02平行线 暑假作业 2024-2025学年 人教版（2024）七年级数学 下册

限时练习：40min        完成时间： 月 日 天气： 作业02 平行线 一、平行线 1． 定义：如图，在同一平面内，永不相交的两条直线的位置关系叫做平行．记做 ab；读作a平行于b． 同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行这两种． 2． 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行． ②内错角相等 ，两直线平行． ③同旁内角互补，两直线平行． ④平行公理推论：ab，ac，则 bc ． ⑤垂直于同一直线的两直线平行．若a⊥c，b⊥c，则 ab ． 3． 平行线的性质：①两直线平行，同位角相等． ②两直线平行，内错角相等． ③两直线平行，同旁内角互补． ④平行线间的距离处处相等． 4． 平行公理及其推论： （1）平行公理：同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． （2）推论：平行于同一直线的两直线相互平行． 二、命题、定理和证明 1． 命题：定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 分类：命题分为真命题和假命题．若判断的事情是正确的，则命题为真命题，若判断的事情是错的，则命题是假命题． 命题的改写：命题均可以改写成“如果．．．那么．．．”的形式．“如果”后面是题设，“那么后面是结论． 2． 定理：有些真命题的正确性时需要用推理来进行证实的，这样的真命题叫做定理． 3． 证明：推理论证定理的过程叫做证明． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（     ） A．平行和相交 B．平行和垂直 C．平行、垂直和相交 D．垂直和相交 2．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中，属于真命题的是（   ） A．两直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．一个数能被3整除，则也一定能被6整除 4．下列说法正确的是(   ) A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 5．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 8．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 9．科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分． 试说明：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（_____）， ∴________（________________） ∵平分（已知）， ∴________（角平分线的定义）． 同理，____________． ∴（等量代换）， ∴________（________________）， ∴（________________________）． 10．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 11．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 12．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，有一副直角三角板，，，，，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点在直线上方，且，则能使三角板有一条边与平行的所有的度数为 ． 14．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次澡作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若度，则 度． 15．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是____________； (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 16．如图，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（  ）    A． B． C． D． 17．【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）    【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假作业02 平行线-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）》参考答案： 1．A 【详解】分析：同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．垂直是相交的特殊情况． 详解：平面内的直线有平行和相交两种位置关系．     故选A． 点睛：本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系． 2．A 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，故本选项正确； B．∵，∴，故本选项错误； C．∵，∴，故本选项错误； D．∵，∴，故本选项错误． 故选A． 3．C 【分析】本题主要考查了命题与定理、对顶角相等、实数的乘方、不等式的性质等知识点．根据平行线的性质、实数的乘方、对顶角相等、数的整除逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、若，则，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、对顶角相等，是真命题，本选项符合题意； D、一个数能被3整除，不一定能被6整除，例如9能被3整除，不能被6整除，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 4．A 【分析】根据每个选项的描述，画出图形，进行判断即可． 【详解】解：根据每个选项的描述，画出图形，图形如下图所示： 根据所画图形可知A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题． 5．A 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是关键． 根据由平行线的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、无法判断和关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，再求解结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 故选：D． 7．如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案． 【详解】解：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零； 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零； 8．①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，平行公理，补角的性质，三角板的性质，进行解答，即可． 【详解】解：∵，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴； ∴②正确； 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴③错误； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∴④正确； ∴正确的为：①②④； 故答案为：①②④． 9．已知；；两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能正确掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据推理过程逐一填空即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，． ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 10．（1）见解析；（2）∠B＝38°． 【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明； （2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°． 【详解】（1）∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°. ∵AD∥EF . （2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 11．D 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：D． 12．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键． 分和，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图1所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由反射定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 故选B． 13．，， 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，分别作出能使三角板有一条边与平行的图形，要点在直线上方，且，再根据平行线的性质，得到结果． 【详解】解：①图，， ； ②图，， 延长交的延长线于点， ， ， ； ③图，， ， ； 综上所述，使三角板有一条边与平行的所有的度数为，，， 故答案为：，，． 14． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于度． 故答案为：． 15．(1)平行于同一条直线的两直线平行；（或，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及平行公理及推论，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的推论即可得出答案； （2）根据得，，进而得出，根据得，根据得，进而得出，从而得出的度数； （3）根据平行线的性质及角的和差及等量代换，即可得出答案． 【详解】（1）因为（台灯水平放置，默认与平行），过直线外一点作 ，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行， 所以． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （2）解：如图，过点， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． （3）对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．C 【分析】过，，分别作水平线的垂线，则，依据平行线的性质以及光的折射原理，即可得到，，三者之间的数量关系． 【详解】解：过，，分别作水平线的垂线，如图所示：   ， ， 由题可得，，， ，， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 17．解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升] 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【详解】解：[探究一]：，理由如下： 如图①，      ∵， ∴， ∴， ∴． [探究二]如图②，   ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L，    ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． [拓广提升]∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$