精品解析：福建省福州市闽清县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年第二学期八年级期末适应性练习数学试卷 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 2. 以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，3， B. 1，2， C. 2，3，4 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理的逆定理判断直角三角形，解题关键是掌握勾股定理的逆定理，将三个数据按照两个较小的数的平方和与最大的数的平方进行比较，选择相等的那个选项即可． 【详解】解：A、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵，能组成直角三角形，符合题意； C、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵，不能组成直角三角形，不符合题意；  故选：B． 3. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行判断即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，不一定有唯一的值与之对应，故不是的函数，符合题意． 4. 下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 矩形的对角线平分一组对角 C. 矩形的邻边一定不相等 D. 矩形的邻边互相垂直 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查了矩形的性质，根据矩形的性质判断即可．掌握矩形的性质是解题的关键． 【分析】A．矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项说法错误，不符合题意； B．矩形的对角线不一定平分一组对角，故此选项说法错误，不符合题意； C．当矩形为正方形时，矩形的邻边相等，故此选项说法错误，不符合题意； D．矩形的邻边互相垂直，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数（其中k、b是常数，且），当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 6. 鞋店老板去进货时，他必须了解近期各种尺码的鞋销售情况，他应该最关心统计量中的（　　） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】众数能帮助鞋店老板了解进货时应该进哪种尺码的鞋最多；如果我是鞋店老板，我会对众数感兴趣，因为这种尺码的鞋子需求量最大，销售量最多，据此即可找到答案． 【详解】解：根据题干分析可得：众数能帮助鞋店老板了解进货时应该进哪种尺码的鞋最多，因为这种尺码的鞋子需求量最大，销售量最多． 故选A． 【点睛】此题主要考查了中位数、众数、平均数、方差的意义；也考查了学生分析判断和预测的能力． 7. 中，点D，E分别是边的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图所示， ∵点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系： 那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格得出弹簧的长度为，每挂重物，弹簧伸长，求出函数解析式即可． 【详解】解：观察表格可知，弹簧的长度为，每挂重物，弹簧伸长，所以弹簧总长与所挂重物之间的关系式为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是根据表格得出弹簧的长度为，每挂重物，弹簧伸长． 9. 已知平行四边形，点F在边上，利用尺规作图得到以为边的菱形，下列符合要求的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查作一条线段等于已知线段，作角平分线、垂直平分线，菱形的判定，等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据图中作一条线段等于已知线段，作角平分线、垂直平分线的作法，结合菱形的判定依次判断即可. 【详解】解：①由作图得，无法得出以为边的菱形，不符合题意； ②由作图得：垂直平分， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，符合题意； ③由作图得平分，平分， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，符合题意； 故选：C. 10. 已知点都在直线上，若，则k的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据题意，点A、B、C在直线上，分别代入各点的x坐标，得到，，，由条件，依次判断各选项中k的值是否满足不等式． 【详解】解：选项A，当时， ，，， 乘积为，不满足条件； 选项B，当时， ，，， 乘积为，不满足条件； 选项C，当时， ，，， 乘积为，不满足条件； 选项D，当时， ，，， 乘积为，满足条件； 只有选项D满足， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 12. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可． 【详解】根据折线统计图中数据， ，， ∴， ， ∴， 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键． 13. 在校园艺术节的合唱比赛中，10位评委给某班的评分如下表所示，则成绩的中位数是_____． 成绩（分） 人数 3 2 3 1 1 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的知识，掌握中位数的定义是解题的关键． 利用中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵共10名评委， ∴中位数应该是第5和第6人的平均数，为分和分， ∴中位数为分． 故答案为：． 14. 直线过点，值为_____． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值．将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的，再整理体代入计算即可． 【详解】解：将点代入得： ， 即：， ∴． 故答案为：2027． 15. 如图，用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义，“冲浪小组”用边长为的正方形制作七巧板（图1），拼出了如图2所示的“一只飞舞的蝴蝶”，寓意着“自由与追求”，图2中阴影部分的面积为______． 【答案】200 【解析】 【分析】本题主要考查了七巧板．根据七巧板中各部分面积的关系可得答案． 【详解】解：∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的， ∴大正方形面积， 由图形可知，阴影部分面积． 故答案为：200． 16. 如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，且，点F在边上．将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接和．当线段取最小值时的面积是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理等知识，解题关键是确定取最小值时的位置，再计算的面积； 连接，利用折叠性质知，根据两点之间线段最短确定、、共线时最小；再用勾股定理求、；设，由，结合勾股定理列方程求出；最后根据三角形面积公式算出的面积 ； 【详解】解：连接，,, 因为正方形纸片沿对折，点的对应点是点， 所以，，垂直平分． ∵， 故当D、E、G共线时，取最小值．最小值为， 此时， 在正方形中，，， 根据勾股定理， 所以， 又，，则， 那么． 设，则，由折叠可知． 在中，； 在中，． 因为， 所以， 解得：， 即． 则． 故答案为：4． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法，加减法运算即可求解． 【详解】解： ． 18. 已知：如图，在平行四边形中，点分别在和上，且．求证：． 【答案】 证明：在中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】由平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】略 19. 已知一次函数的图象过点与． （1）在所给的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； （2）求该一次函数的解析式． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，画一次函数的图象，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）描点作出与，过这两点作直线即可； （2）利用待定系数法即可求得． 【小问1详解】 如图所示，一次函数图象为所求； 【小问2详解】 设一次函数的解析式为 一次函数图象过点与． ， 解得． ． 20. 为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 组中值 频数（苹果树数量） 35 b 45 3 a 7 65 5 75 2 85 1 （1）______，______； （2）求抽取的这20棵苹果树的平均产量． 【答案】（1）55，2 （2）千克 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，加权平均数． （1）根据组中值的定义可求出a的值，根据频数与总数的关系可求出b的值； （2）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ． 故答案为：55，2； 【小问2详解】 解：（千克）， 答：抽取的这20棵苹果树的平均产量为千克． 21. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 22. 为了丰富校园社团活动，某学校计划采购一批乐器．已知购买3把吉他和2架电子琴共需2800元；购买1把吉他和1架电子琴共需1200元． （1）求吉他和电子琴两种乐器的单价； （2）若学校准备购买若干把吉他和若干架电子琴，总数量为40，且电子琴数量不少于吉他数量的倍．设购买吉他a把，两种乐器所需总费用为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出总费用的最小值． 【答案】（1）吉他的单价为400元，电子琴的单价为800元 （2），元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设吉他的单价为x元，电子琴的单价为y元，根据“购买3把吉他和2架电子琴共需2800元；购买1把吉他和1架电子琴共需1200元”建立方程组求解即可； （2）先根据“总数量为40，且电子琴数量不少于吉他数量的倍”建立不等式求出的范围，再表示出总费用关于的一次函数，根据一次函数的性质求解最小值． 【小问1详解】 解：设吉他的单价为x元，电子琴的单价为y元， 依题意得， 解得：， 答：吉他的单价为400元，电子琴的单价为800元． 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得： ∵ ， 随a的增大而减小 ∴当时，W取最小值 答：最低总费用为25600元． 23. 如图所示，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点F，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6.5 【解析】 【分析】（1）由菱形得到，然后得到，然后结合，即可得到四边形是矩形； （2）由菱形得到，推出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， 是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 是矩形， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 某工厂生产一款多功能桌子，每张桌子包含一张等边三角形桌面和活动桌脚，使用时可以根据实际需要选取不同数量的桌子进行组合．图1是一张桌面的平面示意图，其边长为．为了存放桌面，工厂同时需要设计长方体储物箱，储物箱每层恰好平放6张桌面，桌面间互不重叠． （1）图2和图3分别是甲、乙两个设计方案中储物箱任意一层的平面示意图（图中6个等边三角形放置后无法滑动），矩形和矩形的面积分别记作和，则______； （2）小明设计了一个新的方案，其任意一层的平面示意图如图4所示，矩形被隔板分割成6个正方形（隔板的厚度忽略不计），每个正方形内恰好放下一个等边三角形．小明发现线段被直线垂直平分，由此计算出他的方案比甲、乙两个方案的任意一层面积更小，更省材料．你认为小明关于“线段被直线垂直平分”和“面积更小”的两个判断是否正确？请逐一说明理由．（图5是矩形中分割出来的一个正方形和一个等边三角形桌面的示意图，桌面的顶点A，B分别在边上，桌面的顶点C与正方形顶点重合．） 【答案】（1） （2）“线段被直线垂直平分”的判断是正确的，对“面积更小”的判断是错误的，见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出和的值，然后求比值即可； （2）证明，得出，从而证明，根据线段垂直平分线判定得出垂直平分，求出，得出，从而说明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点A作于点D，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：小明对“线段被直线垂直平分”的判断是正确的，对“面积更小”的判断是错误的．理由如下： 由（1）得， ， 是正方形， ， 是等边三角形， ， ∴， ， ， 垂直平分， 设垂足为O， ， ∴在中，， 又， ， ， ， ， 根据解析（1）可知：， ， ， 小明对“面积更小”的判断是错误的． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 25. 当m，n是正实数，且满足时，就称点为“和谐点”．例如，当时，因为，又，则点是“和谐点”． （1）对于①和②能得到“和谐点”的是______（填写序号）； （2）“和谐点”中的m，n是否可以都为正整数？请说明理由； （3）已知点与点M都在直线上，点B，C都是“和谐点”，且点B在线段上．若，，求线段的长． 【答案】（1）② （2）不可以，理由见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据“和谐点”定义进行判断即可； （2）根据是和谐点，得出，m，n为正实数，求出，根据，得出不为正整数，从而得出答案； （3）根据和谐点定义得出，说明和谐点P在直线上根据点B、C是和谐点，得出点B、C都在直线上，根据M在上，且B在线段上，得出点为与直线的交点，且点M在A点的右侧，联立方程，求出点，根据勾股定理求出，作轴于点F，则，求出，，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：①， ∵，， 又∵， ∴不能得出“和谐点”； ②， ∵，， 又∵， ∴能得到“和谐点”； 【小问2详解】 解：不可以，理由： 是和谐点， ，m，n为正实数， ， 当m为正整数时，， ， 不为正整数， 不可以都为正整数； 【小问3详解】 解：由已知可得，m、n为正实数， ， ， 和谐点， 和谐点P在直线上， 点B、C是和谐点， ∴点B、C都在直线上， 在直线上， ， ， 又M在上，且B在线段上， 点为与直线的交点，且点M在A点的右侧，如图所示： 联立方程， 解得， ∴点， 由勾股定理得， ， 作轴于点F，则， 直线与y轴交于点， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，新定义运算，勾股定理，解题的关键是理解题意，熟练掌握新定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期末适应性练习数学试卷 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，3， B. 1，2， C. 2，3，4 D. 4，5，6 3. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 矩形的对角线平分一组对角 C. 矩形的邻边一定不相等 D. 矩形的邻边互相垂直 5. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 鞋店老板去进货时，他必须了解近期各种尺码的鞋销售情况，他应该最关心统计量中的（　　） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 7. 中，点D，E分别是边的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系： 那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知平行四边形，点F在边上，利用尺规作图得到以为边的菱形，下列符合要求的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 已知点都在直线上，若，则k的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：=______． 12. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”） 13. 在校园艺术节的合唱比赛中，10位评委给某班的评分如下表所示，则成绩的中位数是_____． 成绩（分） 人数 3 2 3 1 1 14. 直线过点，值为_____． 15. 如图，用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义，“冲浪小组”用边长为的正方形制作七巧板（图1），拼出了如图2所示的“一只飞舞的蝴蝶”，寓意着“自由与追求”，图2中阴影部分的面积为______． 16. 如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，且，点F在边上．将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接和．当线段取最小值时的面积是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知：如图，在平行四边形中，点分别在和上，且．求证：． 19. 已知一次函数的图象过点与． （1）在所给的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； （2）求该一次函数的解析式． 20. 为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 组中值 频数（苹果树数量） 35 b 45 3 a 7 65 5 75 2 85 1 （1）______，______； （2）求抽取的这20棵苹果树的平均产量． 21. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 22. 为了丰富校园社团活动，某学校计划采购一批乐器．已知购买3把吉他和2架电子琴共需2800元；购买1把吉他和1架电子琴共需1200元． （1）求吉他和电子琴两种乐器的单价； （2）若学校准备购买若干把吉他和若干架电子琴，总数量为40，且电子琴数量不少于吉他数量的倍．设购买吉他a把，两种乐器所需总费用为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出总费用的最小值． 23. 如图所示，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点F，连接，若，求的长． 24. 某工厂生产一款多功能桌子，每张桌子包含一张等边三角形桌面和活动桌脚，使用时可以根据实际需要选取不同数量的桌子进行组合．图1是一张桌面的平面示意图，其边长为．为了存放桌面，工厂同时需要设计长方体储物箱，储物箱每层恰好平放6张桌面，桌面间互不重叠． （1）图2和图3分别是甲、乙两个设计方案中储物箱任意一层的平面示意图（图中6个等边三角形放置后无法滑动），矩形和矩形的面积分别记作和，则______； （2）小明设计了一个新的方案，其任意一层的平面示意图如图4所示，矩形被隔板分割成6个正方形（隔板的厚度忽略不计），每个正方形内恰好放下一个等边三角形．小明发现线段被直线垂直平分，由此计算出他的方案比甲、乙两个方案的任意一层面积更小，更省材料．你认为小明关于“线段被直线垂直平分”和“面积更小”的两个判断是否正确？请逐一说明理由．（图5是矩形中分割出来的一个正方形和一个等边三角形桌面的示意图，桌面的顶点A，B分别在边上，桌面的顶点C与正方形顶点重合．） 25. 当m，n是正实数，且满足时，就称点为“和谐点”．例如，当时，因为，又，则点是“和谐点”． （1）对于①和②能得到“和谐点”的是______（填写序号）； （2）“和谐点”中的m，n是否可以都为正整数？请说明理由； （3）已知点与点M都在直线上，点B，C都是“和谐点”，且点B在线段上．若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $