18.1 平行四边形的性质与判定 暑假作业 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

限时练习：40min        完成时间： 月 日 天气： 18.1平行四边形的性质与判定 【知识点1  平行四边形的概念】 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2.表示方法 平行四边形通常用符号“▱”表示．以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列． 【知识点2  平行四边形的性质】 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【拓展延伸】 （1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答. （2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据. （3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形. （4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 【规律方法】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 【知识点3  两条平行线之间的距离】 1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2.性质： ①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. ②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等. 【知识点4  平行四边形的判定】 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形ABCD是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形ABCD是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 【知识点5  三角形的中位线及其定理】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1  平行四边形的性质】 1．如图，在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．1 D．1.5 3．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，则N点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，的对角线交于点O，E为的中点，F为的中点，若，，，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 6．如图，在中，平分交于点E，过点C作交于点F，G是的中点，连接，若，则（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 7．如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（    ）    A．12 B．16 C．24 D．36 8．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型2  平行四边形的判定】 9．已知四边形的对角线，交于点，从下列四个条件中选择两个，则选项中的组合能使四边形是平行四边形的是（    ） ；；； A．①② B．②④ C．①③ D．①④ 10．下面各项不能判断是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．如图，的对角线交于点O，M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形是平行四边形的是（    ）    甲：使，； 乙：使均经过点O； 丙：使经过点O，且 A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 12．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：①；②DE=BF；③；④，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ； 【题型3  三角形的中位线定理】 14．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A．25° B．30° C．45° D．35° 15．如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 16．如图，在中，平分，D是的中点，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 17．【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【题型4  平行四边形的判定与性质】 18．如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 19．已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 20．如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 21．如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 22．如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【题型5  平行四边形中多结论问题】 23．如图，在平行四边形中，于⊥于F，相交于与的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图，在平行四边中，是上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接，下列结论中：①，②四边形是平行四边形，③若，则，④，其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6  平行四变形中的动点问题】 26．如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（    ） A． B．3 C．3或 D．或 27．如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（    ）    A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 28．如图，在中，对角线相交于点O．点E在上，，，，点F是的中点，若点P以的速度从点A出发，沿向点E运动，点N同时以的速度从点C出发，沿向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 s时，以点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 【题型7  平行四边形中求最值问题】 29．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（　　）    A．2 B． C． D． 30．如图，在中，，，点P是边上的动点，连接，，E是的中点，F是的中点，则的最小值是 ． 31．在四边形中，对角线和交于点O，且，，，则的最小值是 ． 32．如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．如图，中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有（    ） 甲方案：在上取，． 乙方案：作于，于． 丙方案：作，分别平分，． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 34．现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（    ）    A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 35．定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 ． 36．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 37．如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案．    (1)正确的方案有 种； (2)针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程． 38．在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”．已知点：，，，若点，，中，是点C关于直线“平心点”的有 ；若点C关于线段的“平心点”J的横坐标为a时，则a的取值范围 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假作业03 平行四边形的性质与判定（5个知识点+7个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）》参考答案： 1．B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由垂直的定义得到，由此即可利用四边形内角和定理求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 、， ， ， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 3．B 【分析】此题考查了平行四边形的性质和平移，根据题意先确定点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，根据相同的平移方式即可得到N点坐标. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到， ∴点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，即N点坐标是， 故选：B 4．C 【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长． 【详解】如下图，AE与BF交于点O，连接EF    由作图可知，AE与BF相互垂直平分 ∵BF=6，∴BO=3 ∵AB=5 ∴在Rt△ABO中，AO=4 ∴AE=8 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分． 5．D 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求解相关线段的长． 先根据平行四边形的性质，得出，，，，再根据中位线定理，得出，，结合，可得，令，求出，，构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵E为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵于点O，点F是中点， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义求出，根据等腰三角形的判定与性质求出，再根据三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．D 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到，，，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】∵在中， ∴，，，， ∴，，， ∵，与的角平分线交于点E ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 8．B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是平行四边形， ， 的边上的高与的边上的高相等， ， ， 同理：， ， ，， ， 故阴影部分的面积为． 故选：B． 9．B 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】A： ∵ ∴ ∵， 在和，不满足三角形全等 ∴和不一定相等 ∴，不能判定四边形是平行四边形 ∴A不合题意； B： ∵， ∴ ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴B符合题意； C： ∵； ∴不满足和全等 ∴C不符合题意； D： ∵，， ∴在和，不满足三角形全等 ∴D不合题意 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 10．C 【分析】本题考查平行四边形判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，，不可以判定四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C 11．A 【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断甲；②证明，得到，同理可证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判断乙；根据已知条件经过点O，且不能证明四边形是平行四边形，即可判断丙． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ∴， ∴， ，   ， 又∵， ， ， 四边形是平行四边形，故甲符合题意； 四边形的对角线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证 四边形是平行四边形，故乙符合题意； 经过点O，同理可证得到，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形，故丙不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 12．B 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：B． 13．②③ 【分析】根据已知条件进行分析，运用平行四边形的判定条件判断即可； 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， 又∵OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形，故①正确，不符合题意； 当DE=BF时，根据已知条件不能证明四边形DEBF是平行四边形，故②符合题意； 当时，不能证明四边形DEBF是平行四边形，故③符合题意； 当时，根据已知可得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形DEBF是平行四边形；故④正确，不符合题意； 故答案是②③． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判断，准确理解是解题的关键． 14．A 【分析】根据三角形中位线定理得到EG＝AB，EG∥AB，FG＝CD，FG∥CD，根据平行线的性质求出∠EGD、∠DGF，进而求出∠EGF，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵E，G分别是AD，BD的中点， ∴EG是△ADB的中位线， ∴EG＝AB，EG∥AB， ∴∠EGD＝∠ABD＝20°， 同理可得：FG＝CD，FG∥CD， ∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°， ∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝130°， ∵AB＝CD， ∴EG＝FG， ∴∠GEF＝×（180°﹣130°）＝25°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 15．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， ， 故选：C． 16．A 【分析】延长交的延长线于点，易证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长． 【详解】延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ，点E是的中点， ，是的中位线， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 17．【三角形中位线定理】，；【应用】；【拓展】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]证明：取的中点，连接、．   、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明结论； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出、，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∵，是的边上的中线， ∴是的中位线， ∴、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，从而可证，可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）由题意求得，根据平行四边形的性质可得，，从而求得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）根据证明得，根据平行四边形判定定理可得证； （3）先证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴平行四边形的面积＝的面积． 22．(1)见解析 (2)的长是． 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 23．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．①由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③由“”可证，可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则与不全等． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确， 在和中，只有三个角相等，没有边相等， ∴与不全等，故④错误． 故选：B． 24．D 【分析】根据平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADF，AB＝CD，BC＝AD，再利用线段中点的定义可得AE＝BE＝DF＝CF，从而可得△CBE≌△ADF，即可判断①；利用①的结论可得∠BCE＝∠DAF，从而可证△CBG≌△ADH，然后利用全等三角形的性质即可判断②；先证明四边形AECF是平行四边形，从而可得EC∥AF，然后利用平行线分线段成比例可得BG＝GH＝DH，即可判断③；先证明8字模型相似三角形△ABH∽△FDH，然后利用相似三角形的性质可得＝2，从而可得△ADH的面积＝2△DFH的面积，根据△CBG≌△ADH即可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADF，AB＝CD，BC＝AD， ∵E、F分别是边AB、CD的中点， ∴AE＝BE＝AB，DF＝CF＝CD， ∴AE＝BE＝DF＝CF， ∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正确； ∵△CBE≌△ADF，BC∥AD， ∴∠BCE＝∠DAF，∠CBD＝∠ADB， ∵BC＝AD， ∴△CBG≌△ADH（ASA）， ∴CG＝AH，故②正确； ∵AE＝CF，AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴EC∥AF， ∵AE＝BE， ∴BG＝GH， ∵CF＝DF，AF∥CE， ∴GH＝DH， ∴BG＝GH＝DH， ∴BG＝GD，故③正确； ∵AB∥DF， ∴∠ABD＝∠BDF，∠BAH＝∠AFD， ∴△ABH∽△FDH， ∴＝2， ∴△ADH的面积＝2△DFH的面积， ∵△CBG≌△ADH， ∴S△CBG＝2S△FHD，故④正确； 综上所述：上列结论中，正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形的面积，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25．D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据题意得，，由三角形中位线定理可判定为的中位线，则有，，即可判定四边形为平行四边形，故②正确；结合，则，故①正确；根据假设得，利用三线合一即可得，故③正确；设点P到的距离为h，那么点P到的距离为，则，结合，故④正确． 【详解】解：∵四边形为平行四边， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∴， 则，故①正确； 若，则， ∵， ∴，故③正确； 设点P到的距离为h，那么点P到的距离为， ∵ ∴，故④正确； 故选：D． 26．D 【分析】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3-3t=t；当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3t-3=t；解方程即可． 【详解】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3-3t=t， 解得t=； 当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3t-3=t， 解得t=， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选择判定方法，合理分类是解题的关键． 27．C 【分析】过点D作于点G，由，可得是等腰直角三角形，过点F作于点H，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出t的值即可． 【详解】解：在中，cm，    如图，过点D作于点G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点H，则：四边形为矩形， ∴， ∵cm， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴cm， ∴， 解得， ∴的长为10cm时，点E的运动时间是8s， 由题意可知，点E运动最大时间为11s. 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键． 28．4或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题. 要使点为顶点的四边形是平行四边形，则需, 据此先表示出, 结合题意可得, 或, 据此可知需求得的长，由于是的中点，可将答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴, ∴. ∵, ∴, ∴. ∵, ∴. ∵点是的中点, ∴. 要使点为顶点的四边形是平行四边形，则即可. 设当点运动秒时，点为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得或, 解得或 ∴当点运动秒或 秒时, 以为顶点的四边形是平行四边形. 故答案为：或 29．B 【分析】由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于，   四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 、分别为、的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 30． 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质，垂线段最短，熟练掌握中位线的性质和垂线段最短是解题的关键，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 31． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，构造平行四边形是解题关键．以为邻边构造，再利用含的得，，再利用勾股定理得，最后利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：以为邻边构造，过C作， ， ∴， ， ， ， ， ， 最小值， 故答案为：． 32．C 【分析】延长到点G，使作直线，作于点H，由 得则求得则 ，所以再证明四边形是平行四边形，则可证明则而则 所以的最小值为于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点G， 使作直线，作于点H，如图： ∵ ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形， ∴点F在经过点G且与平行的直线上运动， ， ， ∴的最小值为 故选：C． 33．A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方案甲，连接，由平行四边形的性质得，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确； 方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确； 方案丙，证，得，，则，证出，得四边形为平行四边形，方案丙正确． 【详解】解：方案甲中，连接，如图所示： 四边形是平行四边形，O为的中点， ， ， ， 四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，四边形是平行四边形， ， ， 平分平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形，故方案丙正确； 故选：A． 34．C 【分析】根据甲乙作图的方式可得到边和角相等，再根据平行四边形的性质与判定即可解答． 【详解】解： 由甲图可知，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故甲正确； 由乙的作图可知是的角平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故乙正确； 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 35．2≤m≤4 【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BPC＝90°， 当点Q与点C重合时，如图所示： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠APB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（ASA）， ∴AB＝BC， ∵BC＝4， ∴m＝4， 当点Q与点D重合时，如图所示： 延长CP交BA的延长线于点K， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠KPB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△KBP≌△CBP（ASA）， ∴BK＝BC，KP＝CP， ∵ABCD， ∴∠K＝∠DCP， 又∵∠KPA＝∠CPD， ∴△KPA≌△CPD（ASA）， ∴CD＝AK， ∵AB＝CD， ∴BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴m＝2， 综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键． 36．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出，由，推出，由，推出． （1）由三角形中位线定理推出，即可得到，推出四边形是“等对边四边形”； （2）过作交延长线于，过作于，由补角的性质得到，由推出，得到，由推出，得到，由三角形中位线定理推出，得到，由平角定义推出，由三角形内角和定理得到，因此． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵点是对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； （2）解：过作交延长线于，过作于，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，，且， ∴． 37．(1)3 (2)见解析 【分析】（1）甲、乙、丙3种方案都正确； （2）甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得，再利用对角线互相平分得证； 丙方案：方法同乙方案． 【详解】（1）正确的方案有3种 （2）甲方案：如图，连接，则必过点，   四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形为平行四边形． 乙方案：连接，与交于点，   四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 丙方案：连接，与交于点，   四边形是平行四边形 ，，，， ， 又分别平分， ，即， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 38． D、F 【分析】本题考查一次函数，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求点C关于直线“平心点”；根据题意结合图象，得出点J的运动轨迹为点，即可求a的取值范围． 【详解】解：根据题意作图如下： ，，，，， ∴直线所在直线解析式为， 设直线所在直线解析式为， 将点代入得：， ∴直线OD所在直线解析式为， 当时，， ∴直线交直线于点， 设直线所在直线为， ， 解得， ∴直线所在直线为， 当时，， 解得， ∴直线交直线于点， ∴两个交点之间的距离为， ∵所在直线平行于x轴， ∴四边形为平行四边形，即点D符合题意； 同理可得点E不符合题意；点F符合题意； 根据题意结合图象，如图，连接，则中点即， 连接，则中点即， ∴； 故答案为：D、F；． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$