专题21.12 实际问题与一元二次方程（分层专项练习）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

专题21.11 实际问题与一元二次方程（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 2．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量为：，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可． 解：设每个月销量的平均增长率为， 则三月份的销量为：， 则根据题意有： ， 故选：D 3．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 4．（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 5．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 解：依题意得： ， 整理得， 解得（不合题意舍去），， 即行驶需要． 故选：C. 6．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，进行列出方程，即可作答． 解：∵设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场， ∴， 故选：D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 解：根据题意得：， 故选：C． 8．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知，，，，则，然后列出，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可． 解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得，， 解得，，， 经检验，，均为原方程的解， 故答案为：或． 10．（24-25九年级下·重庆·期中）目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均增长率为，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年全市机器人台数年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 解：设这两年全市机器人台数年平均增长率为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为，则另一个正数为，根据两个数的积是15，列出一元二次方程，解方程即可求解． 解：设其中一个正数为，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． 12．（2025·江苏扬州·一模）在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案大1，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．根据题意得关于a的方程为，解方程即可． 解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即a的值为1， 故答案为1． 13．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 【答案】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴， 故答案为： 14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25八年级下·上海·期末）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘以可得一个关于的一元二次方程，利用因式分解法解方程可得的值，然后进行检验即可得． 解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 合并同类项，得，即， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，和都是分式方程的解， 所以方程的解为或． 16.（8分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率． （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 【答案】（1）；（2）10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据商场获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 解：（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元． 17.（8分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：不能，见分析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是，，则，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 解：任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 18.（8分）（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． （1）求与之间的函数关系式； （2）水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】（1）；（2）水杯的售价为50元或38元． 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 解：（1）解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． （2）解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润．已知第一年的利润率为x，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率为，这样第二年净得利润112万元，可求得第一年的利润率x为（   ） A．10% B．11% C．12% D．13% 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是利用本金×利润率=利润列式解一元二次方程． 第一年的利润率为，则第一年的利润为，第二年的利润率为，由题意列方程即可得出结论． 解：根据题意可知：第一年的利润为万元，第二年的利润率为，利润为万元， 则可得方程:， 解得，（舍去） 故选：C． 20．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价足25元时，每天的销售置为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．要使每天所得的销售利润为2000元，则销售单价为（   ） A．30元 B．40元 C．30元或40元 D．10元或20元 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是找到等量关系列出方程．设该文具销售单价为x元，根据销售利润为2000元列一元二次方程求解． 解：设该文具销售单价为x元， 根据题意得：， 解得，或， 故选C． 21．（2025·山西朔州·三模）如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点，，，正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 解：设的长为，则， 由题意得， 故选：A． 22．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）两个实数之和为2，之积为，则这两个数中较小的数是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设较大的数为，那么较小的数为，根据它们的积为，列出方程，求出的值，再根据两数之积为负数，则这两两个数为一正一负，即可解答． 解：设较大的数为，那么较小的数为， 根据题意：， 解得：， 当时，则，符合题意； 当时，则，不符合题意； 则这两个数中较小的数是， 故答案为：． 24．（23-24九年级上·湖南常德·期中）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人， 故答案为：12． 25．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩 盒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可． 解：设该网店降价元， 则根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩， 故答案为． 26．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程是解题的关键； 分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：，此时； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， 此时． 综上所述，或． 故答案为：或． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）该方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，以及解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握相关运算步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并，再结合解一元二次方程的公式法求解，最后检验，即可解题． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，最后检验，即可解题． 解：（1）解： ， ， ， 经检验，是该方程的解， 方程的解为； （2）解： ， 经检验，使得， 是该方程的增根， 故该方程无解． 28.（12分）（22-23九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】（1）总共生产了袋手工汤圆；（2）促销时每袋应降价3元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 解：（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得（舍去） ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.11 实际问题与一元二次方程（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 4．（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 5．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 10．（24-25九年级下·重庆·期中）目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均增长率为，则值为 ． 11．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 12．（2025·江苏扬州·一模）在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案大1，则 ． 13．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25八年级下·上海·期末）解方程： 16.（8分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率． （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 17.（8分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 18.（8分）（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． （1）求与之间的函数关系式； （2）水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润．已知第一年的利润率为x，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率为，这样第二年净得利润112万元，可求得第一年的利润率x为（   ） A．10% B．11% C．12% D．13% 20．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价足25元时，每天的销售置为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．要使每天所得的销售利润为2000元，则销售单价为（   ） A．30元 B．40元 C．30元或40元 D．10元或20元 21．（2025·山西朔州·三模）如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点，，，正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（   ）    A． B． C． D． 22．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）两个实数之和为2，之积为，则这两个数中较小的数是 ． 24．（23-24九年级上·湖南常德·期中）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 ． 25．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩 盒． 26．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 28.（12分）（22-23九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$