专题21.15 一元二次方程（全章专项练习）（拓展培优篇）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.15 一元二次方程（全章专项练习）（拓展培优篇） 【试题信息】专项练习（拓展培优篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分.建议用时50——60分钟. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式． 要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方． 解：用配方法解方程， 两边都加上9， 得， 得． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，以及代数式的求值。熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 通过将已知解代入方程，得到关于a与b的等式，进而求解代数式的值。 解：是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故选：D. 3．（24-25九年级上·全国·期中）如果将方程配方成的形式，则的值为（   ） A． B．10 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，先移项，再添项配方得到，求出，，再代入求出答案即可． 解：， 移项，得， 配方，得， ， 所以，， ∴． 故选：A． 4．（2025·山东淄博·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 解：由题意得：； ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴且， 故选：C 5．（2025·河南平顶山·二模）已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟悉根的判别式． 先求出判别式，再利用三角形三边关系说明它的符号，然后得出根的情况． 解：由题意，得， 关于x的方程， 则． ∵三角形的三边长分别为， ∴，， ∴， ∴原方程没有实数根． 故选A． 6．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）方程必有一个解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，由题意得或或，再依次解出方程的解即可． 解：， 或或， 当时，， 当时，即，无实数根， 当时， ， 方程共有3个解，即， 故选：C 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等实数根，结合，可得答案． 解：由数轴看出，，， ∵是关于x的一元二次方程， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． ∴A，B，D不符合题意，C符合题意 故选：C． 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（  ） A．6 B．或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度即可. 解：∵， ∴ ， 解得： ，； 当6和4均为直角边，则斜边为 ， 当6为斜边，4为直角边，则另一条直角边为 ， 此时斜边仍为6， ∴斜边可能为6或， 故选：C 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键． 根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客万人次，则2024年五一期间接待游客万人次，列出方程即可． 解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x， ∴2023年增长到人次， 2024年增长到人次， ∵2024年增长至46万人次， ∴． 故选：B． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）满足的整数有几个（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，有理数的乘方以及零指数幂的性质，本题比较复杂，解答此题时要注意的任何次幂为，的偶次幂为，非数的次幂为，三种情况，不要漏解．分类讨论是解题的关键． 解：分以下三种情况： （1）当时，解得：或； （2）当时，解得：； （3）当时，解得：． 综上，整数或或或， 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了利用开平方解方程，根据题意得到或，即可求出答案． 解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故答案为：， 12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，根据题意化为整式方程，解一元二次方程，并检验，即可求解． 解：， ∴ ∴ 即 解得：（舍去） ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：． 14．（2025·江苏南京·一模）在中，，边上的高是10，则的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，求出，，根据化简得，由可求出可得结论． 解：以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，如图， ∴，， ∵， 平方后得：， 化简得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为15． 故答案为：15 15．（2025九年级下·四川成都·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”．特别地，当时，称“整点”为“平衡整点”．已知点是一个“平衡整点”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解分式方程，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键．由新定义得出方程，然后解方程并检验即可． 解：由题意得，， ， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， 当时，点，不符合题意； 当时，点，符合题意； ∴， 故答案为：． 16．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则 【答案】9 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，解一元二次方程，根据题意设，则，进而根据勾股定理，即可求解． 解：如图，作交的延长线于点，连接 设，则，依题意得 解得：或（舍去） 故答案为：． 18．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 【答案】 【分析】本题考查了代数基本定理解高次方程，解一元二次方程． 设另外两根是的根，由其中一个根为，则可化为，求出，，得到，求解即可． 解：设另外两根是的根， ∵已知其中一个根为， ∴可化为， 即， 计算得， 可得，， ∴， 解得，， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解分式方程，掌握因式分解法，将分式化为一元一次方程求解的方法是关键． （1）运用因式分解法求一元二次方程的解即可； （2）根据分式的性质，将分式方程化为一元一次方程求解，再检验根即可． 解：（1）解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验，当时，原分式方程无意义， ∴原分式方程无解． 20．（本小题满分8分）（2025·北京海淀·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可； （2）根据是方程的解，得出，求出，得出一元二次方程，解方程即可． 解：（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：是方程的解， ， ． 方程为． 解得． 方程的另一个解为． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 【答案】（1）见分析；（2）时，为等腰三角形，的周长分别为30或32． 【分析】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）的结论及为等腰三角形，可得出只能是的腰，再将代入原方程中求出n的值，分别解一元二次方程求解即可． 解：（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，12，周长为． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【答案】（1）每件服装应降价20元；（2）不能，理由见分析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 解：（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1；（2），理由见分析；（3）①；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，一元一次不等式的应用． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用作差法和配方法得，即可得出结论； （3）①根据题意可得，，进而得，再根据墙长24米，得，解不等式即可得自变量的取值范围； ②设鸡场的面积为平方米，则，再利用配方法求最值即可． 解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值1； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴； （3）①根据题意可得，， ∴， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； ②设鸡场的面积为平方米，则 ， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于的代数式的不动值是_______． （2）判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 【答案】（1）4或；（2）没有不动值，理由见分析；（3）①；②1或3或5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，解方程可得或，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案． 解：（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是4或； （2）解：关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.15 一元二次方程（全章专项练习）（拓展培优篇） 【试题信息】专项练习（拓展培优篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分.建议用时50——60分钟. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 3．（24-25九年级上·全国·期中）如果将方程配方成的形式，则的值为（   ） A． B．10 C．5 D．9 4．（2025·山东淄博·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（2025·河南平顶山·二模）已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）方程必有一个解是（） A． B． C． D． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（  ） A．6 B．或 C．6或 D．6或 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）满足的整数有几个（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的根是 ． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 13．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 14．（2025·江苏南京·一模）在中，，边上的高是10，则的最小值为 ． 15．（2025九年级下·四川成都·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”．特别地，当时，称“整点”为“平衡整点”．已知点是一个“平衡整点”，则 ． 16．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于 ． 17．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则 18．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）解下列方程 （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（2025·北京海淀·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于的代数式的不动值是_______． （2）判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$