，不符合； 当时，不等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：C. 变式练习 1（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 2（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 3（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B． 【题型四】 一元二次不等式恒成立 【典题1】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 变式练习 1（2025高一上·河北保定·专题练习）一元二次不等式的解集为，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立计算即可得出参数范围. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 则必有开口向下，且与轴无交点即判别式小于0， 所以，且. 故选：B. 2（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 3（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若命题“”为真命题，则实数的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】将恒成立问题转化为最值问题结合二次函数的性质求解即可； 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立，即， ，单调递减；单调递增； 当时，， 故，则实数的最小值是3. 故选：D. 4（22-23高二上·四川德阳·期末）若在恒成立，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由在恒成立，转化为求出的范围，再根据充分不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】若在恒成立， 则在恒成立， 由得，当且仅当即时等号成立， 所以， 则是的充分不必要条件. 故选：A. 【题型五】 一元二次不等式在某区间有解问题 【典题1】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 变式练习 1（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故选：A 2（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】问题化为在区间上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求参数范围. 【详解】关于x的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解，即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6. 故，可得. 故选：D 【题型六】 一元二次方程根的分布问题 【典题1】（2024高一·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】令，设的两个根为，结合二次函数的图象与性质，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：令，设的两个根为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：若方程的一个根大于，一个根小于， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：若方程一个根在内，另一个根在内， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （4）解：若方程的一个根小于，一个根大于， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 变式练习 1（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 2（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 3（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； (2)若方程至少有一个非负实根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可； （2）分方程有两非负实根，有一负实根和一零根，有一正一负实根，三种情况结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）若方程一个根在内，另一个根在内， 令， 则，解得， 即的取值范围是. （2）①若方程有两非负实根，则，解得； ②若方程有一负实根，一零根，则，，无解； ③若方程有一正一负实根，则，解得. 综上所述，的取值范围为. 【A组---基础题】 1（24-25高三上·浙江·期末）集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式，得集合,再由交集定义计算即得. 【详解】 故选：A. 2（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 3（24-25高一上·海南海口·期中）命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由存在命题、判别式以及充要条件的性质求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 故选：D. 4（24-25高一上·湖南湘潭·期末）“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】应用一元二次不等式的解的情况计算求参结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解，则，得． 由“”可以推出“”，由“”不能推出“”， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件． 故选：D. 5（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【分析】当时，计算判别式可判断A选项；由求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断B选项；利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，方程为，则， 因此，当时，方程有两个相等实根，A对； 对于B选项，若关于的方程有实根， 则，解得或， 因为是或的真子集， 所以，是方程有实根的充分不必要条件，B错； 对于CD选项，若方程有两个不等的实根， 则，解得或， 设关于的方程的两个不等实根分别为、， 若方程有两个不等正根，则，无解，C对； 若方程有两个不等负根，则，解得，则， 所以，方程可能有两个不等负根，D错. 故选：AC. 6（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7（24-25高一上·江苏南京·自主招生）有四个解，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，设，由换元法结合韦达定理代入计算，可得，即可得到结果. 【详解】根据题意可知0不是方程的根，否则方程只有三个根， 设，则， 设两根为，， ，， 又，或， 设，四根依次为，，，， ，， ，， ，， ，， 故答案为：. 8（24-25高一上·福建厦门·期中）关于的不等式 (1)若此不等式对于一切都成立，求的取值范围； (2)若此不等式解集为或，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）分与讨论即可求解； （2）由题意可得，且是方程的两个根，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）当时，不恒成立，故舍去； 当时，，解得. 综上所述，的取值范围为. （2）因为的解集为或， 则，且是方程的两个根， 则，解得. 9（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出； （2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案； （3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·浙江·阶段练习）若对任意的，恒成立，则的最大值为（   ） A．32 B．8 C．35 D．7 【答案】A 【分析】将不等式化为，得到函数与，若对任意的，恒成立，则直线夹在函数与之间，可在平面直角坐标系中作出两函数图象，由图象可知若最大，则恒过点且与曲线相切；联立与，利用求出切线斜率，即为的值，从而求出的最大值. 【详解】∵，恒成立， ∴，直线夹在函数与之间， 直线刚好过点，即， 且直线与曲线相切， 有，. 由此得，，， 故选：A. 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将不等式转化为三个函数之间的位置关系，通过数形结合的方式找到最大值取得的情况，利用切线的求解方法求得切线斜率，从而得到所求最值. 2（24-25高一上·上海松江·阶段练习）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】解：恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 即恰有2个整数解， 即的图象开口向上， 所以， 解得或， 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为1和2， 则，即， 解得：； 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为，， 则， 即， 解得：， 综上所述，实数的取值范围为：或. 故选：D. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 解不含参的一元二次不等式 【题型二】 三个“二次”之间的关系 【题型三】 解含参的一元二次不等式 【题型四】 一元二次不等式恒成立问题 【题型五】 一元二次不等式在某区间有解问题 【题型六】 一元二次方程根的分布问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义； 2.掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题； 3.掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法； 【题型一】 解不含参的一元二次不等式 相关知识点讲解 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 【典题1】（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1 （24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2（24-25高三下·四川乐山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 三个“二次”之间的关系 【典题1】（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 2（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 3（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 4（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【题型三】 解含参的一元二次不等式 【典题1】（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型四】 一元二次不等式恒成立 【典题1】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 变式练习 1（2025高一上·河北保定·专题练习）一元二次不等式的解集为，则必有（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若命题“”为真命题，则实数的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 4（22-23高二上·四川德阳·期末）若在恒成立，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【题型五】 一元二次不等式在某区间有解问题 【典题1】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【题型六】 一元二次方程根的分布问题 【典题1】（2024高一·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 变式练习 1（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； (2)若方程至少有一个非负实根，求的取值范围. 【A组---基础题】 1（24-25高三上·浙江·期末）集合则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·海南海口·期中）命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·湖南湘潭·期末）“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 5（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 6（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 7（24-25高一上·江苏南京·自主招生）有四个解，若，则 . 8（24-25高一上·福建厦门·期中）关于的不等式 (1)若此不等式对于一切都成立，求的取值范围； (2)若此不等式解集为或，求的值. 9（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【B组---提高题】 1（24-25高一上·浙江·阶段练习）若对任意的，恒成立，则的最大值为（   ） A．32 B．8 C．35 D．7 2（24-25高一上·上海松江·阶段练习）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$