精品解析：湖北省武汉市2024-2025学年 下学期期末考试七年级数学试卷

2024~2025学年度下学期期末考试七年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号抹黑． 1. 的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 下列坐标中，在第四象限内的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等式组中两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 4. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查武汉市中学生的睡眠时间 C. 了解某班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车的抗撞能力 5. 若，则下列式子一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，以下说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度，则第秒时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，为上一点（在点左侧），直线交于，交于，且，若点为射线上一点，平分平分交于，交于，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：=___． 12. 在平面直角坐标系中，若将点先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点，则点的坐标为___________． 13. 统计得到的一组数据最大值为139，最小值为48，取组距为10，可分成__________组． 14. 已知关于的方程组，若其解互为相反数，则的值为___________． 15. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作恰好进行两次停止，则x的取值范围是______． 16. 下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 三、解答题（共8大题，共72分） 17. 解答下列各题． （1）计算： （2）解方程组： 18. 解不等式组请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得______________； （2）解不等式②，得_____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是_____________． 19. 近年来，“碳达峰、碳中和”话题持续升温，是环保领域的技术前沿．某校准备调查八年级学生对“碳达峰、碳中和”知识的了解程度． （1）在确定调查方式时，三个同学设计了以下三种方案： 甲：调查八年级部分女生； 乙：调查八年级部分男生； 丙：到八年级每个班去随机调查一定数量的学生． 则，其中最具代表性的一个方案是______（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）老师采用了最具代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图1和图2），请根据图中信息，解答下列问题； 图1 图2 ①本次调查的学生人数为______人； ②请通过计算将两幅统计图补充完整； ③在扇形统计图中，求“比较了解”所在扇形的圆心角的度数． 20. 如图，已知，，点在直线上且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点（网格线的交点为格点），仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）直接写出，两点的坐标：___________，___________； （2）平移线段到，使点的对应点为点． ①请画出平移后的线段； ②连接，在轴上找一点，使得； ③请找格点，使三角形的面积为2，则满足条件的点有___________个． 22. 我市为美化城市，有关部门决定利用甲种花卉和乙种花卉搭配成、两种园艺造型摆放在主干道两侧．搭配数量如下表所示： 甲种花卉（盆） 乙种花卉（盆） 种园艺造型（个） 80盆 40盆 种园艺造型（个） 50盆 90盆 （1）已知搭配一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元．若园林局搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元．则两种园艺造型的成本分别是多少元？ （2）如果搭配、两种园艺造型共50个，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有哪几种？ （3）在（1）的条件下，若一个种造型的售价是285元，一个种造型的售价是370元，为提高销量，决定对种造型进行促销，每售出一个种造型，返还顾客元，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为___________．（直接写出结果） 23. 已知，，． （1）如图1，判断与的位置关系，并说明理由； （2）作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； （3）如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中是的立方根，且满足． （1）直接写出、、三点坐标：___________，___________，___________； （2）如图1，将三角形向左平移个单位，三角形被轴分成面积比为的两个部分，求的值． （3）如图2，将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一动点，点为第一象限内动点，且，连接，若，直接写出点的纵坐标（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期期末考试七年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号抹黑． 1. 的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根； 根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列坐标中，在第四象限内的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了第四象限内点的坐标特点，熟知第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负是解题的关键． 【详解】解：∵第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 3. 一个不等式组中两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就组成的不等式组就满足条件． 【详解】由数轴得出， 这个不等式组的解集为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 4. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查武汉市中学生的睡眠时间 C. 了解某班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车的抗撞能力 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； B．调查武汉市中学生的睡眠时间，所费人力、物力和时间较多，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； C．了解某班学生的数学成绩，易于调查，适宜采用全面调查，故本选项符合题意； D．调查某批次汽车的抗撞能力，调查具有破坏性，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5. 若，则下列式子一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质并准确运用是解题关键． 根据不等式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：、由得，原变形错误，故此选项不符合题意； B、由得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，以下说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：若，则， 故A说法正确，不符合题意； 若，不能判定， 故B说法错误，符合题意； 若，则， 故C说法错误，符合题意； 若，则， 故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 8. 关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，熟练掌握一元一次不等式组和二元一次方程组的解法是解此题的关键． 先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的方法求出不等式组的解集，根据不等式组的解集为得出方程组，再求出方程组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为：， 关于x的不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A 9. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度，则第秒时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了规律型∶点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，找出坐标规律． 先求出点P每秒走的路程，由此计算P运动后的各点坐标，观察坐标得出∶点P运动n秒后的横坐标为n，纵坐标依次按照的顺序循环，按照此规律进行解答即可． 【详解】解∶半径为1个单位长度的半圆的周长为， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度， ∴点P每秒走个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为． 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为， ．．．．．． 点P运动n秒后的横坐标为n，纵坐标依次按照的顺序循环， ， 的坐标是， 故选∶B． 10. 如图，，为上一点（在点左侧），直线交于，交于，且，若点为射线上一点，平分平分交于，交于，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，分点P在线段上和在射线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点P在线段上时，如图： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点P在射线上时，如图： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，若将点先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查坐标与图形变化-平移，掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．利用点平移的坐标规律，把点的横坐标加3，纵坐标加3即可得到点的坐标． 【详解】解：∵将点先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 13. 统计得到的一组数据最大值为139，最小值为48，取组距为10，可分成__________组． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是组数的计算，属于基础题，只要根据组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”来解即可．根据组数（最大值最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：∵极差为， ∴由， 所以可分10组， 故答案为：10． 14. 已知关于的方程组，若其解互为相反数，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数，两个方程相减，结合互为相反数的两数之和为0，列出关于的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：2． 15. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作恰好进行两次停止，则x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式，根据第二次操作后停止可得不等式，由此建立不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键． 16. 下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识逐项判断即可． 【详解】解：①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题； ②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题． ③解方程组可得：，则， 所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题． ④因为正实数的平方根是和， 所以，即，且， 因为， 所以，即， 因为正实数，则，④是真命题． ⑤：设， 当时，； 当时，； 当时，． 所以的最小值是3， 若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 三、解答题（共8大题，共72分） 17. 解答下列各题． （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、乘方，解二元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算算术平方根、乘方、立方根，再运算减法，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 再代入①得：， ∴， ∴方程组的解． 18. 解不等式组请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得______________； （2）解不等式②，得_____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是_____________． 【答案】（1） （2） （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解不等式，得； 故答案为：． 【小问2详解】 解不等式，得； 故答案为：， 【小问3详解】 把不等式和的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 由图可知原不等式组的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 近年来，“碳达峰、碳中和”话题持续升温，是环保领域的技术前沿．某校准备调查八年级学生对“碳达峰、碳中和”知识的了解程度． （1）在确定调查方式时，三个同学设计了以下三种方案： 甲：调查八年级部分女生； 乙：调查八年级部分男生； 丙：到八年级每个班去随机调查一定数量的学生． 则，其中最具代表性的一个方案是______（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）老师采用了最具代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图1和图2），请根据图中信息，解答下列问题； 图1 图2 ①本次调查的学生人数为______人； ②请通过计算将两幅统计图补充完整； ③在扇形统计图中，求“比较了解”所在扇形的圆心角的度数． 【答案】（1）丙 （2）①，②见详解，③ 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用． （1）由于学生总数比较多，采用抽样调查方式，甲方案、乙方案只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，丙方案的抽样具有代表性，则应选丙方案； （2）①根据不了解为5人，所占百分比为，得出调查的总人数；②用总人数减去不了解和比较了解的人数得出了解一点的人数，问题随之得解；③用乘以“比较了解”的百分比可得． 【小问1详解】 甲方案、乙方案只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，丙方案的抽样具有代表性，则应选丙方案， 故答案为：丙； 【小问2详解】 ①根据题意得：样本总量（人）， 故答案为：； ②了解一点的人数是：（人）， 了解一点的人数所占的百分比是：； 比较了解的所占的百分是：， 补全两个统计图如图所示： ③ “比较了解”所在扇形的圆心角的度数是：， 答：“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是． 20. 如图，已知，，点在直线上且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，以及平行线的性质，是解题的关键： （1）根据，得到，进而得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，求出的度数，利用（1）的结论结合角之间的和差关系，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点（网格线的交点为格点），仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）直接写出，两点的坐标：___________，___________； （2）平移线段到，使点的对应点为点． ①请画出平移后的线段； ②连接，在轴上找一点，使得； ③请找格点，使三角形的面积为2，则满足条件的点有___________个． 【答案】（1） （2）①图见解析②图见解析③8 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，坐标与图形，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （2）①根据对应点的坐标，确定平移规则，画出线段即可； ②根据平移的性质，得到，进而得到，进而得到，得到，利用平移思想，画出点即可； ③根据三角形的面积为2，画出点，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图可知：； 【小问2详解】 解：①如图，线段即为所求； ②如图，点即为所求； ③如图，满足条件的点有8个； 由图可知：，满足题意， 再根据平行等积转化，作的平行线，即可确定满足条件的点的个数． 22. 我市为美化城市，有关部门决定利用甲种花卉和乙种花卉搭配成、两种园艺造型摆放在主干道两侧．搭配数量如下表所示： 甲种花卉（盆） 乙种花卉（盆） 种园艺造型（个） 80盆 40盆 种园艺造型（个） 50盆 90盆 （1）已知搭配一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元．若园林局搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元．则两种园艺造型的成本分别是多少元？ （2）如果搭配、两种园艺造型共50个，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有哪几种？ （3）在（1）的条件下，若一个种造型的售价是285元，一个种造型的售价是370元，为提高销量，决定对种造型进行促销，每售出一个种造型，返还顾客元，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为___________．（直接写出结果） 【答案】（1）两种园艺造型成本分别为200元和300元 （2）一共有三种方案：A种园艺造型31，B种园艺造型19；A种园艺造型32，B种园艺造型18；A种园艺造型33，B种园艺造型17 （3）15 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，整式加减中的无关型问题： （1）设A种园艺造型的成本为元，B种园艺造型的成本为元，根据一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元，搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元，列出方程组进行计算即可； （2）设搭配A种园艺造型m个，搭配B种园艺造型个，根据题意，列出不等式组进行求解即可； （3）设总利润为，进而推出，根据三种费用的利润相同，即利润与的值无关，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种园艺造型的成本为元，B种园艺造型的成本为元， 根据题意得：， 解得：； 答：两种园艺造型成本分别为200元和300元； 【小问2详解】 解：设搭配A种园艺造型m个，搭配B种园艺造型个， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； 故共有3种方案：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；A种园艺造型33个，B种园艺造型17个； 【小问3详解】 解：设总利润为， 由题意，得： ， ∵三种费用的利润相同，即利润与的值无关， ∴， ∴． 23. 已知，，． （1）如图1，判断与的位置关系，并说明理由； （2）作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； （3）如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 【答案】（1），理由见详解 （2） （3）4或6或26 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、与角平分线相关的计算等知识，正确理解题意，画出符合题意的图形是解题的关键． （1）利用平行线的性质与判定定理得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质与角平分线的定义，根据角的计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：当旋转到，时；当旋转到，时；当旋转到，时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如下图，过点作， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当旋转到，时，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ②当旋转到，时，如下图， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ③当旋转到，时，如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴． 综上所述：为4或6或26． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中是的立方根，且满足． （1）直接写出、、三点坐标：___________，___________，___________； （2）如图1，将三角形向左平移个单位，三角形被轴分成面积比为的两个部分，求的值． （3）如图2，将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一动点，点为第一象限内动点，且，连接，若，直接写出点的纵坐标（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）或3 （3）或 【解析】 【分析】1）根据立方根定义求出a的值，根据非负数的性质求出b、c的值，即可得出答案； （2）先求出，再求出面积小的那个部分为，共有两种情况分别画出图形，求出结果即可； （3）先求出平移后点A的坐标为，，连接，过点A作轴于点M，过点B作轴，求出，再求出，分两种情况：当点G在下方时，当点G在上方时，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵是的立方根，且满足， ∴，，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵要将面积分为两个部分， ∴面积小的那个部分为， 共有两种情况： ①如图1，设与y轴交于点，平移后点坐标分别为，， 则，，连接， ，即， 解得：， ， ， 开平方得：， 解得：或， ∵， ∴； 如图2，设与轴交于点，平移后点坐标分别为，，，则，连接． 同理：， 即， 解得：， ， 开平方得：， 解得：或9， ∵当时，三角形都在轴左侧，不符合题意， ； 综上所述，或3； 【小问3详解】 解：根据平移可知，平移后点A的坐标为，， 连接，过点A作轴于点M，过点B作轴，如图所示： 设与y轴交于点P，设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∵，，，，，， ∴ ， 当点G在下方时，如图所示： ， ∵， ∴， 解得：； 当点G在上方时，如图所示： ， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：点纵坐标为或． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，坐标与平移，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $