第3章 代数式（5个知识点+17个考点讲练+中考真题演练+培优训练 共71题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上学期暑假衔接章节高频考点分类培优讲练

第3章 代数式 （5个知识点+17个考点讲练+中考真题演练+培优训练 共71题） 知识梳理 强化基础 2 知识点梳理01：同类项 2 知识点梳理02：合并同类项 2 知识点梳理03：去括号法则 3 知识点梳理04：添括号法则 3 知识点梳理05：整式的加减运算法则 3 高频考点 逐一攻克 4 考点训练01：用字母表示数 4 考点训练02：代数式表示的实际意义 5 考点训练03：已知字母的值，求代数式的值 7 考点训练04：已知式子的值，求代数式的值 10 考点训练05：程序流程图与代数式求值 13 考点训练06：用代数式表示式、图形的规律 15 考点训练07：已知同类项求指数中字母或代数式的值 18 考点训练08：整式的加减运算 21 考点训练09：整式的加减运算中的化简求值 25 考点训练10：整式的加减运算中的无关型问题 27 考点训练11：整式加减的应用 30 考点训练12：写出满足某些特征的单项式 33 考点训练13：多项式系数、指数中的字母求值 35 考点训练14：将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 37 考点训练15：数字类规律探索 41 考点训练16：图形类规律探索 44 考点训练17：带有字母的绝对值化简问题 48 中考真题 实战演练 50 优选题型 突破自我 53 知识点梳理01：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点梳理02：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【要点提示】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点梳理03：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【要点提示】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点梳理04：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【要点提示】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点梳理05：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【要点提示】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 考点训练01：用字母表示数 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）下面各题中的两种量成反比例关系的是（   ） A．平行四边形的面积一定，它的底与相对应的高 B．《指导丛书》的单价一定，订购的总价与订购的数量 C．书的总页数一定，已读的页数与未读的页数 D．汽车行驶的速度一定，它的路程和时间 【答案】A 【思路引导】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．据此判断即可． 【规范解答】解：A．∵平行四边形的面积底高， ∴平行四边形的面积一定，它的底与相对应的高的乘积是一定，即它的底与相对应的高成反比例，故此选项符合题意； B．∵单价总价数量， ∴《指导丛书》的单价一定，订购的总价与订购的数量是定值，故此选项不符合题意； C．∵书的总页数一定， ∴已读的页数与未读的页数的和是定值，故此选项不符合题意； D．∵速度路程时间， ∴汽车行驶的速度一定，它的路程和时间的比是定值，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下面各数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度 B．购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的费用与铅笔的费用 C．圆的周长和它的半径 D．运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数 【答案】D 【思路引导】此题属于辨识成正、反比例的量判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：A、汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度成正比例． B、购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的费用与铅笔的费用的和一定，故不成比例； C、圆的周长和它的半径成正比例； D、运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数成反比例； 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 考点训练02：代数式表示的实际意义 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【思路引导】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【规范解答】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． 5．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式表示的意义，下列说法正确的是（   ） A．若表示一支铅笔的价格，表示一块橡皮的价格，则代数式表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱 B．若长方形的长为，宽为8，正方形的边长为，则代数式表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差 C．汽车每小时行驶千米，火车每小时行驶千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数 D．小米每千克元，大米每千克元，则代数式表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数 【答案】C 【思路引导】本题考查代数式的意义，理解代数式的意义是解题关键．根据代数式表示实际意义的方法逐项判断即可． 【规范解答】解：A、若x表示一支铅笔的价格，y表示一块橡皮的价格，则代数式表示8只铅笔比3块橡皮多花了多少钱，故本选项错误； B、若x表示长方形的长，8表示长方形的宽，y表示正方形的边长，则代数式表示一个长方形的面积与1个正方形的三边长的差，故本选项错误； C、汽车每小时行驶x千米，火车每小时行驶y千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数，故本选项正确； D、小米每千克x元，大米每千克y元，则代数式表示为买8千克小米比买3千克大米多花的钱数，故本选项错误． 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列代数式，找出正确的等量关系是解题的关键．首先设第三只猴子分过后每份桃子有个，再根据题意分别表示出第二只猴子所分的桃子，第一只猴子所分的桃子，最后根据桃子的数量为正整数取值即可． 【规范解答】设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个， 第二只猴子所分的桃子有个，即个， 第一只猴子所分的桃子有个，即个， ， 且和均为正整数， 为正整数， 是的倍数， 的最小值为， 当时，， 桃子至少有个， 故答案为：． 考点训练03：已知字母的值，求代数式的值 7．（24-25七年级上·河南商丘·期中）金秋十月，又到了食蟹的好季节啦！某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的优惠；超过200千克的按零售价的优惠．B家的规定如表： 数量范围 （千克） 部分 （含） 50以上部分 （含150，不含） 150以上部分 （含250，不含） 250以上部分 （不含） 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 零售价的 (1)如果他批发80千克太湖蟹，则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元； (2)如果他批发x千克太湖蟹（），则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元用含x的代数式表示 (3)现在他要批发180千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由． 【答案】(1)；4380 (2)； (3)家优惠，见解析 【思路引导】本题考查代数式问题，关键是根据列代数式和求代数式的值以及数学实际问题中的方案设计及实惠问题解答． 根据A、B两家的优惠办法分别求出两家购买需要的费用就可以了． 根据题意列出式子分别表示出购买x千克太湖蟹所相应的费用就可以了． 当分别代入的表示A、B两家费用的两个式子，然后再比较其大小就可以． 【规范解答】（1）解：由题意，得： A：（元）， B：（元）． 故答案为：， （2）解：由题意，得 A：元， B：元 故答案为：， （3）解：当时， A：（元）， B：（元）， ， 家优惠． 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）用字母表示数，可以简洁明了地表达数量之间的关系，从而更有利于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②与两数平方和与，两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？ (4)利用你发现的结论：求的值． 【答案】(1)①；② (2)； (3) (4) 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式求值： （1）根据a、b的关系分别列式即可； （2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解； （3）根据计算结果相等写出等式； （4）利用（3）的等式进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：①依题意得：； ②依题意得：． （2）当时， ； ． （3）． （4） 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）铜钱纹因外形像古代的铜钱而得名，铜钱纹象征着财源广进，也奇托了古代人民对自己和家人能够平平安安的美好愿望．铜钱纹在中国古代的一些建筑、生活物品中都随处可见．如图1，图2．图3是把铜钱纹抽象成几何图形的样子，设正方形的边长为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积的值（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握正方形，圆，扇形的面积公式是解题的关键． （1）利用直径为的圆的面积减去中间空白部分的面积； （2）将a的值代入（1）中的代数式运算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解：当时， 考点训练04：已知式子的值，求代数式的值 10．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）现定义一种新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，若，那么的值为 ． 【答案】9 【思路引导】本题主要考查了定义新运算，代数式求值，理解新运算是解题的关键． 根据，，得到，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ∴ ． 故答案为：9． 11．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的代数式用记号的形式来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．例如时，代数式的值记为，则．根据上述材料，解答下面问题： 已知，且． (1)_____； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值．解决本题的关键是把的值代入代数式中进行计算求值． 把代入，可得，计算求出的值即可； 把代入，可得，整理可得； 把代入，可得，把代入，可得：原式，然后再把代入计算可得结果． 【规范解答】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 整理得：， ， 解得：； （3）解：， ， 解得：， ． 12．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 【答案】(1)2 (2)①2033；②或 【思路引导】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点表示数3，点在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可；②根据，得出，说明点B在点M的左侧或在点M处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点M的右侧，然后分两种情况求出a的值即可． 【规范解答】（1）解：∵，， 线段的长度为 ∴线段的中点C表示的数； 故答案为：2． （2）①∵点表示数3，点在线段上，且， ∴， 整理得：， ∴； ②∵， ∴， 当点B在点M的左侧或在点M处时，，当点P在点A处，点Q在点M处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于5， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点M的左侧或M处； 当点B在点M的右侧，点P在点A处，点Q在点M处时，最大，则此时， 解得：； 当点B在点M的右侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴， 综上分析可知：或． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的有关计算用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 考点训练05：程序流程图与代数式求值 13．（24-25七年级上·江西上饶·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了程序框图，代数式求值，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．根据题意可以先求出前几次输出结果，发现规律为：从第次开始，以，，，每次个数循环，进而可得次输出的结果，即可解题． 【规范解答】解：第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是1， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， ， 从第二次开始，每三次运算循环一次， ∵， ∴第2024次输出的结果是1， 故选：C． 14．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图按下面的程序计算，如输入的数为40，则输出的结果为122，要使输出的结果为32，则输入的正数的所有值是 ． 【答案】10，， 【思路引导】此题考查代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．由于代入计算出的值是，符合要求，所以即也可以理解成，把代入继续计算，得，依此类推就可求出10，，． 【规范解答】解：依题可列，， 把代入可得：，即也可以理解成， 把代入继续计算可得：， 把代入继续计算可得：， 把代入继续计算可得：，不符合题意，舍去． 满足条件的的不同值分别为10，，， 故答案为：10，，． 15．（23-24八年级下·山东德州·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是；若输入x的值是7，则输出y的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查了不等式与代数式的运算，熟悉掌握流程图是解题的关键． 根据流程图的含义，把把，代入求出的值，再把和的值代入运算即可． 【规范解答】解：由题意可得：把，代入可得：， 解得：， ∴当时，， 把代入可得：， 故选：A． 考点训练06：用代数式表示式、图形的规律 16．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点是线段AB上一点，，点是线段上一点，；点是线段上一点，，…，请借助所给的图形，计算的结果为 （n为正整数，用含n的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了两点间的距离、规律型一图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 根据题意寻找规律即可求解． 【规范解答】解：， ，； ∵， ∴，； ∵， ∴，；…， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河南周口·期中）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃．可以合成一系列衍生物．如图，这是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根小木棒……按此规律，第4个图形需要 根小木棒．第n个图形需要 根小木棒． 【答案】 【思路引导】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律． 通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加8根据此可求解． 【规范解答】∵第1个图形中木棒的根数为． 第2个图形中木棒的根数为． 第3个图形中木棒的根数为． 第4个图形中木棒的根数为， …… ∴第n个图形中木棒的根数为． 故答案为33，． 18．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块，……，按此照规律铺设下去． (1)每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 块，三角形地砖会增加 块； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，则共用去了 块正方形地砖， 块三角形地砖的数量（分别用含n的代数式表示）； (3)当时，求正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【答案】(1)5，4 (2)， (3)273块 【思路引导】本题考查了图形类规律探索、代数式的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1和图2中的正方形和三角形地砖的数量求解即可得； （2）求出用1、2、3块六边形地砖时，正方形和三角形地砖的数量，据此归纳类推出一般规律即可得； （3）将代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：5，4． （2）解：由题意可知，用1块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 用2块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 用3块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 归纳类推得：用去块六边形地砖时，则共用去了块正方形地砖，块三角形地砖的数量， 故答案为：，． （3）解：当时，正方形地砖的数量为（块），三角形地砖的数量为（块）， （块）， 答：正方形地砖和三角形地砖的总数量为273块． 考点训练07：已知同类项求指数中字母或代数式的值 19．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知关于的单项式与的和是单项式． (1)求的值； (2)已知其和（关于、的单项式）的系数是2，求． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．也考查了求代数式的值． （1）根据合并同类项和同类项的定义得到，然后求出，，后再利用乘方的意义计算代数式的值； （2）利用合并同类项得到，然后利用整体代入的方法和乘方的意义计算代数式的值． 【规范解答】（1）解：关于、的单项式与的和是单项式； ，解得，, ； （2）解：根据题意得， 所以原式． 20．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知与为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ______， ______，线段______； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长______； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值______（用含t的代数式表示） 【答案】(1)，20，30 (2)3或75 (3) 【思路引导】（1）根据同类项的定义求出a，b值，从而算出线段的长； （2）注意分情况讨论，①当点在之间时，如图1，②当点在右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论； （3）本题有两个动点和，根据速度和时间可得点表示的数为：，点表示的数为：，根据中点的定义得点和点表示的数，由得的长和点表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得最后的值． 【规范解答】（1）解：∵与为同类项， ∴，， ∴， ∴； （2）分两种情况： ①当点在之间时，如图1， ，， ， 点为的中点， ， ； ②当点在右侧时，如图2， ，， ， ， 综上，的长是3或75． 故答案为：3或75； （3）由题意得，点表示得数为：，点表示的数为：， ，， 点在线段之间， 为中点， 点表示的数为：， 是中点， 点表示的数为：， ，， ， 点表示的数为：， ， 的值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查同类项，数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）当，为何值时，多项式中存在同类项？并求出代数式的值． 【答案】，，的值为17或13 【思路引导】本题考查了同类项的定义和代数式求值．熟练掌握同类项的定义是解题的关键．两个单项式，如果它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，则称这两个单项式为同类项． 根据同类项的概念分类讨论，求出m、n的值，再求代数式的值即可． 【规范解答】解：若与是同类项， 则，， 解得，， ∴． 若与是同类项， 则，， 解得，， ∴． 综上，的值为17或13． 考点训练08：整式的加减运算 22．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若多项式是关于x，y的四次二项式，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】本题考查整式的加减运算，代数式求值，去括号，合并同类项后，根据多项式为关于x，y的四次二项式，求出的值，进而代入代数式进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ； ∵多项式是关于x，y的四次二项式， ∴， ∴， ∴ ． 23．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图2中表示出、、三点的位置； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求出的值． 【答案】(1)图见解析 (2)①3；②，，；③的值不随着时间的变化而变化，其值为12，理由见解析 【思路引导】本题考查了数轴、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质求出点表示的数，再在数轴上表示出它们的位置即可得； （2）①根据数轴的性质求解即可得； ②根据点的运动方向和速度，结合数轴的性质求解即可得； ③根据（2）②的结论可求出，再计算整式的加减即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由题意可知，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 则在图2中表示出三点的位置如下： ． （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1， ∴， 故答案为：3； ②∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； ③的值不随着时间的变化而变化，其值为24，理由如下： ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ， 所以在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化，其值为12． 24．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图1，数轴上点表示的数是，点表示的数是，点到点的距离记为，且的大小可以用数轴上位于右边的点表示的数减去位于左边的点表示的数，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中点位于原点左侧且距离原点3个单位长度，是最大的负整数，是整式的次数． (1)______，______，______． (2)若将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合． (3)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点H，Q分别从点B，C出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值． ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出的值． 【答案】(1)，， (2)3 (3)①14；②不改变，14 【思路引导】本题考查数轴上点表示的数． （1）根据数轴、负整数、整式的定义可得答案； （2）设B与表示数x的点重合，由折痕与数轴交点是重合两点组成的线段的中点列方程可得答案； （3）①先分别用含的代数式表示出点、点、点，即可得，，再将代入求解，即可得到答案； ②将，代入化简，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵位于原点左侧且距离原点3个单位长度，是最大的负整数，是整式的次数， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：设B与表示数x的点重合， ∵点A与点C重合， ∴折痕与数轴交点是的中点， ∴， 解得， ∴B与表示3的点重合； （3）解：①由题意，得点移动秒时表示的数是，点移动秒时表示的数是，点移动秒时表示的数是， ∴． 当时， ∴； ②的值不随着时间的变化而改变． 由（3）①可知，， ∴ ， ∴的值不随着时间的变化而改变，的值为14． 考点训练09：整式的加减运算中的化简求值 25．（24-25七年级上·北京·期中）整式计算 (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)15 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解：     ∵， ∴． 26．（24-25七年级上·福建宁德·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【思路引导】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将，代入计算即可得． 【规范解答】解：原式 ， 将，代入得：原式． 27．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）对于代数式． (1)当a，b为何值时，此式子的值与字母的取值无关？ (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）把所给代数式去括号， 然后合并同类项化简，再由式子的值与字母的取值无关得到含字母x的项的系数为0，据此求解即可； （2）把所给代数式去括号， 然后合并同类项化简，再根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 考点训练10：整式的加减运算中的无关型问题 28．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据，结合整式的加减计算法则求解即可； （2）根据，结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据题意的值与x的取值无关，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴          ； （2）解： ，      ∵当x取任意有理数，的值是一个定值， ∴的值与x的取值无关， ∵， ∴， ∴． 29．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知代数式． (1)若，求； (2)若（为常数），且与的和不含项，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把，代入计算即可； （2）根据题意得到，得出，求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， 根据题意得， ． 30．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【思路引导】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）①根据新定义直接代入化简即可； ②根据新定义的运算，将运算展开，从左往右一次作“”运算，得到，将代数式A代入即可； （2）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴当，，，时， ， ． 故答案为：；． ②∵， ∴当，，时， ． 故答案为： （2）解：∵由（1）同理可得，，， ∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 考点训练11：整式加减的应用 31．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，是对称式． 【思路引导】本题是新定义问题，考查了整式的加法运算，灵活运用的能力，关键是读懂材料． （1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及题目的要求即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得A+2B，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【规范解答】（1）解：根据加法交换律知，，故它是对称式；同理，，故也是对称式；但中字母a、b交换后变为，； 故它不是对称式； 故答案为：①③； （2）解：由题意得：所要求的对称式为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴ ； 它是对称式． 32．（23-24七年级上·广西贵港·期中）阅读理解学习： 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位谓，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是_______________（填序号即可）； ①；②；③；④ 【能力提升】 （1）请直接写出一个只含有字母的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； （2）已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】【理解判断】①④；【能力提升】（1）(答案不唯一)；（2）不是对称式 【思路引导】本题考查了整式的加减，新定义，正确理解对称式的定义是解题的关键． 理解判断：根据对称式的定义判断这四个代数式是否为对称式即可； 能力提升：（1）只要是的次数是的次数是4的单项式就可以； （2）先根据整式的运算法则算出结果，再判断结果是否为对称式即可． 【规范解答】解：理解判断： ①在中，交换两个字母的位置，代数式的值不变，故是对称式； ②在中，交换两个字母的位置得，当时，，故不是对称式； ③在中，交换两个字母的位置得，当时，，故不是对称式； ④在中，任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，故是对称式； 故答案为：①④； 能力提升：（1）因为只含有字母的单项式，单项式是对称式，且次数为8次， 所以，这个单项式可为：(答案不唯一)； （2）∵， 不是对称式． 不是对称式． 33．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①④ (2)（答案不唯一） (3)，是对称式 【思路引导】本题主要考查了整式的加减，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）根据对称式定义逐个判断即可； （2）按照要求写出一个符合要求的式子即可； （3）先将代入计算，再根据对称式的定义判断即可得答案． 【规范解答】（1）解：根据对称式的定义可知：、是对称式，、、不是对称式． 故答案为：①④． （2）解：∵只含有字母m，n，单项式是对称式，且次数为8， ∴单项式可以是：（答案不唯一）． （3）解：∵， ∴ ， ． 由根据对称式的定义可知，是对称式， ∴是对称式． 考点训练12：写出满足某些特征的单项式 34．（24-25七年级上·云南·期中）观察下列按一定规律排列的个代数式：，，，，…，按照上述规律，第个代数式是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查数字变化的规律及单项式，根据所给代数式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：由题知， 所给代数式的系数依次为：，，，，…， ∴第个代数式的系数为：； 所给代数式的次数依次为：，，，，…， ∴第个代数式的次数为：， ∴第个代数式可表示为：， 当时，第个代数式是：． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·四川自贡·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题为单项式规律题．理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键．根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第n个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答． 【规范解答】解：单项式的次数为：2，，10，，26，， …第n个单项式的系数为：， ∴第100个单项式的系数为：， 单项式的次数为：3，5，7，9，11， ∴ 单项式的次数为：， ∴第100个单项式的次数为， 故第100个单项式是， 故选：D． 36．（24-25七年级上·河北邢台·期中）观察下列单项式的规律：，，，，…．照此规律，第6个单项式为 ，第个单项式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了单项式规律探究，根据符号的规律：为奇数时，单项式为负号，为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．字母都是，的指数都是，的指数是从开始的连续的整数，据此即可求解． 【规范解答】解：，，，，…，． 照此规律，第6个单项式为，第个单项式为． 故答案为：；． 考点训练13：多项式系数、指数中的字母求值 37．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． 根据题意，得出，由相同项的系数相等得出a，b，c，d的值，然后再分别代入计算即可． 【规范解答】解：∵（a、b是常数）与恒等， ∴ ∴，，，， ∴． 故答案为：． 38．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于，的六次四项式． (1)求的值； (2)将多项式按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了多项式． （1）根据题意得出，，求出m、n的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，按的升幂重新排列即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵多项式是关于，的六次四项式， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 将多项式按的升幂排列为： ． 39．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】 【思路引导】先解含有字母参数a的一元一次方程，求出x，然后再根据方程有整数解，列出关于a的方程，解方程求出a，最后根据关于y的多项式为三次四项式求出符合条件的所有整数a的值，再相加计算即可． 【规范解答】解： ， ∵关于x的方程有整数解， ∴或或或， 解得或或或或或或或， 又∵关于y的多项式为三次四项式， ∴， 解得， ∴所有符合条件的整数a为－1，，， ∴它们的和为， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了多项式和解一元一次方程，解题关键是根据一元一次方程解的定义和条件求出a． 考点训练14：将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 40．（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了运用数轴比较大小，整式加减中的无关型问题，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，据此相关内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：由数轴得， ∴， 故①说法错误的； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故②说法正确的； 将多项式按b的升幂排列是； 故③说法正确的； ∵多项式化简后不含项， ∴， ∴， 故④说法错误的； 故选：B． 41．（2024七年级上·辽宁·专题练习）在学习正整数的加减运算时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，比如计算就可以列竖式如下： 根据上述阅读材料，解决下列问题： 已知：，． (1)将A按照x的降幂进行排列是________________________； (2)仿照上面的方法列竖式计算； (3)小丽说也可以用类似方法列竖式计算，请你试试看； (4)请写一个式子________，使其与B的和是二次单项式． 【答案】(1) (2) (3) (4)（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据降幂排列的定义即可求解； （2）根据整式的加减运算法则即可求出答案； （3）根据整式的加减运算法则即可求出答案； （4）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【规范解答】（1）解：， 将按的降幂排列是：， 故答案为：； （2）， 如图： ∴； （3）， 如图： ； （4）不唯一，如 令， ， 与的和是二次单项式， ，，，， ，，，， 故答案为：(答案不唯一) 42．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或 【思路引导】本题主要考查了多项式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次多项式． （1）将代入多项式，再根据多项式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的多项式求值即可； （3）根据齐次多项式的定义，由多项式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分两种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原多项式，并把该多项式按x的升幂排列即可． 【规范解答】（1）解：当时，该多项式为，此时该多项式是一个四次三项式，所以该多项式的次数为4，一次项为， 故答案为：4，； （2）解：当时，该多项式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该多项式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该多项式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该多项式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时，此时多项式为， 即， 所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ②当为六次项，时， 此时多项式为， 即，所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为． 考点训练15：数字类规律探索 43．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为，结果输出的是，返回进行第二次运算则输出的是，则 （1）第次输出的结果是 ； （2）第次输出的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字的变化类、求代数式的值，根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第次输出的结果，本题得以解决．解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，写出所求次数的输出结果． 【规范解答】解：由题意可得， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， …， 由上可得，从第二次输出结果开始，以，，，，，依次循环出现， ∵， ∴第次输出的结果是． 故答案为：；． 44．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，，，…， (1)你发现规律了吗？下一个式子应该是： ． (2)利用你发现的规律，计算： ． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是关键． （1）根据题干所给的式子找出规律即可求解； （2）把每一项分裂成两个数的差，从而使相反数的项互相抵消，使运算简化． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴下一个式子应该是， 故答案为：； （2）原式 ． 45．（24-25七年级上·山东日照·期末）观察下面三行数： 2、、8、、32、．① 1、、4、、16、．② 0、6、、18、、66．③ 取每一行的第个数，依次记为a，b，c．例如图中，当时，，，． (1)当时，_________，________； (2)是否存在某一列的三个数使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；2048，11 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给三行数，发现每行数字的变化规律是解题的关键. （1）根据所给三行数，发现每行数字的变化规律，据此表示出第几个数即可解决问题. （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题. 【规范解答】（1）观察第①行数可知， 后一个数总是前一个数的倍，且第个数是， 所以第①行的第个数可表示为：，即． 观察第②行数可知， 第②行的每一个数是第①行相应位置数的， 所以第②行的第个数可表示为：， 即． 观察第③行数可知， 第③行的每一个数是第①行相应位置数减去后的相反数， 所以第③行的第个数可表示为：， 即． 所以当时， ； ； ． 故答案为：；， （2）存在： 由得， ， 当为奇数时， ， 解得； 当为偶数时， ， 此方程无解， 所以的值为11． 所以． 考点训练16：图形类规律探索 46．（24-25七年级上·河南郑州·期末）七年级某班学生在学习了问题解决策略专题后，某数学小组经讨论组织了一次解决问题活动，经历了如下过程：将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在上面三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有4个，图2中共有_____个，图3中共有_____个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第4个图形中，共有标准小等边三角形的个数为______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，猜想第n个图形中，共有标准小等边三角形的个数为______个，是否存在一个图形中标准小等边三角形的个数为100个的情况？如果存在是第几个图形？如果不存在，说明理由． 【答案】（1）9，；（2）；（3）；存在一个图形中标准小等边三角形的个数为个的情况，是第个图形 【思路引导】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）根据图形求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据题意推导一般性规律，然后求解作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，图1中共有4个，图2中共有9个，图3中共有个； 故答案为：，； （2）解：由题意知，第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为（个），   故答案为：； （3）解：∵图1中共有 个， 图2中共有个， 图3中共有个； 图4中共有个； …… ∴图中共有个， 依题意得，， 解得：（负值舍去）， ∴存在一个图形中标准小等边三角形的个数为个的情况，是第个图形； 故答案为：． 47．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，）是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离，，准确分析计算是解题的关键．根据题意得出表示的数为，则点表示的数为，在得出的中点表示的数为9，即可解答． 【规范解答】解：根据题意可得： ∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， …… 表示的数为， ∴经过这样2023次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， 故选：D． 48．（24-25七年级上·山西晋中·期末）据统计，2023年，山西新增公路通车里程公里，年末公路通车里程万公里，其中高速公路公里．根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含________个C原子； （2）图的分子中含________个C原子； 【规律运用】 （3）若图和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 【答案】（1）28；（2）；（3）19． 【思路引导】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现C原子的个数依次增加6是解题的关键； （1）根据所给结构简式，发现C原子个数的规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题； 【规范解答】解：（1）由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）的分子中含C原子的个数为∶， 图（2）的分子中含C原子的个数为∶， 图（3）的分子中含C原子的个数为∶， 所以图的分子中含C原子的个数为个， 当时， (个)， 即图（4）的分子中含C原子的个数为28个， 故答案为：28． （2）由（1）知， 图的分子中含C原子的个数为个， 故答案为：． （3）根据规律可知， ， 解得：． 考点训练17：带有字母的绝对值化简问题 49．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 【答案】(1)和的零点值分别是和 (2)当时，；当时，；当时， (3)整数解为，，，，，， 【思路引导】本题考查了化简含有绝对值的代数式，解题的关键是理解材料内容； （1）根据材料例题进行操作即可； （2）利用分内讨论的思想，当时；当时，；当时，进行讨论； （3）先求出，再取整数解即可． 【规范解答】（1）解：， ，， 和； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； （3）解：， ， 整数解为：，，，，，，． 50．（24-25七年级上·四川成都·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，，，然后去掉绝对值合并解题，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【规范解答】解：根据数轴上点的位置可得，， ∴，，， ∴， 故答案为：3． 51．（24-25七年级上·四川南充·期中）如图有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2024 【思路引导】本题考查了数轴的意义，利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减等，熟练的以上知识是解题的关键． （1）根据数轴上数的表示可知，左边的数都小于右边的数，从图中可以得出，所以三个数的大小即可比较出来； （2）根据a，b，c的位置得到，然后把绝对值去掉化简可得，代入所求代数式求值即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，， ； （2）解：由数轴可知，， ， ， ． 【真题演练1】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【思路引导】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【规范解答】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 【真题演练2】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【思路引导】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【规范解答】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 【真题演练3】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 【真题演练4】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【思路引导】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【规范解答】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 【真题演练5】（2023·四川·中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．    【答案】 【思路引导】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解． 【规范解答】解：根据规律可得第七行的规律为 第八行的规律为 ∴根据规律第八行从左到右第三个数为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 一、选择题 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，运用整式的加减运算顺序，先去括号，再整理得，最后已知条件代入即可． 【规范解答】解：，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 【答案】D 【思路引导】本题考查了数字类变化规律，根据题意得出规律：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位，从而通过计算即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意可知被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位． ， ∴2025应在D位， 故选：D． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图是2022年1月份的月历．带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，平移“7”字型框，则的最大值为（    ） A．92 B．88 C．84 D．80 【答案】C 【思路引导】本题考查的是整式加减的应用．解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 设“7”字型框中最小的数为，则另外三个数分别为， 利用，可求出t的最大值． 【规范解答】解：设“7”字型框中最小的数为，则另外三个数分别为， 所以， 当时，有最大值为． 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值的化简，有理数的乘法，根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它相反数化简即可． 【规范解答】解：当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 故选：C． 5．（24-25七年级上·山东滨州·期末）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，；④当，，（，m为整数）时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的化简，数字类规律探索，解一元一次方程，正确理解题意，探究数字类规律是解题的关键． 对于①，根据题意，先求，再求即可； 对于②，根据题意，分别求，，，，，，的值，再求和即可； 对于③，根据题意列方程即可求解； 对于④，分别求，，，，，的值，再对所求代数式分析数字规律，根据规律即可求得答案． 【规范解答】当，时， ， ， ①错误； 当，时， ， ， ， ， ， ， ②正确； 当，，时， ， ， 解得或， ③错误； 当，，（，m为整数）时， ， ， ， ， 依次规律，可得， ④正确； 正确的结论个数有2个． 故选：B． 二、填空题 6．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 【答案】 否 【思路引导】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【规范解答】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①若满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数，，满足，则， 其中正确的是有 （填序号）． 【答案】②③ 【思路引导】本题考查了绝对值，关键是熟悉①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．如果用字母表示有理数，则数 绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．依此即可求解． 【规范解答】解：①若满足，则， 则， 当时，， 故①的说法是错误的； ②若，则， ∴， 故②的说法是正确的； ③当时，分四种情况讨论： 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 故③的说法是正确的； ④当、、三个都是正数时，则，不符合题意； 当、、有两个正数，一个负数时，不妨设、为正，则， ； 当、、有两个负数，一个正数时，不妨设、为负，则，不符合题意； 当、、三个都是负数时，则，不符合题意； 当三个有理数，，满足，则， 故④的说法是错误的； 故答案为：②③ 8．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可得第1个图形中有朵梅花，第2个图形中有朵梅花，第3个图形中有朵梅花，第4个图形中有朵梅花，据此归纳类推出一般规律即可得． 【规范解答】解：由图可知，第1个图形中含有的梅花朵数是， 第2个图形中含有的梅花朵数是， 第3个图形中含有的梅花朵数是， 第4个图形中含有的梅花朵数是， 归纳类推得：第个图形中含有的梅花朵数是，（其中为正整数） 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中，正确的是 （填序号）． ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【思路引导】此题考查了数轴，整式的加减混合运算，绝对值的性质，观察数轴得到，且是解题的关键． 观察数轴得：，且，可得，故①正确；，故②错误；由得到，故③错误；故④正确，即可． 【规范解答】解：观察数轴得：，且， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴，即，故③错误； ∴，， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 【答案】 1 【思路引导】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，读懂题意寻找规律，利用规律计算，得到的规律写出含有绝对值的等式，逐一分析得到规律，即可解答，解题的关键是掌握绝对值的意义，得到规律 【规范解答】解：和关于1的“单位数”， ， 当都小于等于1时，可得， 可得， 当都大于1时，可得， 可得， 当时，由于， 可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为， 同理当时，相加最小值为1， 故有最小值1； 由题意可知：， 同理可得的最小值为3； 同理可得的最小值为7， 同理可得的最小值； 同理可得的最小值； ； 同理可得的最小值； 的最小值：． 故答案为：1；． 三、解答题 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【思路引导】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【规范解答】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 12．（24-25七年级上·河南商丘·期中）（1）例：代数式表示a、b两数和的平方：仿照上例填空：代数式表示 ．代数式表示 ． （2）试计算a、b取不同数值时，及的值，填入下表： （3）我的发现： ． （4）用你发现的规律计算： a、b的值 当，时 当，时 当，时 【答案】（1）、b两数平方的差；a、b两数的和与两数的差的积；（2）24，12，；24，12，；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了求代数式的值，用语言描述代数式； （1）根据代数式中所含的运算描述，注意运算顺序； （2）求出代数式的值并填入表中即可； （3）根据表中求得的值即可得到； （4）利用（3）中的规律计算即可． 【规范解答】解：（1）代数式表示、b两数平方的差；代数式表示a、b两数的和与两数的差的积； 故答案为：、b两数平方的差；a、b两数的和与两数的差的积； （2）填表如下： a、b的值 当，时 当，时 当，时 24 12 24 12 故答案为：24，12，，24，12，； （3）由上述计算知，有； 故答案为：； （4）： ． 13．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）代数式是表示数量变化规律的重要形式.一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … … … … … … … … 【初步感知】 （）根据表中信息可知：_____，_____； 【归纳规律】 （）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就随之增加．类似的，的值随着的变化而变化的规律是：_____； 【计算验证】 （）当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【应用迁移】 （）观察表格，下列结论正确的序号是_____． ①当时，；②当时，； ③当时，；④当时，． 【答案】（），；（）的值每增加，的值就减少；（）当，的值从增加到时，关于的代数式的值增加；当，的值从增加到时，关于的代数式的值减少，理由见解析；（）①③④ 【思路引导】（）把和分别代入和计算即可求解； （）根据表格数据找出变化规律即可； （）由，分和两种情况即可求解； （）根据表格数据逐项判断即可求解； 本题考查了代数式求值，代数式的应用，整式的运算，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：（）当时，， ∴； 当时，， ∴； 故答案为：，； （）的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就减少， 故答案为：的值每增加，的值就减少； （）∵， ∴当，的值从增加到时，关于的代数式的值增加；当，的值从增加到时，关于的代数式的值减少； （）①当时，由表格得，， ∴，故①正确； ②当时，由表格得，， ∴，故②错误； ③当时，由表格得，，， ∴， ∴，故③正确； ④由表格得，当时，故④正确； 综上，结论正确的序号是①③④， 故答案为：①③④． 15．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，理由见解析 【思路引导】（1）根据两点之间的距离公式即可计算出的长； （2）设点表示的数是，根据，点表示的数为，结合题意即可列出关于的一元一次方程，解方程即可求出点表示的数； （3）分别求出与的长，再计算它们的差，然后根据结果进行判断即可． 【规范解答】（1）解：， 线段的长度是； （2）解：设点表示的数是， 点表示的数为，， 或， 解得：或， 点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意可得： ， ， ， 结果是一个定值，与的取值无关， 的值不会随着的变化而变化， 答：的值不会随着t的变化而变化． 【考点剖析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数， 数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，弄清题意，运用数形结合思想并正确列式计算是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 代数式 （5个知识点+17个考点讲练+中考真题演练+培优训练 共71题） 知识梳理 强化基础 2 知识点梳理01：同类项 2 知识点梳理02：合并同类项 2 知识点梳理03：去括号法则 3 知识点梳理04：添括号法则 3 知识点梳理05：整式的加减运算法则 3 高频考点 逐一攻克 4 考点训练01：用字母表示数 4 考点训练02：代数式表示的实际意义 4 考点训练03：已知字母的值，求代数式的值 5 考点训练04：已知式子的值，求代数式的值 7 考点训练05：程序流程图与代数式求值 8 考点训练06：用代数式表示式、图形的规律 8 考点训练07：已知同类项求指数中字母或代数式的值 9 考点训练08：整式的加减运算 10 考点训练09：整式的加减运算中的化简求值 12 考点训练10：整式的加减运算中的无关型问题 13 考点训练11：整式加减的应用 14 考点训练12：写出满足某些特征的单项式 16 考点训练13：多项式系数、指数中的字母求值 16 考点训练14：将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 17 考点训练15：数字类规律探索 18 考点训练16：图形类规律探索 19 考点训练17：带有字母的绝对值化简问题 20 中考真题 实战演练 21 优选题型 突破自我 23 知识点梳理01：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点梳理02：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【要点提示】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点梳理03：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【要点提示】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点梳理04：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【要点提示】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点梳理05：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【要点提示】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 考点训练01：用字母表示数 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）下面各题中的两种量成反比例关系的是（   ） A．平行四边形的面积一定，它的底与相对应的高 B．《指导丛书》的单价一定，订购的总价与订购的数量 C．书的总页数一定，已读的页数与未读的页数 D．汽车行驶的速度一定，它的路程和时间 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下面各数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度 B．购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的费用与铅笔的费用 C．圆的周长和它的半径 D．运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数 3．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 考点训练02：代数式表示的实际意义 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 5．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式表示的意义，下列说法正确的是（   ） A．若表示一支铅笔的价格，表示一块橡皮的价格，则代数式表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱 B．若长方形的长为，宽为8，正方形的边长为，则代数式表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差 C．汽车每小时行驶千米，火车每小时行驶千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数 D．小米每千克元，大米每千克元，则代数式表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个． 考点训练03：已知字母的值，求代数式的值 7．（24-25七年级上·河南商丘·期中）金秋十月，又到了食蟹的好季节啦！某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的优惠；超过200千克的按零售价的优惠．B家的规定如表： 数量范围 （千克） 部分 （含） 50以上部分 （含150，不含） 150以上部分 （含250，不含） 250以上部分 （不含） 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 零售价的 (1)如果他批发80千克太湖蟹，则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元； (2)如果他批发x千克太湖蟹（），则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元用含x的代数式表示 (3)现在他要批发180千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由． 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）用字母表示数，可以简洁明了地表达数量之间的关系，从而更有利于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②与两数平方和与，两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？ (4)利用你发现的结论：求的值． 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）铜钱纹因外形像古代的铜钱而得名，铜钱纹象征着财源广进，也奇托了古代人民对自己和家人能够平平安安的美好愿望．铜钱纹在中国古代的一些建筑、生活物品中都随处可见．如图1，图2．图3是把铜钱纹抽象成几何图形的样子，设正方形的边长为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积的值（结果保留）． 考点训练04：已知式子的值，求代数式的值 10．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）现定义一种新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，若，那么的值为 ． 11．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的代数式用记号的形式来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．例如时，代数式的值记为，则．根据上述材料，解答下面问题： 已知，且． (1)_____； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 12．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 考点训练05：程序流程图与代数式求值 13．（24-25七年级上·江西上饶·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（   ） A． B． C．1 D．4 14．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图按下面的程序计算，如输入的数为40，则输出的结果为122，要使输出的结果为32，则输入的正数的所有值是 ． 15．（23-24八年级下·山东德州·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是；若输入x的值是7，则输出y的值是（    ） A． B． C．0 D．1 考点训练06：用代数式表示式、图形的规律 16．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点是线段AB上一点，，点是线段上一点，；点是线段上一点，，…，请借助所给的图形，计算的结果为 （n为正整数，用含n的代数式表示） 17．（24-25七年级上·河南周口·期中）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃．可以合成一系列衍生物．如图，这是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根小木棒……按此规律，第4个图形需要 根小木棒．第n个图形需要 根小木棒． 18．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块，……，按此照规律铺设下去． (1)每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 块，三角形地砖会增加 块； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，则共用去了 块正方形地砖， 块三角形地砖的数量（分别用含n的代数式表示）； (3)当时，求正方形地砖和三角形地砖的总数量． 考点训练07：已知同类项求指数中字母或代数式的值 19．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知关于的单项式与的和是单项式． (1)求的值； (2)已知其和（关于、的单项式）的系数是2，求． 20．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知与为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ______， ______，线段______； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长______； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值______（用含t的代数式表示） 21． （2024七年级上·全国·专题练习）当，为何值时，多项式 中存在同类项？并求出代数式的值． 考点训练08：整式的加减运算 22． （24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若多项式是关于x，y的四次二项式，求代数式的值． 23．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图2中表示出、、三点的位置； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求出的值． 24．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图1，数轴上点表示的数是，点表示的数是，点到点的距离记为，且的大小可以用数轴上位于右边的点表示的数减去位于左边的点表示的数，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中点位于原点左侧且距离原点3个单位长度，是最大的负整数，是整式的次数． (1)______，______，______． (2)若将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合． (3)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点H，Q分别从点B，C出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值． ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出的值． 考点训练09：整式的加减运算中的化简求值 25．（24-25七年级上·北京·期中）整式计算 (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，求代数式的值． 26． （24-25七年级上·福建宁德·期中）先化简，再求值：，其中，． 27．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）对于代数式． (1)当a，b为何值时，此式子的值与字母的取值无关？ (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 考点训练10：整式的加减运算中的无关型问题 28．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 29．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知代数式． (1)若，求； (2)若（为常数），且与的和不含项，求的值． 30．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2) 当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 考点训练11：整式加减的应用 31．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 32．（23-24七年级上·广西贵港·期中）阅读理解学习： 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位谓，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是_______________（填序号即可）； ①；②；③；④ 【能力提升】 （1）请直接写出一个只含有字母的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； （2）已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 33．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 考点训练12：写出满足某些特征的单项式 34．（24-25七年级上·云南·期中）观察下列按一定规律排列的个代数式：，，，，…，按照上述规律，第个代数式是 ． 35．（24-25八年级上·四川自贡·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级上·河北邢台·期中）观察下列单项式的规律：，，，，…．照此规律，第6个单项式为 ，第个单项式为 ． 考点训练13：多项式系数、指数中的字母求值 37．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 38．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于，的六次四项式． (1)求的值； (2)将多项式按的升幂排列． 39．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 ． 考点训练14：将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 40．（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（2024七年级上·辽宁·专题练习）在学习正整数的加减运算时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，比如计算就可以列竖式如下： 根据上述阅读材料，解决下列问题： 已知：，． (1)将A按照x的降幂进行排列是________________________； (2)仿照上面的方法列竖式计算； (3)小丽说也可以用类似方法列竖式计算，请你试试看； (4)请写一个式子________，使其与B的和是二次单项式． 42．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 考点训练15：数字类规律探索 43．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为，结果输出的是，返回进行第二次运算则输出的是，则 （1）第次输出的结果是 ； （2）第次输出的结果是 ． 44．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，，，…， (1)你发现规律了吗？下一个式子应该是： ． (2)利用你发现的规律，计算： ． 45．（24-25七年级上·山东日照·期末）观察下面三行数： 2、、8、、32、．① 1、、4、、16、．② 0、6、、18、、66．③ 取每一行的第个数，依次记为a，b，c．例如图中，当时，，，． (1)当时，_________，________； (2)是否存在某一列的三个数使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 考点训练16：图形类规律探索 46．（24-25七年级上·河南郑州·期末）七年级某班学生在学习了问题解决策略专题后，某数学小组经讨论组织了一次解决问题活动，经历了如下过程：将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在上面三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有4个，图2中共有_____个，图3中共有_____个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第4个图形中，共有标准小等边三角形的个数为______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，猜想第n个图形中，共有标准小等边三角形的个数为______个，是否存在一个图形中标准小等边三角形的个数为100个的情况？如果存在是第几个图形？如果不存在，说明理由． 47．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，）是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级上·山西晋中·期末）据统计，2023年，山西新增公路通车里程公里，年末公路通车里程万公里，其中高速公路公里．根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含________个C原子； （2）图的分子中含________个C原子； 【规律运用】 （3） 若图和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 考点训练17：带有字母的绝对值化简问题 49．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 50．（24-25七年级上·四川成都·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 51．（24-25七年级上·四川南充·期中）如图有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，求的值． 【真题演练1】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【真题演练2】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【真题演练3】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【真题演练4】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【真题演练5】（2023·四川·中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．    一、选择题 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图是2022年1月份的月历．带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，平移“7”字型框，则的最大值为（    ） A．92 B．88 C．84 D．80 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 5．（24-25七年级上·山东滨州·期末）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，；④当，，（，m为整数）时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①若满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数，，满足，则， 其中正确的是有 （填序号）． 8．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中，正确的是 （填序号）． ①；②；③；④ 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 三、解答题 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 12．（24-25七年级上·河南商丘·期中）（1）例：代数式表示a、b两数和的平方：仿照上例填空：代数式表示 ．代数式表示 ． （2）试计算a、b取不同数值时，及的值，填入下表： （3）我的发现： ． （4）用你发现的规律计算： a、b的值 当，时 当，时 当，时 13．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）代数式是表示数量变化规律的重要形式.一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … … … … … … … … 【初步感知】 （）根据表中信息可知：_____，_____； 【归纳规律】 （）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就随之增加．类似的，的值随着的变化而变化的规律是：_____； 【计算验证】 （）当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【应用迁移】 （）观察表格，下列结论正确的序号是_____． ①当时，；②当时，； ③当时，；④当时，． 15．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$