21.3 实际问题与一元二次方程（数字问题）专项练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3实际问题与一元二次方程（数字问题）专项练习 一、单选题 1．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（   ） A． B． C． D． 2．两个连续奇数的积是.下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D． 3．如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（    ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍．深度思考中… A．2 B．2或1 C． D．2或 4．若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 5．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 6．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（    ） A．95 B．59 C．26 D．62 7．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．图示为2018年的5月的月历，在此月历上任意圈出个数组成一个正方形，它们组成正方形（如），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为，这四个数的和为（    ） A． B． C． D． 9．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（    ） A．62 B．44 C．53 D．35 10．为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 二、填空题 11．两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 12．若一个数平方的2倍等于这个数的8倍，则这个数是 ． 13．如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为 ． 14．2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为 ． 15．如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 三、解答题 16．已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 17．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 18．如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 19．已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 20．第十四届国际数学教育大会（1CME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME－14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是__________； (2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.3实际问题与一元二次方程（数字问题）专项练习2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D D C B C D 1．B 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设较小的正偶数为，则较大的为，根据积为列出方程，解一元二次方程求出，再计算两数之和； 【详解】解：设较小的正偶数为，则较大的为， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴ 两个正偶数为和， ∴ 和为； 故选：B 2．C 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设两个连续奇数为和，则，据此即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数为和，   ∴ ，   即 ∴或 ； 当时，奇数为和；   当时，奇数为和； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 根据题意列出方程，化简后求解一元二次方程，即可解题． 【详解】解：设这个数为 ，依题意得： ， 去括号得：， 移项得：， 因式分解得：， ∴ 或 ， 即：这个数是1或． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，未知数表示出这三个连续偶数列出方程是解题的关键．设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、，然后根据它们的平方和等于56列出方程，解之即可． 【详解】解：设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、， 根据题意可得， 解得， ∴这三个数分别为、、或2、4、6． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知最小数为，然后可列出方程进行求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选D． 6．D 【分析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，根据等量关系：新两位数与原两位数的积为1612，列出方程求解即可． 【详解】解：令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，则 （10x+y）×（10y+x）=1612，即（11x-4）×（11x-40）=1612， 解得x=6， 10x+y=60+（6-4）=62． 故这个两位数是62． 故选：D． 【点睛】此题考查了组成数的数字的特点，也考查了用数字如何表示几位数． 7．C 【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 8．B 【分析】设圈出的四个数中最小数为x，则其它三个数分别为x+1，x+7，x+8，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入（x+x+1+x+7+x+8）中即可求出结论． 【详解】解：设圈出的四个数中最小数为x，则其它三个数分别为x+1，x+7，x+8， 依题意，得：x（x+8）=128， 解得：x1=8，x2=-16（不合题意，舍去）， ∴x+x+1+x+7+x+8=48． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．C 【分析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,根据题意列出一元二次方程即可求解. 【详解】设个位数为x，则十位上的数为8-x, 由题意得[10×（8-x）+x] [10x+8-x]=1855, 解得x=3或5， 故较大的数为53，故选C. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是表示出对调前后的两位数表示. 10．D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设小康和小明两人所集赞数量为，根据两数之积为960，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为，根据题意： 整理得： 解得：（舍去，不符合题意）， 则（个） 小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 12．0或4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个数为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个数为，则根据题意得． 移项得， 提取公因式得， 所以或． 故答案为：0或4． 13． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 14．6 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意，得， 整理，得， 解得，，（不合题意，舍去）， 故答案为：这个最小数为6． 15． 【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题． 【详解】解：第一行有个点，第二行有个点第行有个点， 根据前行共有个点， 可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(舍去)， 的值为． 故答案为： ． 16．（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 17．(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 18．(1) (2)552 (3)两人的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， 的最大值为． 故答案为：552； （3）两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月8日为周三，符合题意， 子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月6日为周一，符合题意， 瑾萱的说法正确． 19．(1) (2)这四个正整数为，，， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程即可求解； （1）令，则原方程为：，结合可得答案； （2）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴化为：， 解得：或， ∵， ∴， ∴； （2）解：设最小的数为，则， ∴， 设，则， 解得：，， ∵是正整数， ∴， 解得：，(舍去)， ∴这四个正整数为，，，． 20．(1) (2)7． 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）根据题意有：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故的值为． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $