精品解析：湖北省武汉市五校联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

湖北省武汉市五校联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 考试时间：2025年6月26日下午14：30－16：30 试卷满分：150分 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数，所以． 故选：C. 2. 若，且三点共线，则的值为（ ） A. B. C. -3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由点，可得向量， 因为三点共线，可得，则，所以． 故选：A. 3. 已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的性质，求得，再由为锐角，结合余弦定理，求得的范围，即可求解. 【详解】设三角形为，且， 由三角形的几何性质，可得， 由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角， 则，即，解得 ；，即，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 故选：C. 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则向量在上的投影向量为. 故选：D. 5. 若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，所以A错误； 对于B中，由线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，所以B正确； 对于C中，由线面垂直的性质，垂直于同一直线的两个平面平行，所以C错误； 对于D中，在空间中垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，所以D错误． 故选：B. 6. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 7. 已知角，且，则（ ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，再由，求得，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】因为，可得，则， 可得，即， 又由，即， 可得， 等式两边同时除以，可得， 则 ． 故选：B. 8. 已知为单位圆为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，得到，，则，得到时，取得最大值，进而求得的值，得到答案. 【详解】设圆O的半径为，以为原点，方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 因为，所以， 所以，， 所以，其中， 当且仅当时，取得最大值， 此时1， 则． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若，则不能推出，C错误； 根据平面向量相等的定义，D正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的部分图象， 可得，且，可得，所以． 又由，所以， 所以，因为，所以， 即，所以A正确； 对于B中，由，且， 因为不恒为0，所以B错误； 对于C中，将函数的图象向左平移个单位长度得到，则为奇函数，所以C正确； 对于D中，当，可得， 因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，所以D正确. 故选：ACD． 11. 如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（ ） A. 当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B. 存在某个位置，使 C. 当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D. 当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，证得平面，又由， 证得平面，证得平面，故平面，可判定A正确；假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接，证得，进而可判定B错误；根据题意，得到平面平面时，此时四棱锥体积最大，可判定C正确；求得二面角—DE—B的平面角 ，得到，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为分别为和的中点，所以， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以与平面垂直的直线必与直线垂直，所以A正确； 对于B中，假设存在某个位置，使，连接，取的中点， 连接，可得，又因为，， 所以平面，因为平面，所以，必有， 但，两者不等，所以不可能有DE，所以B错误； 对于C中，由是等腰直角三角形，则到的距离是， 当平面平面时，此时四棱锥体积最大， 点到平面的距离为，所以C正确； 对于D中，由，且，可得二面角—DE—B的平面角， 当二面角—DE—B的大小为时，即 ， 因为，所以为等边三角形，可得， 又由，所以异面直线与所成得的角， 即为直线与所成得的角，即， 则，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有39人是男生，据此估计该校高一男生有______人. 【答案】390 【解析】 【分析】根据给定条件，求出分层抽样的抽样比，进而求得答案. 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为：，所以该校高一男生的人数估计为：. 故答案为：390 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：. 14. 正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据台体的体积公式可得，即可根据勾股定理求解第一空，根据外接球的性质，结合勾股定理可求解半径，由表面积公式求解第二空. 【详解】如图，连接，则底面， 由题意可得，，该正四棱台的体积，， 连接，故； 设， 则，， 由，解得， ，即球的半径， 球的表面积为． 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若复数为实数，求实数的值； （2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，由复数为实数，列出方程，即可求解； （2）由复数，根据对应的点在第一象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，，可得， 因为复数为实数，所以，解得. 【小问2详解】 解：由复数， 因为复数对应的点在第一象限，则满足，解得， 所以的取值范围是. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是以PA为斜边的等腰直角三角形，是以PC为斜边的等腰直角三角形，F、G、H分别是PB、CD、PA的中点． （1）求证：平面 （2）求直线PB与平面ABCD所成角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而证明线面平行； （2）证明线面垂直，所以直线PB与平面ABCD所成角即为，并求出各边长，求出，即直线PB与平面ABCD所成角. 【小问1详解】 连接， 因为为中点，为的中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，由题，，且平面，， 所以平面， 所以直线在平面内的射影为直线， 所以直线PB与平面ABCD所成角即为， 在菱形ABCD中，，所以， 在中，， 所以在中，，所以该三角形为一个等腰直角三角形， 所以，即直线PB与平面ABCD所成角. 17. 在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求角； （2）若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，可得，求得，即可求解； （2）在中，由余弦定理，求得或，分类讨论，分别求得的长，进而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得，即， 因为，可得，则，所以. 【小问2详解】 在中，因为， 由余弦定理得， 即，解得或， 当时，， 则，即，此时周长； 当时， 则，即，此时周长为， 综上所述，的周长为或. 18. 在正方体中，是棱的中点，是正方体棱上的一动点． （1）若为线段上的动点，求的最小值； （2）证明：平面平面； （3）若为线段上的动点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）应用展开图得出距离和最小； （2）先应用线面垂直判定定理得出得，进而应用面面垂直判定定理证明； （3）应用面面垂直性质定理得出平面，结合二面角定义得出为平面与平面的夹角，最后应用余弦定理结合值域求解. 【小问1详解】 将平面展开到平面， 则，仅当共线时等号成立， 所以的最小值为 【小问2详解】 连 由图，平面，平面，所以 因为四边形为正方形，所以，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面，平面，所以 同理可得，平面， 故平面； 又因为 平面，故平面平面 【小问3详解】 过点作，交于点， 所以， 则平面即为平面，平面即为平面， 则平面平面， 且平面，则平面， 且平面，则， 可知为平面与平面的夹角， 因为为线段上的动点，所以为线段上的动点， 在正方体，结合对称性可知： 当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值， 此时，则； 当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值； 综上所述：， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围 19. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为． （1）已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设（），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求； （3）已知，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）求出函数的“和谐向量”向量，利用向量的模长公式，结合三角函数的有界性求解即可； （2）设，利用平面向量的线性运算，结合两角和的正弦公式求解即可； （3）由（1）知，当时，最小，此时，令，利用数量积的坐标运算，可得，导出矛盾即可得到答案. 【小问1详解】 所以函数的“和谐向量”向量， ， 因为，所以， 所以的取值范围为 【小问2详解】 设， 则， 所以 ， 此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中， 所以，即，所以， 所以的最大值， 所以 【小问3详解】 由（1）知，当时，最小，此时， 所以， 设，令， 则， 因为， 所以，即， 所以 ，所以，即， 而，则，此时，等式不成立， 所以在的图象上不存在一点，使 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市五校联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 考试时间：2025年6月26日下午14：30－16：30 试卷满分：150分 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若，且三点共线，则的值为（ ） A. B. C. -3 D. 3 3. 已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知角，且，则（ ） A. 2 B. C. D. -2 8. 已知为单位圆为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时，为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 函数在区间上单调递减 11. 如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（ ） A. 当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B. 存在某个位置，使 C. 当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D. 当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有39人是男生，据此估计该校高一男生有______人. 13. 已知，则______． 14. 正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若复数为实数，求实数的值； （2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是以PA为斜边的等腰直角三角形，是以PC为斜边的等腰直角三角形，F、G、H分别是PB、CD、PA的中点． （1）求证：平面 （2）求直线PB与平面ABCD所成角． 17. 在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求角； （2）若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 18. 在正方体中，是棱的中点，是正方体棱上的一动点． （1）若为线段上的动点，求的最小值； （2）证明：平面平面； （3）若为线段上的动点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 19. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为． （1）已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设（），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求； （3）已知，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $