专题21.8 公式法和因式分解法（专项练习）（拓展培优篇）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.8 公式法和因式分解法（专项练习）（拓展培优篇） 【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若正数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（  ） A．1 B． C． D．1或 7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南郑州·二模）一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定 9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的方程的根的判别式的值为1，若，，则P，Q的数量关系是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口向运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为足够长，多少秒后他们再次取得联系？（    ） A． B． C． D．不会再取得联系 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，若，则的值为 ． 12．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若，则 ． 13．（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 14．（2025·广东广州·一模）根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 15．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 16．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）若二次方程组有唯一解，则k的所有可能取值为 ． 17．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是： （只填序号） 18．（22-23九年级下·浙江宁波·自主招生）我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得．类比上述过程，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（2025·广东广州·二模）已知． （1）化简A； （2）已知x满足，求A的值． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·重庆·期末）计算： （1） （2） 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求a的值； （2）若，求方程的两个根； （3）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）利用数学的“转化”思想，我们可以将一些新的方程转化成我们熟悉的方程来解．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，分别解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.8 公式法和因式分解法（专项练习）（拓展培优篇） 【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 把代入一元二次方程关于a的方程求解即可． 解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴，解得：或2． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得． 解：设， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得或， ∴当，即时，此时方程无解， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若正数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的变形求值，解一元二次方程，分式的运算等知识，根据公式法求出，再将变形为，最后将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：， ∴， ∴， 解得：， ∵是正数， ∴， ∵正数满足， ∴，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（  ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意，得，用因式分解法求解即可． 解：根据题意，得， ， ∴， ∵a为正数， ∴， 故选：C． 7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可． 解：由题意知，，， ∴，即， 解得，，即， ∴，即， 解得，，， ∴方程一定有实数根， 故选：B． 8．（2025·河南郑州·二模）一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图像确定参数的范围，一元二次方程根的判别式确定根的情况，先根据一次函数的图像得出，，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案． 解：根据题意可知：，， 对于， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选∶C 9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的方程的根的判别式的值为1，若，，则P，Q的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的判别式为． 先利用根的判别式的意义得到，则，所以，然后计算，从而可对各选项进行判断． 解：∵关于x的方程的根的判别式的值为1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：B． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口向运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为足够长，多少秒后他们再次取得联系？（    ） A． B． C． D．不会再取得联系 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程；设秒后他们再次取得联系，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：设秒后他们再次取得联系，依题意得，米，再次取得联系时他们相距米， ， 解得：（舍去） 答：秒后他们再次取得联系， 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 运用因式分解法解一元二次方程，再把求得的结果代入运算即可． 解：∵， ∴， ∴或， ∴（不符合题意舍去），， 把代入可得：， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质、解一元二次方程，由非负数的性质可得，，再解一元二次方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵，，， ∴，， 解可得或， 解得或， 综上所述，， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 14．（2025·广东广州·一模）根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 【答案】或7/或 【分析】本题考查函数值、解一元二次方程，先根据已知求得b值，再由分别解方程求得x值即可． 解：∵输入的值为4，则输出的值为7，且， ∴，解得， 若输出的值为13， 则当时，由得； 当时，由得，（舍去）， 综上，若输出的值为13，则输入的x值为或7， 故答案为：或7． 15．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 16．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）若二次方程组有唯一解，则k的所有可能取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入法，以及一元二次方程根的判别式，通过适当的方法，把不熟悉的问题转化为熟悉的知识求解是解题的关键．利用代入法将方程组化为，再根据二次方程组有唯一解分以下情况①当时，②当时，结合一元二次方程根的判别式讨论求解，即可解题． 解：将代入中， 有， 整理得， 二次方程组有唯一解，即只有一个解， ①当时，即时，方程有一个解， ②当时，即时，方程为一元二次方程， 有当时，方程有两个相同的实数根， 即， 整理得， ， 此方程无实数根， 综上所述，当时，二次方程组有唯一解， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是： （只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，当时，找出．①当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断①不正确；②将代入中，得出，由此得出②不正确；③将代入中，得出，由此得出③正确；④结合①可知当时，方程有一个实数根，从而得出④不正确，结合上面所述即可得出结论． 解：当时，． ①当时，原方程为， 解得：，故①不正确； ②当时，， 方程有两个不相等的实数根，故②不正确； ③当时，， 方程有两个相等的实数根，故③正确； ④当，时，方程有一个解，故④不正确； 综上，错误的是①②④． 故答案为：①②④． 18．（22-23九年级下·浙江宁波·自主招生）我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得．类比上述过程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了类比推理，通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），在运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 解：类比题意的过程，令， 则两边平方得，则， 即，解得，或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 解：（1）解：， ， 或， 解得：． （2）解：． ∴， ∴， ， ． 20．（本小题满分8分）（2025·广东广州·二模）已知． （1）化简A； （2）已知x满足，求A的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式化简和解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． （1）A括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用因式分解法求出方程的解，结合分式有意义的条件，再代入化简后的代数式中计算即可． 解：（1）解： ； （2）解：， ∴， 解得：，， ∵分式有意义， ∴，， ∴当时， 原式． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·重庆·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，得到或，当时，解得；当时，方程无实数解；即可得到答案； （2）整理方程得到，用因式分解法解方程即可． 解：（1）解： 设，则原方程化为， 解得或， 当时，解得； 当时，方程无实数解； ； （2）解： 或 解得：． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解， （1）根据方程的根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入，可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式可确定的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出，． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根， ∴， ∴解得：， ∴的范围是； （2）∵，是方程的两个实数根 ∴，， ∴ ∵， ∴． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求a的值； （2）若，求方程的两个根； （3）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】（1）；（2），；（3）1，2 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用、求解方程的根以及根据方程根的情况求参数取值，解题关键是熟练运用方程根的性质代入计算、选择合适方法解方程以及利用判别式建立不等式求解参数 ． （1）把代入方程求出a即可． （2）将代入方程，解一元二次方程即可； （3）由题意可得，根据不等式，求出的取值范围，再结合是正整数求解． 解：（1）解：把代入得： ， 解得； （2）代入方程得 ， 解得， ． （3）解：∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ． ∵又因为是正整数且， ∴所以满足条件的正整数的值为，． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）利用数学的“转化”思想，我们可以将一些新的方程转化成我们熟悉的方程来解．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，分别解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 【答案】（1），2；（2）；（3） 【分析】本题考查了解无理方程和高次方程，掌握一元二次方程的解法、因式分解、勾股定理及无理方程的解法是解决本题的关键； （1）利用因式分解法求解； （2）方程的两边平方，把根式方程化为整式方程，求解即可； （3），先根据勾股定理用含的代数式表示出与，再利用线段的和差关系得方程，最后解无理方程即可得结论． 解：（1）解：， ， ． 或或． ，，． 故答案为：，2． （2）解：， 方程的两边平方，得，即． ． 或． 或． 经检验，不是原方程的解． 原方程的解为． （3）解：设，则． 在和中， ，， ， ． 两边平方，得， ， 方程两边平方，得， 整理，得． ． ． 经检验，是原无理方程的解． ． 答：长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$