精品解析：湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

湖北省部分高中协作体2024—2025学年下学期期末联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 2. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 3. 给出下列命题，正确的命题为（ ） A. 向量的长度与向量的长度相等 B. 向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 与方向相反 D. 若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 4. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 9 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 若数据的平均数为，方差为，则的平均数和标准差分别为（ ） A. ，s B. 4-3，s C. 4-3，4s D. 4-3， 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 向量在向量上的投影向量是 11. 某校随机抽取了100名学生测量体重.经统计，这些学生的体重数据（单位:kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.07 B. 这100名学生中体重低于60 kg的人数为60 C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数为62 D. 据此可以估计该校学生体重的平均数为62.5 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知，，则______． 13. 已知向量，，与共线，则_____________. 14. 在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 16. 设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 17. 已知在中，角的对边分别为，向量，，. （1）求角C的大小; （2）若成等差数列，且，求c. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. （1）求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； （2）求证：，，三线共点. 19. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占. （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数. 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分高中协作体2024—2025学年下学期期末联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二倍角公式化简函数解析式，再判断函数的性质. 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 2. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的平移法则逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故A错误； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故D正确. 故选：D. 3. 给出下列命题，正确的命题为（ ） A. 向量的长度与向量的长度相等 B. 向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 与方向相反 D. 若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的概念和性质，判断选项. 【详解】对于A，向量的长度相等，方向相反，命题成立; 对于B，当或为零向量时，命题不成立； 对于C，若与方向相反时，有，反过来，若，当或为零向量时，不能推出与方向相反，命题不成立； 对于D，当时，因为零向量的方向任意，所以这时的方向不与的方向相同，命题不成立. 故选：A. 4. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入投影向量公式，根据向量数量积运算公式，即可求解. 【详解】因为，且与的夹角为，所以在上的投影向量为 . 故选：B. 5. 复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，根据题设条件和模的计算公式，得到，即可求解. 【详解】由z在复平面内对应的点为，即， 因为，即，可得， 整理得，即复数对应点的轨迹为方程为. 故选：A. 6. 某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值. 【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大， 如图，借助于圆锥的轴截面， 由题意可得：， 设底面对角线，则，可得， 故该正四棱柱体积， 构建，则， ∵， 当时，；当时，； 则在上单调递增，在上单调递减， ∴， 故该正四棱柱体积的最大值为8（）. 故选：B. 【点睛】方法定睛：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求导：求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)作答：回归实际问题作答． 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 8. 若数据的平均数为，方差为，则的平均数和标准差分别为（ ） A. ，s B. 4-3，s C. 4-3，4s D. 4-3， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数和标准差的公式进行求解即可 【详解】因为数据的平均数为，方差为， 所以，， 所以的平均数为 ， 标准差为 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】逆用两角差的余弦公式即可判断A，C两项；运用拆角与和角公式即可判断B项；运用诱导公式五先转化部分三角函数式，再逆用两角和的正弦公式即可判断D项. 【详解】对于A项， ，故A正确； 对于B项， ，故B错误； 对于C项， ，故C正确； 对于D项， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量模的计算和向量的投影公式对选项逐一计算判断. 【详解】，， 所以，所以不垂直，A错误； ，， 所以，B正确； ，，， 所以向量在向量上的投影向量为，C正确； ， 所以向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：BC. 11. 某校随机抽取了100名学生测量体重.经统计，这些学生的体重数据（单位:kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.07 B. 这100名学生中体重低于60 kg的人数为60 C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数为62 D. 据此可以估计该校学生体重的平均数为62.5 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合百分位数的意义逐项求解判断即可. 【详解】对于A，由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得，解得，A正确； 对于B，这100名学生中体重不低于60 kg的频率为0.2+0.1=0.3， 则这100名学生中体重低于60 kg的人数为，B错误； 对于C，前3个小矩形的面积和为0.7，前4个小矩形的面积和为0.9， 第78百分位数，则，解得，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】将平方，结合可得， 利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案. 【详解】将平方得， 结合可得，即， 则 ， 故答案为：0 13. 已知向量，，与共线，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为_________. 【答案】8 【解析】 【分析】如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F．过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．可得四点EFMN共面，进而得到，根据比例可求出截面各边的长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F 过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N. 由作图可知：EN∥FM， ∴四点EFMN共面 可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM. ∴ 可得EF=MN=2. 同理可得：EN=FM=2. ∴截面的周长为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由结合与的范围，求出和，代入二倍角的正余弦公式即可计算出和的值； （2）确定范围，由的值计算出，利用和两角差的正弦公式计算出，即可得出角. 【小问1详解】 因为，，且， 所以，即， 代入，得，， 因为，所以，，故， 则， 根据二倍角的正余弦公式：， . 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 故 ， 因为，所以. 16. 设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值； (2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：， 函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为. (2)由函数的解析式可得： . 据此可得函数的值域为：. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17. 已知在中，角的对边分别为，向量，，. （1）求角C的大小; （2）若成等差数列，且，求c. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）由已知、向量数量积坐标表示及和角正弦公式得，再由二倍角正弦公式化简，即可得； （2）根据等差数列的性质、正弦边角关系得，再由向量减法法则及数量积的定义得，最后应用余弦定理求边长. 【小问1详解】 由题设，又， 在中，，则， 所以，故. 【小问2详解】 由成等差数列，可得，则， 因为，所以，即，所以. 由余弦定理，得， 所以，所以. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. （1）求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； （2）求证：，，三线共点. 【答案】（1） 如图①，连接，，， 因为E，H分别是棱，的中点，所以， 又F，G分别是棱，的中点，所以， 故， 所以E，F，G，H四点共面. 平面与该正方体各面的交线如图①（多边形）所示. （2） 如图②，易知，且，所以与必相交，设交点为P， 又由，平面，得平面， 同理平面， 又因为平面∩平面，所以， 所以，，三线共点. 【解析】 【分析】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行，通过证明与都平行于正方体中的某条棱，进而证明，E，F，G，H四点共面； （2）通过分别找出与延长线的交点，与延长线的交点，证明这两个交点重合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占. （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数. 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可； （2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率； （3）先利用题目所求标准差公式求得，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数. 【小问1详解】 依题意，得 ， 所以抽取的200名学生的平均成绩. 【小问2详解】 由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人， 这7个人中，不是高三学生设为，其中3个高三学生设为， 从7人中抽取2人，共有：，，共有21种抽法， 其中这2人都是高三学生为：，共有3种抽法， 由古典概型得，这2人都是高三学生的概率为． 【小问3详解】 依题意，得 ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为：， 而， 故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $