精品解析：浙江省温州市新力量2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

2024学年第二学期温州新力量联盟期末联考 高二数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（ ）（参考数据：，） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5. 在平行四边形中，是线段上一点，，，.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有错误的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，，，共面，则 C. 若不垂直于，且，则必不垂直于 D. 若且，则 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 11. 已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），下列说法正确的是（ ） A. 若点是中点，则、、、四点共面 B. 存在点，使得直线与所成角为 C. 若直线平面，则三棱锥的体积为定值 D. 若，那么点的轨迹长度为 非选择题部分 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为_____. 14. 已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是_____. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和值域； （2）先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象，求的单调递增区间. 16. 已知，，分别为角，，的对边，. （1）求； （2）若，，点在边上，且是的角平分线，求. 17. 为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并计划对成绩前10%的学生进行颁奖.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内.已知该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为200、250、300.现用分层抽样的方法抽取了75名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. 年级 样本平均数 样本方差 高一 75 75 高二 69 高三 55 （1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数； （2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为80，求高三年级学生成绩的平均数和高二年级学生成绩的方差. 18. 已知平行六面体如图所示，，． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期温州新力量联盟期末联考 高二数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求并集，再求补集即可. 【详解】，，则， 又，则. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律和数量积坐标公式计算即可. 【详解】因，，则，， 由可得，解得. 故选：D. 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 4. 生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（ ）（参考数据：，） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】将已知数据代入函数模型，利用对数的运算性质求出即可. 【详解】由题意可得，， 所以，即， 所以， 当，时，， 即，所以， 由给定数据. 故选：B 5. 在平行四边形中，是线段上一点，，，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，再利用三点共线及即可求得 【详解】 根据题意， 又是线段上一点，，且，即 . 故答案为：B. 6. 一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据不放回摸球的概率可确定红球个数，再利用二项分布公式计算恰好两次摸到红球的概率即可. 【详解】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率， 即，解得（舍去负根）， 有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率. 故选：A. 7. 已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再利用函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由题可知函数，所以为偶函数， 当时，，又与在上单调递减， 所以在也单调递减， ，即， 所以解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 8. 已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的简图，可得及，由并结合图象建立关系求解即得. 【详解】作出函数的简图，如图， 由，得，而，解得，即， 由，得，则， 由及函数图象，得，整理得，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有错误的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，，，共面，则 C. 若不垂直于，且，则必不垂直于 D. 若且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】借助正方体的线面关系，说明AC错误，简单说明BD正确即可. 【详解】如图：在正方体中 因为平面，平面平面，结果平面，而非平面，故A错误； 因为与平面不垂直，平面，且，故C错误； 对B：因为，，所以无公共点，又，共面，所以，故B正确； 对D：因为垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确. 故选：BD 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用对勾函数的单调性可判断B选项；利用基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断C选项；由已知等式得出，结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，因为，由基本不等式得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故A正确； 对于B选项，令，则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 故无最小值，则B错误； 对于C选项，因为，由基本不等式可得， 即，因为，解得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，故C正确； 对于D选项，若，即，即， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），下列说法正确的是（ ） A. 若点是中点，则、、、四点共面 B. 存在点，使得直线与所成角为 C. 若直线平面，则三棱锥的体积为定值 D. 若，那么点的轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】证明出，可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，可判断B选项 ；利用锥体体积公式可判断C选项；分析可知点的轨迹是在平面内以点为圆心，半径为的圆，结合圆的周长公式可求得点的轨迹长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，故，所以， 因此，当点是中点，则、、、四点共面，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、，不妨设点， 所以，， ， 因为，，则，所以，， 故，即， 故， 因此，不存在点，使得直线与所成角为，B错； 对于C选项，若平面，则点、到平面的距离相等， 故为定值，C对； 对于D选项，，可得， 故点的轨迹是在平面内以点为圆心，半径为的圆， 故点的轨迹长度为，D错. 故选：AC. 非选择题部分 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的四则运算求出复数，再求其模长即得. 【详解】由可得，，则. 故答案为：. 13. 已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知该正三棱柱内切球的半径等于其底面等边三角形内切圆的半径，利用等面积法可求得内切球半径，进而可得出棱柱的高，结合正棱柱的几何特征求出其外接球半径，再结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱柱中，分别取三条侧棱的中点、、，如图所示： 易知是边长为的等边三角形，则该三棱柱内切球球心为的中心， 连接、、， 设球的半径为，则， 即，解得， 由正棱柱的几何性质可知， 易知该正三棱柱的外接球球心也为，设正三角形的中心为，连接、、， 则平面，，， 故，即该三棱柱外接球半径为， 因此，该三棱柱外接球表面积为. 故答案为：. 14. 已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数得，结合的图象，利用函数在上无零点，列不等式组可求的取值范围. 【详解】因为. 由题意：，即. 由. 因为在区间内不存在零点，结合的图象， 可得：或， 解得：或. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和值域； （2）先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象，求的单调递增区间. 【答案】（1）； （2）和， 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再求函数的周期和值域，注意化简过程中药注意函数的定义域. （2）结合余弦函数单调区间的求法，注意函数的定义域，可求函数的单调增区间. 【小问1详解】 因为.（） 所以的最小正周期为：； 值域：. 【小问2详解】 先向左平移个单位得到，再将横坐标缩小到原来的得到.（） 由或，. 得或，. 所以函数的单调递增区间为：和， 16. 已知，，分别为角，，的对边，. （1）求； （2）若，，点在边上，且是的角平分线，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和定理，结合和角公式，把条件转化成，在利用正弦定理、余弦定理可求角. （2）根据角平分线的概念可得：，再结合，可求. 【小问1详解】 . 可化为. 所以 由正弦定理可得， 由余弦定理可得：，所以：. 【小问2详解】 三角形如图所示. 由是的角平分线得， 法一：， 又， 所以. 法二：因为， 所以. . 17. 为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并计划对成绩前10%的学生进行颁奖.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内.已知该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为200、250、300.现用分层抽样的方法抽取了75名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. 年级 样本平均数 样本方差 高一 75 75 高二 69 高三 55 （1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数； （2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为80，求高三年级学生成绩的平均数和高二年级学生成绩的方差. 【答案】（1）65，69，86 （2）65，66 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用频率分布直方图估计众数、平均数、百分位数的方法求解作答. （2）根据表中数据，利用分层抽样结合平均数、方差的定义计算作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，分数在的人数最多，所以估计众数为：65； 估计平均数：. 的频率为，的频率为， 所求为分位数，可知80为分位数， 所求在内，，故获奖的最低分数为86分. 【小问2详解】 易知高一、高二、高三年级参加的学生人数占比分别为 根据频率分布直方图， ，所以. ，. 18. 已知平行六面体如图所示，，． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）在平行六面体中， 因为，设， 则，， 因为，所以， 所以，， 在中，，，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据已知可得，，即可证明平面； （2）以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）已得，且平面，故平面， 故可以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 则，令，则， 因为，，则，， 则，所以，又， 设平面的法向量为，则， 则，令，则， 因， 设二面角的平面角为，由图知为钝角， 则， 即二面角的余弦值是. 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，分与代入计算，求解不等式，即可得到结果； （2）（ⅰ）将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时，根的个数，从而可得的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得，再由对勾函数的单调性，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为． 当时，不等式等价于，显然满足条件； 当时，不等式等价于，即， 解得． 综上，的解集为， 即当的取值范围为时，成立． 【小问2详解】 （ⅰ）令 原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）． 当时，即为，所以至多一个实根①； 当时，即为，所以至多两个实根②． 由①知，，所以，此时①有一解； 由②知，所以即求的交点个数， 即，为椭圆的一部分，过椭圆的上顶点， 当过点时，；当过点时，； 所以当若或或时，②有一个根或两个相等的根；若或时，②有两个根； 综上所述，当时，的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为， 显然，所以． 易得函数在上单调递减，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $