重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高一下学期强基期中测试数学试题

高 27 高一下强基期中测试题 一、单选题 1. 若 是 的三个内角,且 ,则下列结论中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2. 在 中,设角 所对的边长分别为 ,且 ,则 面积的最大值为( ) A. B. C.2D.4 3. 已知 为单位向量,且 ,则 的最小值为( ) A. 2 B. C. 4 D. 6 4. 如图,在等腰直角三角形 中,斜边 为线段 上的动点 (包含端点), 为 的中点. 将线段 旋转得到线段 ,则 的最小值为( ) A. -2 B. C. -1 D. 5. 在 中,角 的对边分别是 ,若 ,则角 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. 在 中, 为 边上任意一点, 为线段 上任意一点,若 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 7. 在平面四边形 中, ,则四边形 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 8. 如图, 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形,若 ,点 为线段 上的动点,则 的最大值为( ) A. B. C. 6 D. 10 9. 在锐角三角形 中, 的对边分别为 ,且满足 ,则 的取值范围为( ) A.(1,5) B. C. D. 10. (2020 高三强基计划) 假设三角形三边长为连续的三个正整数,且该三角形的一个角是另一个角的两倍, 则这个三角形的三边长为 ( ) A.4,5,6 B.5,6,7 C.6,7,8 D. 前三个答案都不对 11. (2023 北京高三强基计划) 已知 为 的外心, , 则( ) A. 的最小值为 ,此时 为直角三角形 B. 的最大值为 ,此时 为直角三角形 C. 的最小值为 ,此时 为等边三角形 D. 的最大值为 ,此时 为等边三角形 12. 在锐角 中,角 的对边分别为 为 的面积,且 ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题 13. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来, 是平面向量中一个非常优美的结论. 奔驰定理与三角形四心 (重心、内心、外心、垂心) 有着神秘的关联. 它的具体内容是: 已知 是 内一点, 的面积分别为 ,且 . 以下命题正确的有 ( ) A. 若 ,则 为 的重心 B. 若 为 的内心,则 C. 若 为 的外心,则 D. 若 为 的垂心, ,则 14. 已知平面向量 满足 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 的最小值为 B. 若 ,则 的最大值为 C. 若向量 满足 ,则 的最大值是 D. 若向量 满足 ,则 的最小值是 2 15.如图, 的内角 ,所对的边分别为 . 若 ,且 , 是 外一点, ,则下列说法. 正确的是 ( ) A. 是等边三角形 B. 若 ,则 四点共圆 C. 四边形 面积最小值为 D. 四边形 面积最大值为 16. 在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,且 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 若 ,则 的外接圆的面积为 B. 若 ,且 有两解,则 的取值范围为 C. 若 ,且 为锐角三角形,则 的取值范围为 D. 若 ,且 为 的内心,则 的面积为 三、填空题 17. 已知三角形 中,点 分别是 的重心和外心,且 , 则边 的长为_____. 18. 已知平面单位向量 满足 ,设 ,向量 的夹角为 ,则 的最小值是_____ 19. 在 中,点 是 上的点, 平分 面积是 面积的 2 倍,且 ,则实数 的取值范围为_____；若 的面积为 1,当 最短时, _____. 20. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 ,则实数 的取值范围为_____. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高 27 高一下强基期中测试题 一、单选题 1. 若 是 的三个内角,且 ,则下列结论中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由 ,则 ,而 ,则 , A 错； 由 ,结合余弦函数性质知: , 对; 对于 ,则 、 错；故选: 2. 在 中,设角 所对的边长分别为 ,且 ,则 面积的最大值为( ) A. B. C.2D.4 【答案】A 【详解】因为 ,由正弦定理可得 , 即 ,即 ,所以 ,又 , 则 ,又因为 ,即 ,所以 , 当且仅当 时取得等号,所以 ,即 面积的最大值为 ,当且仅当 时取得. 故选:A. 3. 已知 为单位向量,且 ,则 的最小值为 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】B 【详解】 为单位向量,有 ,得 ,由 , 得 ,有 ,所以 有 ,则 , 当且仅当 与 方向相反时 “ ” 成立,如 时,可使 “ = ” 成立. 所以 . 故选: B. 4. 如图,在等腰直角三角形 中,斜边 为线段 上的动点 (包含端点), 为 的中点. 将线段 绕着点 旋转得到线段 , 5. 则 的最小值为 A. -2 B. C. -1 D. 【答案】 【详解】解法一: 连接 , 则 , 当 时, 最小,即 ,结合 , 得 的最小值为 . 解法二 (极化恒等式法): 依题意 为线段 的中点, 则 由于 ,所以 的最小值为 . 故选: D 5. 在 中,角 的对边分别是 ,若 ,则角 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【详解】由题知, ,在 中, ,当且仅当 时取等号, 又 不是三角形的最大边,所以 为锐角,所以 的取值范围是 . 故选: B. 6. 在 中, 为 边上任意一点, 为线段 上任意一点,若 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意知,当点 与点 重合时, 三点共线,此时, ,当点 与点 重合时, ,当点 在 之间运动时,过点 做 的平行线,则 ,所以 7. 在平面四边形 中, ,则四边形 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】 【详解】由余弦定理知: 在 中,有 ,在 中,有 ,则 ,由四边形 的面积 三角形 的面积+三角形 的面积, 故 , 在三角形中,易知 , 当且仅当 时等号成立,此时 , 故 ,故选: A. 8. 如图, 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形,若 ,点 为线段 上的动点,则 的最大值为 ( ) A. B. C. 6 D. 10 【答案】 【详解】根据题意可得, ,所以 ,又因为 ,所以 ,设 , 则 ,所以 , 所以 ,令 ,当 单调递增, 单调递减, 当 取最大值为 10. 故选: D 9. 在锐角三角形 中, 的对边分别为 ,且满足 ,则 的取值范围为 ( ) A.(1,5)B. C. D. 【答案】D 【详解】由余弦定理可得 ,整理可得 , 由正弦定理可得 ,因为 , 则 ,因为正弦函数 在 上单调递增,所以, , 所以, ,则 ,因为 为锐角三角形,则 , 解得 ,则 , 所以, ,令 ,则函数 在 上为增函数,故 10. (2020 高三强基计划) 假设三角形三边长为连续的三个正整数,且该三角形的一个角是另一个角的两倍, 则这个三角形的三边长为 ( ) A.4,5,6B.5,6,7C.6,7,8D. 前三个答案都不对 【答案】A 【详解】解法一 设 的三边长分别为 ,则 ,于是 . 不妨设 ,则根据余弦定理,三个内角 的余弦值分别为: , 容易知道随着 的增大, 增大, 减小,于是角 减小,角 ,角 增大. 接下来验证有限的几个 即可. 当 时, ,不符合题意. 当 时, ,不符合题意. 当 时, ,有 ,符合题意. 当 时,由于角 减小,角 增大,必然有 ,不符合题意. 综上所述,这个三角形的三边长为4,5,6. 解法二 在 中, ,角 所对的边分别为 ,则根据正弦定理和余弦定理, ,即 ,整理得 . 由于 ,可得 . 又 ,于是 必然不为相邻的整数 (否则 互质,右边不为整数),因此 ,代入解得 ,因此该三角形的三边长为 4,5,6 .11. 11.(2023 北京高三强基计划) 已知 为 的外心, , 则( ) A. 的最小值为 ,此时 为直角三角形 B. B. 的最大值为 ,此时 为直角三角形 C. 的最小值为 ,此时 为等边三角形 D. 的最大值为 ,此时 为等边三角形 【答案】D 【详解】若 ,则 ,此时 为钝角三角形. 当 时,如图,设直线 交直线 于点 ,不失一般性,记 ,则 ,故可得 ,若 , 则 ,而 ,故 ,若 ,此时 , 而 ,当且仅当 为等边三角形时 取最小值 (此值为等边三角 形的高),故此时 ,综上, 的取值范围是 . 当 为等边三角形时,以 取得最大值为 ,故选: D. 12. 在锐角 中,角 的对边分别为 为 的面积,且 ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为 的面积为 所以 中, 由余弦定理得, ,则 ,因为 , 所以 ,又 , ,所以 ,化简得 , 解得 或 (不合题意,舍去); 因为 , 所以 ,所以 ,因为 , 所以 ,又因为 ,所以 , 所以 ,因为 ,所以 , 所以 ,所以 ,所以 ,设 , 其中 ,所以 ,又 , 所以 时, 取得最大值为 时, 时, ,且 ,所以 ,即 的取值范围是 ,故选: D. 二、多选题 13. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来, 是平面向量中一个非常优美的结论. 奔驰定理与三角形四心 (重心、内心、外心、垂心) 有着神秘的关联. 它的具体内容是: 已知 是 内一点, 的面积分别为 , 且 . 以下命题正确的有 ( ) A. 若 ,则 为 的重心 B. 若 为 的内心,则 C. 若 为 的外心,则 D. 若 为 的垂心, ,则 【答案】 ABD 【详解】对于 ,取 的中点 ,连接 ,由 , 则 ,所以 ,所以 三点共线,且 设 分别为 的中点,同理可得 , 所以 为 的重心,故 正确; 对于 ,由 为 的内心,则可设内切圆半径为 , 则有 , 所以 , 即 ,故 正确; 对于 ,由 为 的外心,则可设 的外接圆半径为 , 又 , 则有 , 所以 , ,所以 ,故 错误； 对于 ,如图,延长 交 于点 ,延长 交 于点 ,延长 交 于点 ,由 为 的垂心, ,则 , 又 ,则 ,设 , 则 ,所以 ,即 , 所以 ,所以 ,故 正确. 故选: ABD. 14. 已知平面向量 满足 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 的最小值为 B. 若 ,则 的最大值为 C. 若向量 满足 ,则 的最大值是 D. 若向量 满足 ,则 的最小值是 2 【答案】 ACD 【详解】选项 A,因为 ,所以 , , ,所以 时, 取得最小值 正确; 选项 B. ,当且仅当 时等号成立, B 错； 选项 ,又 , 所以 ,作 , ,以 为圆心, 为半径作圆,如图,当 是圆 的优弧 上点时,即 时,满足 ,再作 点关于直线 的对称点 ,以 为圆心, 为半径作圆,当 是圆 的优弧 上点时,即 时,也满足 ,当 不是这两段优弧上的点时,都不满足 ,即不满足 是等边三角形,因此 ,两圆半径都是 2,由图可知 即 的最小值是 2,最大值是 都正确,故选: ACD. 15.如图, 的内角 ,所对的边分别为 . 若 ,且 , 是 外一点, ,则下列说法. 正确的是 ( ) A. 是等边三角形 B. 若 ,则 四点共圆 C. 四边形 面积最小值为 D. 四边形 面积最大值为 【答案】 ABD 【详解】由正弦定理 ,得 是等腰 的底角, 是等边三角形, 正确； 对于 ,若 四点共圆,则四边形对角互补, 由 正确知 ,但由于 时, 正确. 对于 、 ,设 ,则 所以四边形 的面积 , , 四边形 的面积 不正确, D 正确; 故选: ABD 16. 在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,且 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 若 ,则 的外接圆的面积为 B. 若 ,且 有两解,则 的取值范围为 C. 若 ,且 为锐角三角形,则 的取值范围为 D. 若 ,且 为 的内心,则 的面积为 【答案】ACD 【详解】因为 ,所以由正弦定理,得 , 即 ,因为 ,所以 ,且 ,所以 . 选项 A: 若 ,则 ,所以 的外接圆的直径 ,所以 ,所以 的外接圆的面积为 ,选项 正确；选项 B: 由余弦定理 得 ,将此式看作关于 的二次方程 ,由题意得此方程有两个正解,故 所以选项 错误；选项 : 由正弦定理,得 ,即 ,因为 , 所以 ,因为 为锐角三角形,所以 ,即 ,所以 ,故 选项 C 正确; 选项 D : 因为 ,由正弦定理得 ,因为 ,所以 ,所以由正弦定理 ,得 ,即 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,又因为 ,所以 ,故 ,解得 ,因为 ,所以 ,即 是直角三角形,所以内切圆的半径为 ,所以 的面积为 ,选项 D 正确. 故选: ACD. 三、填空题 17. 已知三角形 中,点 分别是 的重心和外心,且 , 则边 的长为_____. 【详解】如图,延长 交 于 ,连接 ,作 于 ,则 分别是 的中点, ,同理 , , ,又 ,即 , ,所以 ,即 ,所以 ,故答案为: 6 . 18. 已知平面单位向量 满足 ,设 ,向量 的夹角为 ,则 的最小值是_____ 【答案】 【详解】 , ; 设 ,则 ,令 ,则 ,即 的最小值为 . 故答案为: . 19. 在 中,点 是 上的点, 平分 面积是 面积的 2 倍,且 ,则实数 的取值范围为_____；若 的面积为 1,当 最短时, _____. 【答案】 【详解】由 面积是 面积的 2 倍,即 ,如上图,过 作 交 延长线于 ,又 平分 ,所以 ,即 ,且 ,故 ,若 ,又 ,则 且 , 中, ,可得 ,故 ；由角平分线性质知: ,则 ,若 ,则 ,又 , 即 ,则 ,故 ,所以 ,可得 ,由 ,令 则 ,所以 时 ,即 ,此时 ,即 . 故答案为: . 20. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 ,则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【详解】在 中,由 可得 ,又因为 ,所以 ,即 则 ,所以可得 ,由正弦定理得 . 又 可知 . 又 为锐角三角形,所以 ,由余弦定理得 . 所以 ,即 ,所以 ,解得 . 又 ,所以 . 又因为 ,所以 ,即 . 令 ,则 ,则 . 因为 在 上单调递增,又 ,所以实数 的取值范围为 . 故答案为: 学科网（北京）股份有限公司 $$