第2章 有理数（5个知识点+25个考点讲练+中考真题演练+培优训练 共70题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上学期暑假衔接章节高频考点分类培优讲练

第2章 有理数 （5个知识点+25个考点讲练+中考真题演练+培优训练 共70题） 知识梳理 强化基础 2 知识点梳理01：正数与负数及相关概念 2 知识点梳理02：数轴、相反数与绝对值 2 知识点梳理03：有理数的运算 3 知识点梳理04：有理数的大小比较 3 知识点梳理05：科学记数法 3 高频考点 逐一攻克 4 考点训练01：正负数的实际应用 4 考点训练02：有理数的分类 5 考点训练03：带“非”字的有理数 6 考点训练04：用数轴上的点表示有理数 8 考点训练05：数轴上点的平移（动点问题） 10 考点训练06：数轴上整点覆盖问题 11 考点训练07：数轴上的规律探究 11 考点训练08：绝对值得几何意义 12 考点训练09：绝对值得非负性 16 考点训练10：绝对值得其他应用 19 考点训练11：有理数大小的实际应用 21 考点训练12：化简多重复号 23 考点训练13：有理数加减中的简便运算 24 考点训练14：有理数加减中的简便运算的实际应用 26 考点训练15：有理数四则混合运算 28 考点训练16：有理数四则混合运算的实际应用 31 考点训练17：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 33 考点训练18：有理数的乘方运算 34 考点训练19：有理数乘方的逆运算 37 考点训练20：有理数乘方的应用 39 考点训练21：用科学计数法表示绝对值大于1的数 41 考点训练22：用科学计数法表示的数变为原数 42 考点训练23：程序流程图与有理数的计算 43 考点训练24：算“24”点 45 考点训练25：含乘方的有理数混合运算 46 中考真题 实战演练 49 优选题型 突破自我 52 知识点梳理01：正数与负数及相关概念 1、认识正数、负数、零 （1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0； （2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 2、有理数的概念及分类 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类 知识点梳理02：数轴、相反数与绝对值 1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 3．绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2） 几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点梳理03：有理数的运算 1.有理数运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点梳理04：有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法． 知识点梳理05：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点训练01：正负数的实际应用 1．（22-23七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整； （2）把每班实际数量相加即可； （3）根据已知求出总费用即可． 【规范解答】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本， ∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， 故答案依次为：，． （2）4个班一共购入数量为：本， 故答案为： （3）∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， ∴最低总花费为：元． 【考点剖析】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键． 2．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 【答案】6分 【思路引导】根据实际背景解决问题，，然后参考条例要求可以查看处罚标准 【规范解答】根据图片所示，限速应该是80千米/时，而刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上 ∴刘师傅超速 ∴依照《道路交通安全法实施条例》规定：超速20%以上未达50%扣6分，因此刘师傅超速，应该被扣6分 答：刘师傅将受到扣6分的处罚 【考点剖析】本题关键是抓住考查百分比，理解百分比的计算方式，通过题意即可解决问题 考点训练02：有理数的分类 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里． ﹣18，3.1416，0，﹣2.001，，5%． (1)整数集合：{ …}； (2)分数集合：{ …}； (3)负数集合：{ …}． 【答案】(1)﹣18，0 (2)3.1416，﹣2.001，，5% (3)﹣18，﹣2.001， 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义． （1）整数包括正整数、0和负整数； （2）分数包括正分数和负分数； （3）负数是小于0的数． 【规范解答】（1）整数集合：； 故答案为：； （2）分数集合：； 故答案为：； （3）负数集合：． 故答案为： 4．（24-25七年级上·河南三门峡·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： （1）27，（2），（3）8.5，（4），（5），（6）0 ，（7） 正有理数集合：{                         …}． 负有理数集合：{                         …}． 整数集合：{                         …}． 【答案】（1），（2），（3），（7）；（4），（5）；（1），（4），（6） 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，掌握有理数的定义是解题的关键． 根据有理数的分类逐个解答即可． 【规范解答】解：正有理数集合：{（1），（2），（3），（7）…}． 负有理数集合：{（4），（5）…}． 整数集合：{（1），（4），（6）…}． 故答案为：（1），（2），（3），（7）；（4），（5）；（1），（4），（6）． 考点训练03：带“非”字的有理数 5．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）把，，，，，，填在相应的大括号内． 正数集合：｛__________…｝；    整数集合：｛__________…｝； 非负数集合：｛__________…｝；    负分数集合：｛__________…｝； 【答案】，，；，，；，，；，． 【思路引导】考查了有理数的分类．掌握整数包括正整数、负整数和0以及非负数包括整数和0是解题的关键． 根据有理数的分类及相关定义即可解答． 【规范解答】解：正数集合：｛，，…｝；     整数集合：｛，，…｝； 非负数集合：｛，，…｝；     负分数集合：｛，…｝． 故答案为：，，；，，；，，；，． 6．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）把下列序号填在相应的大括号里． ①，②，③0，④，⑤，⑥2023，⑦，⑧，⑨． (1)整数{ } (2)正分数{ } (3)非负数{ } (4)负有理数{ } 【答案】(1)①，③，⑥，⑨ (2)④，⑤，⑦ (3)③，④，⑤，⑥，⑦． (4)②、⑧、⑨ 【思路引导】先化简，再按照有理数的分类进行解答即可． 【规范解答】（1）解：整数有：①，③0, ⑥2023，⑨． 故答案为：①，③，⑥，⑨． （2）解：正分数有：④，⑤，⑦． 故答案为：④，⑤，⑦． （3）解：非负数有：③0，④，⑤，⑥2023，⑦， 故答案为：③，④，⑤，⑥，⑦． （4）解：负有理数有：②，⑧，⑨． 故答案为：②、⑧、⑨． 【考点剖析】本题考查了有理数的分类．掌握整数、正分数、非负数、负有理数的定义等知识点，掌握相关概念是解答本题的关键． 考点训练04：用数轴上的点表示有理数 7．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 【答案】(1)1 (2) (3)5秒或7秒 【思路引导】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，中点公式，动点表示的数，是解题的关键． （1）运用中点公式计算即得；（2）写出运动后A、B表示的数，相等，建立方程，解方程即可；（3）包括A没超过B和A超过B两种情况，A、之间的距离等于2个单位长度，建立方程解答． 【规范解答】（1）解：的中点对应的数． （2）A对应的数是，对应的数是， ∵A、对应的数相同， ∴ 解得． 故当时A、对应的数相同． （3）∵A、之间的距离等于2个单位长度， ∴． 当点A在点左边时，，解得； 当点A在点右边时，，解得． 综上，当为5秒或7秒时，A、之间的距离等于2个单位长度． 8．（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 【答案】(1)，B (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、比较有理数的大小等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接观察数轴即可解答； （2）在数轴上用点分别表示有理数和6即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大比较大小即可解答． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，A点表示的有理数是，表示有理数的点是B． 故答案为：，B． （2）解：用数轴上的点分别表示有理数和6如下： （3）解：根据（2）的数轴可知：将，6，，0，用“”连接的结果是：． 故答案为：． 考点训练05：数轴上点的平移（动点问题） 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 考点训练06：数轴上整点覆盖问题 11．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【思路引导】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【规范解答】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 12．（20-21七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【思路引导】在数轴上，原点右侧为正数，原点右侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小. 【规范解答】解：被遮住的左边是整数-2，右边是0，因此被遮挡的整数是-1. 故选B. 【考点剖析】本题主要考查数轴表示数的意义，互为相反数的求法，理解数轴表示数的意义. 考点训练07：数轴上的规律探究 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【规范解答】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 14．（24-25七年级上·四川泸州·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【规范解答】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 考点训练08：绝对值得几何意义 15．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【思路引导】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【规范解答】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 16．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______； （2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【拓展运用】 （5）若，则______． 【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）①；②，；（5）或 【思路引导】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可；②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可；②设点表示的数是，则点表示的数是，根据中点坐标公式求出，即可求解； （5）根据绝对值的几何意义可得：或，即可求解． 【规范解答】解：（1）数轴上表示与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）①若，则或， 解得：或， 故答案为：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为， 故答案为：； （3）表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （4）①表示的点和表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合， 故答案为：； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （5）， 或， 解得：或， 故答案为：或． 考点训练09：绝对值得非负性 17．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【思路引导】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【规范解答】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【考点剖析】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 18．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知多项式的次数为，项数为，常数项为．如图，在数轴上点表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点P是数轴上异于点B的一点，表示数x． (1) ， ， ． (2)若将数轴对折，使得对折后点与点重合，此时点与点也重合，求点所表示的数x． (3)设和的中点分别为点，，点从点出发沿数轴向右运动，在此过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)6，3， (2)1 (3)不变,4 【思路引导】本题考查了多项式定义、数轴、代数式等知识点，解题的关键在于读懂题意和灵活运用分类讨论的思想． （1）根据多项式的定义即可得出答案； （2）根据中点坐标公式即可得出答案； （3）利用中点的定义和线段的和差易求出． 【规范解答】（1）解：多项式的次数为6，项数为3，常数项为， ∴， 故答案为：6，3，． （2）A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x， 由（1）得， ∵将数轴对折，使得对折后A点与C点重合， ∴中点表示的数为：， ∵点B与点P也重合， ∴， ∴， 即点P所表示的数x为1． （3）解：线段的长度不发生变化． ①如图，当点P在点C、B之间运动时， ； ②当点P运动到点A、B之间运动时， ； ③当点P运动到点A右侧时， 综上所述，线段的长度不发生变化，值为4． 考点训练10：绝对值得其他应用 19．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7； (2) (3)①，3；②1025156 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【规范解答】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：解方程：． ①当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是． 故原方程的解是或． 依照以上例题，解方程：． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了绝对值的性质、解一元二次方程等知识，正确理解题意是解题关键．分和两种情况，将原方程可化为一元一次方程，然后求解即可． 【规范解答】解：， ①当时，原方程可化为一元一次方程， 它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程， 它的解是． 综上所述，原方程的解是或． 考点训练11：有理数大小的实际应用 21．（23-24七年级上·山西阳泉·期末）元旦促销活动期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店对原价元/件的某款运动速干衣和原价元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案：运动速干衣和运动棉袜均按折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣件，运动棉袜双（）． (1)若该户外俱乐部按方案购买，需付款________元；若该户外俱乐部按方案购买，需付款________元；（用化简后的含的整式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． 【答案】(1)； (2)方案购买较为合算． 【思路引导】本题考查列代数式，代数式求值，有理数大小比较的应用， （1）按照方案和方案的优惠办法，分别列出代数式即可； （2）把分别代入（1）中的结论，进行计算后然后比较大小即可解答； 理解题意并正确列出代数式、熟练地进行计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：按方案购买，需付款： （元）， 按方案购买，需付款： （元）， 故答案为：；； （2）当时， 按方案购买，需付款：（元）， 方案购买，需付款：（元）， ∵， ∴按方案购买较为合算． 22．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价元，茶碗每只定价元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送只茶碗；方案二：茶具和茶碗都按定价的八五折付款．现在某客户要到商场购买茶具套，茶碗（）只． (1)分别用含有的代数式表示用两种方案购买所需的费用； (2)当时，客户选用哪种方案比较实惠？请说明理由． 【答案】(1)该客户按方案一购买，需付款元，该客户按方案二购买，需付款元 (2)当时，按方案一购买比较实惠．理由见解析 【思路引导】本题考查代数式的实际应用， （1）根据所给优惠规则列代数式即可； （2）将代入（1）中结论，求出两个代数式的值，比较大小即可； 解题的关键是根据题意正确列出代数式． 【规范解答】（1）解：若该客户按方案一购买，需付款：元， 若该客户按方案二购买，需付款：元， ∴该客户按方案一购买，需付款元，该客户按方案二购买，需付款元； （2）按方案一购买比较实惠，理由如下： 当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴当时，按方案一购买比较实惠． 考点训练12：化简多重复号 23．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 【答案】数轴表示见解析， 【思路引导】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较与数轴，需要熟练掌握数轴上的数右边的总比左边的大，把各数据正确标注在数轴上是解题的关键． 先找出各数在数轴上的位置，然后根据数轴上的数，右边的数总比左边的数大即可按照从小到大的顺序进行排列． 【规范解答】解：，，，， 在数轴上表示各数如图： 由数轴得：． 24．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知一组数：， (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查的知识点是化简绝对值和多重符号，用数轴表示数、利用数轴比较有理数的大小，解题关键是准确将数在数轴上表示出来，注意符号． （1）先将能化简的数先化简，再将数准确在数轴上表示出来，注意正负号； （2）根据（1）中在数轴上表示的数，从左往右依次增大，用小于号连接即可． 【规范解答】（1）解：，，， 这些数在数轴上的表示如下图所示： （2）解：由（1）中数轴得：． 考点训练13：有理数加减中的简便运算 25．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【规范解答】解： ． 26．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的加减混合计算， （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 考点训练14：有理数加减中的简便运算的实际应用 27．（24-25七年级上·河南南阳·期末）“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 【答案】(1)3.5 (2)万人 (3)1270万元 【思路引导】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用． （1）用1万加上10月2号变化的人数即可； （2）用记录数据最多的一天减去最少的一天即可； （3）先求出所记录数据变化的人数，加上7天的标准人数，求出出总人数，再乘以100即可． 【规范解答】（1）解：万人， 故答案为：3.5； （2）解：由题意，得： （万人）， 答：黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多万人． （3）解： （万人）， （万人）， （万元）， 答：黄金周期间该乐园的门票收入是1270万元． 28．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 【答案】(1)0 (2)甲 (3)布 【思路引导】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，有理数的加减的应用； （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可求解； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∴第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为 故答案为：． （2）∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，则第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，则第三局是甲赢， 故答案为：甲． （3）解：由（2）可得， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 第三局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是， ∵第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小， 根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度 ∴乙第四局的手势是布 考点训练15：有理数四则混合运算 29．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 30．（24-25七年级上·广西柳州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，正确根据新定义列出对应的算式是解题的关键． （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【规范解答】（1）解；由题意得，； （2）解：， ∴ ． 考点训练16：有理数四则混合运算的实际应用 31．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【思路引导】本题主要考查了有理数混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意列出对应的算式是解题的关键。 （1）根据把表格中前三天的生产记录相加，再加上计划三天的生产量可以计算出前三天共生产了多少辆自行车； （2）根据表格中的数据，可以计算出生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少辆自行车； （3）根据题意先计算出总生产量，再计算出奖励和扣除的费用以及生产费用即可得到答案． 【规范解答】（1）解：辆， ∴前三天共生产了辆， 故答案为：； （2）解：由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆， 故答案为：； （3）解：， ， ， （元）， 答：工人这一周的工资总额是元． 32．（24-25七年级上·河北沧州·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数． (1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个； (2)求第一组8名女生的平均成绩； (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号． 【答案】(1)22 (2)第一组8名女生的平均成绩为33个 (3)能得到优秀体育小组称号，见解析 【思路引导】本题考查正负数的实际应用以及有理数的加减混合运算的应用． （1）找出最好成绩的与最差成绩的进行相减即可； （2）根据题意列出式子再进行计算即可； （3）根据题意列出式子，再进行计算，最后与60进行比较即可．根据题意列出式子是解题的关键． 【规范解答】（1）解：（个）， 故答案为：22； （2）解： （个）． 答：第一组8名女生的平均成绩为33个； （3）解： （分）． 因为， 所以能得到优秀体育小组称号． 考点训练17：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 33．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的运算，利用数轴得出a，b，c的大小关系是解题的关键．根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则逐个分析判断即可得出答案． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ，，，，故①②错误，③④正确； ，，， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 34．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示： (1)在横线上填入“”或“”：______ 0，______ 0，______ 0 (2)在数轴上找出表示的点； (3)用“”将连接起来． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查有理数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而确定式子的符号即可； （2）根据互为相反数的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，找出表示的点即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大，进行比较即可． 【规范解答】（1）解：由图可知：， ∴； 故答案为：，，； （2）表示的点，如图所示： （3）由图可知：． 考点训练18：有理数的乘方运算 35．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 【答案】(1)， (2)C (3)， (4) (5) 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可； （5）利用除方的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：A，，即任何非零数的圈2次方都等于1，故该选项说法正确； B，，故该选项说法正确； C，，， 可得，故该选项说法错误； D，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项说法正确， 故选C． （3）解：， ， 故答案为：，； （4）解：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为： ， 故答案为：； （5）解： ． 36．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）已知有理数：，0，，，，．回答下列问题： (1)上述六个有理数中，互为相反数的一组是______； (2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上； (3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)与 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． （1）先化简双重符号，求解绝对值，再利用相反数的定义可得答案； （2）在数轴上的点表示各有理数即可； （3）利用数轴右边点表示的数大于左边点表示的数，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴互为相反数的一组数是与； 故答案为：与； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）数轴可知： ． 考点训练19：有理数乘方的逆运算 37．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【规范解答】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 38．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【思路引导】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 考点训练20：有理数乘方的应用 39．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【规范解答】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 40．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数2024换算成十进制数是（   ） A．32 B．1044 C．253 D．16192 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的乘方的运算，理解八进制数换算为十进制数的方法是解题的关键；根据题目中八进制数3745换算成十进制数的方法计算即可． 【规范解答】解：八进制数2024换算成十进制数： ， 故选：B 考点训练21：用科学计数法表示绝对值大于1的数 41．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）东风41洲际导弹最大射程约千米，其凭借其超高速度和精准打击能力，被誉为“使命必达”的洲际弹道导弹，是中国军事实力的象征．请你用科学记数法表示这个距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．根据科学记数法的表示形式来进行表述即可． 【规范解答】解：千米． 故选：B． 42．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）据新华社北京年月日电，年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达件．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：， 故选：． 考点训练22：用科学计数法表示的数变为原数 43．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数． （1）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （2）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （3）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （4）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 44．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．把数据写成原数，就是把8的小数点向右移动5位． 【规范解答】解：把数据中8后的小数点向左移动5位就可以得到，原数中小数点后“0”的个数为4，其中有1个数未被遮住． 所以，被遮住的0的个数为（个） 故选：C． 考点训练23：程序流程图与有理数的计算 45．（24-25七年级上·河北保定·期末）数学活动课上，嘉嘉同学设计了一个运算程序，当输入任意有理数对时，会得到一个新的有理数．例如：输入数对时，就会得到．现输入有理数对，则得到的有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题中的运算程序计算即可得到结果． 【规范解答】解：由题意得输入有理数对，则得到的有理数为， 故选：D ． 46．（24-25七年级上·广西桂林·期中）平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，列出计算式，然后计算即可； （2）①根据题意，分别计算出按顺序F→E→→和F→E→→的结果，再结合题意，即可解答本题； ②根据题意可知，当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得：； （2）解：①若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 计算结果为， 故摸球顺序为F→E→→， 故答案为：； ②由题意可得：当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大， ． 故答案为：． 考点训练24：算“24”点 47．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 48．（24-25七年级上·广东汕头·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 考点训练25：含乘方的有理数混合运算 49．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，运算顺序，运算律，是解题的关键． （1）根据整数的加减混合运算与交换律结合律运算即可； （2）先运算分数的加法，所得结果再与125相加； （3）先用乘法分配律计算中括号内的乘法，再计算加减法，同时计算出除式结果，最后化除法为乘法计算； （4）中括号内外先算乘方，再算乘除法，最后计算加减法． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．（24-25七年级上·广东深圳·期中）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ______； ； ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：. 【答案】(1)，； (2)①，，；②；③ 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义除方，总结归纳运算规律是解题关键． （1）根据除方的运算法则进行计算即可； （2）①试一试：根据除方的运算法则进行计算即可； ②想一想：由试一试总结归纳得出规律即可； ③算一算：根据想一想得出的规律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为，； （2）①解： ； ； ， 故答案为：； ②； 故答案为：； ③ ． 【真题演练1】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【思路引导】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 【真题演练2】（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【思路引导】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案． 【规范解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴尾数每4个一循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴22022的个位数字应该是：4． 故选：C． 【考点剖析】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键． 【真题演练3】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【规范解答】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 【真题演练4】（2023·广西·中考真题）计算：． 【答案】6 【思路引导】根据有理数的混合运算法则求解即可． 【规范解答】 ． 【考点剖析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【真题演练5】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1)-9 (2)3 【思路引导】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【规范解答】（1）解：； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【考点剖析】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握题干中的求和方法，令所求的和为，将其乘以6后相减，消去中间项，得到关于的方程，解方程即可． 【规范解答】解：令， 两边乘以6，得： ， 将两式相减： ， 右边除首项和末项外，其余项均抵消， 得：， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【思路引导】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 【规范解答】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【规范解答】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 4．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【规范解答】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴，相反数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴和已知条件得出，，，的正负和它们的绝对值的大小，从而求得、、、的值的正负，从而进行判断． 【规范解答】解：由数轴可得，， 、互为相反数， ，且， ，，， ，，，， 故选：B． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【规范解答】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 【答案】26 【思路引导】本题考查了程序流程图与有理数的乘方，读懂程序流程图，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先将代入计算出结果为，再将代入计算，其结果大于10，由此即可得． 【规范解答】解：由程序图得：当时，， 当时，， 所以当输入的值为时，输出的值为26， 故答案为：26． 8．（24-25七年级上·四川达州·期末）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，先根据相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算可得． 【规范解答】解：、互为相反数，， 、互为倒数，， 的绝对值等于，或， 当时，原式； 当时，原式； 综上，原式的值为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，如二进制数1011转化成十进制数是11（提示：）．人们根据一周有七天，约定逢七进一，即七进制，是以7作为进位基数的数字系统．将七进制2025换算成十进制数是 ．（注：） 【答案】705 【思路引导】本题考查了七进制数转化为十进制数，熟练掌握七进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 根据七进制数转化为十进制数的方法计算即可． 【规范解答】解：将七进制2025换算成十进制数是， 故答案为705 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【思路引导】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【规范解答】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 11．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算： (1) (2) (3)（简算） 【答案】(1)2 (2)－18 (3)26 【思路引导】（1）先算乘法再算加减法即可解答． （2）先算平方、立方，再算乘除，后算加法即可解答． （3）先利用乘法分配律，再利用结合律即可解答． 本题考查了有理数的混合运算，涉及到的知识点有：有理数的加、减、乘、除、乘方，是基础题，难度不大． 【规范解答】（1） （2） （3） 12．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【思路引导】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【规范解答】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 13．（24-25七年级上·广东·期中） 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民， 早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：． (1)B地位于A地的什么方向？距离A地有多远？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地的东边，离A地18千米 (2)冲锋舟最远离出发点A有23千米 (3)至少还需补充6升油 【思路引导】本题主要考查了正负数的意义、化简绝对值、有理数比较大小、有理数混合运算的应用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，结合和的符号可判定方向及距离； （2）首先计算每次行程后与出发点的距离，再比较有理数的大小，可得答案； （3）首先计算当天航行的总里程，进而可得当天耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案． 【规范解答】（1）解：， 答：B地在A地的东边，离A地18千米． （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：冲锋舟最远离出发点A有23千米． （3） 千米， 升， 答：至少还需补充6升油． 14．（24-25七年级上·北京·期中）在黑板上先依次写下两个正有理数，接下来对进行操作： 如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；以上过程称为一次操作．只要黑板上新的满足，就再进行下一次操作；如果新的满足，则操作停止． (1)如果在黑板上先写下的数是，接下来进行几次操作后停止？说明理由： (2)如果在黑板上先写下的数是，则第次操作后，黑板上的两个数依次是_________，__________； (3)如果在黑板上先写下的是两个真分数，，且进行有限次操作后，操作停止，则的所有可能值为__________． 【答案】(1)2次操作，理由见详解． (2) (3)3 【思路引导】本题考查了代数式求值和有理数的混合运算． （1）给定．根据操作规则∶若且，则新，新；若且，则新，新．不断重复操作，直到新，统计操作次数； （2）给定．按照操作规则进行操作，观察操作过程是否存在循环．若存在循环，找出循环节长度，用除以循环节长度得到余数，根据余数确定第次操作后的和． （3） 给定，是两个真分数，则为整数．尝试多种情况，解不等式组求值． 【规范解答】（1）解：初始． 第一次操作：因为且，新的，新的． 第二次操作：因为且，新的，新的． 满足，故操作停止．所以经过次操作后停止； （2）解：初始初始，． 第一次操作∶因为且，新的，新的． 第二次操作∶因为且，新的，新的． 第三次操作∶因为且，新的，新的． 第四次操作∶因为且，新的，新的． 第五次操作∶因为且，新的，新的． 第六次操作∶因为且，新的，新的． 观察发现操作会循环，循环节长度为． ，循环节内第二次操作后． 所以第次操作后； 故答案为：． （3）解： 初始，是两个真分数．则为整数． 当且时，即大于等于，且小于等于时， 解得（不合题意，舍去） 当且时， 小于时， ，． 假设当，时，则，则终止操作． 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 同理：，， 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 同理，， 即小于等于，且大于等于，解得 同理，， 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 故答案为：3． 15．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题： 【发现问题】 （1）数轴上，与点的距离为3的点表示的数是________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． 【拓展延伸】 （3）已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是________，________．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）或4；（2）①，②表示的数为，表示的数为；（3）， 【思路引导】本题主要考查列代数式，数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算，熟练掌握数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可进行求解． （2）①由点与点重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ②由①可知折叠点表示的数为，则可知到的距离都为，进而问题可求解． （3）由题意可知表示数的点到两点的距离都为，然后问题即可求解． 【规范解答】解：（1）∵点表示的数为1，且到点A的距离为， ∴这个数为或， 故答案为：或． （2）①∵点与点重合， ∴折叠点对应的数为：， ∴与点重合的点表示的数是：； ②由①得折叠点对应的数为：， ∴点表示的数为：，F点表示的数为：． （3）∵数轴上两点间的距离为（在左侧），表示数的点到两点的距离相等， ∴表示数的点到两点的距离都为， ∴点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：；． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数 （5个知识点+25个考点讲练+中考真题演练+培优训练 共70题） 知识梳理 强化基础 2 知识点梳理01：正数与负数及相关概念 2 知识点梳理02：数轴、相反数与绝对值 3 知识点梳理03：有理数的运算 3 知识点梳理04：有理数的大小比较 4 知识点梳理05：科学记数法 4 高频考点 逐一攻克 4 考点训练01：正负数的实际应用 4 考点训练02：有理数的分类 5 考点训练03：带“非”字的有理数 5 考点训练04：用数轴上的点表示有理数 6 考点训练05：数轴上点的平移（动点问题） 7 考点训练06：数轴上整点覆盖问题 7 考点训练07：数轴上的规律探究 7 考点训练08：绝对值得几何意义 8 考点训练09：绝对值得非负性 10 考点训练10：绝对值得其他应用 11 考点训练11：有理数大小的实际应用 12 考点训练12：化简多重复号 13 考点训练13：有理数加减中的简便运算 14 考点训练14：有理数加减中的简便运算的实际应用 14 考点训练15：有理数四则混合运算 16 考点训练16：有理数四则混合运算的实际应用 17 考点训练17：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 18 考点训练18：有理数的乘方运算 18 考点训练19：有理数乘方的逆运算 20 考点训练20：有理数乘方的应用 21 考点训练21：用科学计数法表示绝对值大于1的数 22 考点训练22：用科学计数法表示的数变为原数 22 考点训练23：程序流程图与有理数的计算 23 考点训练24：算“24”点 24 考点训练25：含乘方的有理数混合运算 25 中考真题 实战演练 26 优选题型 突破自我 27 知识点梳理01：正数与负数及相关概念 1、认识正数、负数、零 （1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0； （2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 2、有理数的概念及分类 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类 知识点梳理02：数轴、相反数与绝对值 1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 3．绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2） 几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点梳理03：有理数的运算 1.有理数运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点梳理04：有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法． 知识点梳理05：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点训练01：正负数的实际应用 1．（22-23七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 2．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 考点训练02：有理数的分类 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里． ﹣18，3.1416，0，﹣2.001，，5%． (1)整数集合：{ }； (2)分数集合：{ }； (3)负数集合：{ }； 4．（24-25七年级上·河南三门峡·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： （1）27，（2），（3）8.5，（4），（5），（6）0 ，（7） 正有理数集合：{ }； 负有理数集合：{ }； 整数集合：{ }； 考点训练03：带“非”字的有理数 5．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）把，，，，，，填在相应的大括号内． 正数集合：｛__________…｝；    整数集合：｛__________…｝； 非负数集合：｛__________…｝；    负分数集合：｛__________…｝； 6．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）把下列序号填在相应的大括号里． ①，②，③0，④，⑤，⑥2023，⑦，⑧，⑨． (1)整数{ }； (2)正分数{ }； (3)非负数{ }； (4)负有理数{ }； 考点训练04：用数轴上的点表示有理数 7．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 8．（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 考点训练05：数轴上点的平移（动点问题） 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 考点训练06：数轴上整点覆盖问题 11．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 12．（20-21七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 考点训练07：数轴上的规律探究 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·四川泸州·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 考点训练08：绝对值得几何意义 15．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 16．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______； （2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【拓展运用】 （5）若，则______． 考点训练09：绝对值得非负性 17．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 18．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知多项式的次数为，项数为，常数项为．如图，在数轴上点表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点P是数轴上异于点B的一点，表示数x． (1) ， ， ． (2)若将数轴对折，使得对折后点与点重合，此时点与点也重合，求点所表示的数x． (3)设和的中点分别为点，，点从点出发沿数轴向右运动，在此过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 考点训练10：绝对值得其他应用 19．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：解方程：． ①当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是． 故原方程的解是或． 依照以上例题，解方程：． 考点训练11：有理数大小的实际应用 21．（23-24七年级上·山西阳泉·期末）元旦促销活动期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店对原价元/件的某款运动速干衣和原价元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案：运动速干衣和运动棉袜均按折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣件，运动棉袜双（）． (1)若该户外俱乐部按方案购买，需付款________元；若该户外俱乐部按方案购买，需付款________元；（用化简后的含的整式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． 22．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价元，茶碗每只定价元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送只茶碗；方案二：茶具和茶碗都按定价的八五折付款．现在某客户要到商场购买茶具套，茶碗（）只． (1)分别用含有的代数式表示用两种方案购买所需的费用； (2)当时，客户选用哪种方案比较实惠？请说明理由． 考点训练12：化简多重复号 23．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 24．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知一组数：， (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 考点训练13：有理数加减中的简便运算 25．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 考点训练14：有理数加减中的简便运算的实际应用 27．（24-25七年级上·河南南阳·期末）“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 28．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 考点训练15：有理数四则混合运算 29．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 30．（24-25七年级上·广西柳州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 考点训练16：有理数四则混合运算的实际应用 31．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 32．（24-25七年级上·河北沧州·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数． (1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个； (2)求第一组8名女生的平均成绩； (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号． 考点训练17：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 33．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示： (1)在横线上填入“”或“”：______ 0，______ 0，______ 0 (2)在数轴上找出表示的点； (3)用“”将连接起来． 考点训练18：有理数的乘方运算 35．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 36．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）已知有理数：，0，，，，．回答下列问题： (1)上述六个有理数中，互为相反数的一组是______； (2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上； (3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． 考点训练19：有理数乘方的逆运算 37．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 38．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 考点训练20：有理数乘方的应用 39．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 40．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数2024换算成十进制数是（   ） A．32 B．1044 C．253 D．16192 考点训练21：用科学计数法表示绝对值大于1的数 41．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）东风41洲际导弹最大射程约千米，其凭借其超高速度和精准打击能力，被誉为“使命必达”的洲际弹道导弹，是中国军事实力的象征．请你用科学记数法表示这个距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 42．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）据新华社北京年月日电，年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达件．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 考点训练22：用科学计数法表示的数变为原数 43．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点训练23：程序流程图与有理数的计算 45．（24-25七年级上·河北保定·期末）数学活动课上，嘉嘉同学设计了一个运算程序，当输入任意有理数对时，会得到一个新的有理数．例如：输入数对时，就会得到．现输入有理数对，则得到的有理数为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·广西桂林·期中）平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 考点训练24：算“24”点 47．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 48．（24-25七年级上·广东汕头·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 考点训练25：含乘方的有理数混合运算 49．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (4) (4) 50．（24-25七年级上·广东深圳·期中）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ______； ； ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：. 【真题演练1】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【真题演练2】（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【真题演练3】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【真题演练4】（2023·广西·中考真题）计算：． 【真题演练5】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 8．（24-25七年级上·四川达州·期末）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，如二进制数1011转化成十进制数是11（提示：）．人们根据一周有七天，约定逢七进一，即七进制，是以7作为进位基数的数字系统．将七进制2025换算成十进制数是 ．（注：） 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 11．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算： (1) (2) (3)（简算） 12．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 13．（24-25七年级上·广东·期中） 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民， 早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：． (1)B地位于A地的什么方向？距离A地有多远？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需充多少升油？ 14．（24-25七年级上·北京·期中）在黑板上先依次写下两个正有理数，接下来对进行操作： 如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；以上过程称为一次操作．只要黑板上新的满足，就再进行下一次操作；如果新的满足，则操作停止． (1)如果在黑板上先写下的数是，接下来进行几次操作后停止？说明理由： (2)如果在黑板上先写下的数是，则第次操作后，黑板上的两个数依次是_________，__________； (3)如果在黑板上先写下的是两个真分数，，且进行有限次操作后，操作停止，则的所有可能值为__________． 15．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题： 【发现问题】 （1）数轴上，与点的距离为3的点表示的数是________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． 【拓展延伸】 （3）已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是________，________．（用含，的代数式表示） 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$