第19讲 角的概念与计算(5个模块7个知识点8个题型）暑假预习讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第19讲 角的概念与计算(5个模块7个知识点8个题型） 模块导航 · 模块一 角与角的度量 · 模块二 角的大小比较 · 模块三 角的和差倍分 · 模块四 余角与补角 · 模块五 课后作业 模块一 角与角的度量 知识点1 角的概念 1.角的静态定义：有公共端点的两条 射线 组成的图形叫作角，这个公共端点是角的 顶点 ，这两条射线是角的 边 。 2.角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点 旋转 而形成的图形。当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成 平 角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成 周 角。 注意： (1)角的边是射线，我们画出的角的边是有限的，若不够用，可以随意延伸，不需要说“延长角的边”。 (2)角的大小与角的边长(画出的部分)无关，只与两条射线张开的幅度有关。 (3)平角的两边成一条直线,但不能说直线就是平角.周角两边重合成了同一条射线，但也不能说射线就是周角。 (4)若没有特别说明，我们所研究的角指的是小于平角的角。 知识点2 角的表示方法 角用符号“∠”表示，读作“角”，通常有以下几种表示角的方法。 (1)用三个大写字母表示 在这种表示方法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序，如图(1)中的角有∠AOB、∠AOC、∠BOC。 (2)用一个大写字母表示 在这种表示方法中，表示角的大写字母必须是表示角的顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角，如图(2)中的∠EBC也可以表示为 ∠E ，∠ADC也可以表示为国 ∠D ，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 (3)用一个数字表示 用数字表示角时，要在角的内部顶点附近加上弧线，弧线旁边写上数字，如图(2)中的∠EAF也可以表示为 ∠1 ； ∠FCD 也可以表示为∠2。 (4)用一个小写希腊字母(如α，β，)表示 这种方法与用数字表示角的方法类似，也是在角的内部顶点附近加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母，如图(3)中的∠AOB也可以表示为 ∠α 。 注意：角的计数 (1)在观察图中有多少个角时，若没有特别说明，则只考虑小于平角的角。 (2)与线段计数类似，进行角的计数时，可运用分类计数的方法。 (3)用阿拉伯数字表示角时，一定要在图中标出该角的位置，画出，小弧线。 知识点3 角的度量单位 1.角度制的概念：度、分、秒是角的基本度量单位，这种角的度量制叫作角度制。 2.角的换算：1°= 60 ′，1′= 60 ″；1′= °，1″= ′；1直角= 90 °，1平角= 180 °，1周角= 360 °。 考点专训 考点1角的概念与表示 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关定义，熟练掌握角的两种定义是解答的关键，注意：角的两边是两条射线，并非直线和线段． 【详解】解： A. 有公共端点的两条线段组成的图形叫做角，这个说法是错误的， 角是由两条射线（不是线段）组成的，它们有一个公共端点，称为角的顶点； B. 两条射线就组成了角，这个说法也不够准确， 两条射线必须有一个公共端点才能组成角； C. 角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形，这个说法是正确的， 角可以被看作是一条射线（称为始边）绕着它的端点旋转到另一条射线（称为终边）所形成的图形； D. 角的两边越短，角越小，这个说法是错误的， 角的大小与边的长度无关，而是由两条边之间的夹角决定； 因此，正确答案是 C， 故选：C． 【变式1】下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的定义及其表示方法，正确认识角和记忆角的表示方法是解决本题的关键． 根据角的表示方法进行判断即可． 【详解】解：根据角的表示方法可知，选项C的表示同一角， 故选：C． 【变式2】下列四个图中能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． 结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，还可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，还可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，不可以用表示，也不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，不可以用表示，也不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 【变式3】下列图形中，能用，，表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的表示方法，解题的关键是要熟练掌握角的几种表示方法； 根据角的表示方法，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．顶点O处有一个角，能同时用，，表示，故本选项符合题意； B．顶点O处有四个角，和表示同一个角，不能用表示，故本选项不符合题意； C．顶点O处有三个角，不能用表示，故本选项不符合题意；   D．顶点O处有两个角，不能用表示，和表示得不是同一个角，无，故本选项不符合题意；． 故选：A． 考点2 角的度量 【例1】已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解： ， ． 故答案为： ． 【变式1】填空： （1） ′； （2） ° ′ ″； （3） °； （4） °． 【答案】 39 32 25 48 120.615 108.71 【分析】本题考查度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法以及单位之间的进率是正确计算的前提． （1）根据度分秒转换，即可求解； （2）根据度分秒，转换，即可求解； （3）根据度分秒，转换，即可求解； （4）根据度分秒，转换，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3） . （4） . 故答案为：（1）39；（2）32，25，48；（3）；（4）． 【变式2】关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 【答案】 56.3 12.54 12 18 36 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． （1）将转化为即可得到答案； （2）将转化为，转化为即可得到答案； （3）将转化为，将转化为即可得到答案． 【详解】解：（1）． （2）． （3）． 故答案为： 12 18 36 模块二 角的大小比较 1.角的分类：等于90°的角是 直角 ，小于直角的角是 锐角 ，大于直角而小于平角的角是 钝角 。 2.角的比较方法： （1）叠合法：把要比较的两个角的一条边 叠合 在一起，通过观察另外一条边的位置比较两个角的大小。 （2）度量法：用 量角器 量出角的度数，在根据度数比较角的大小。 考点专训 考点1 角的比较 【例1】在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较角的大小，角的和差，根据射线在的内部，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴， ∴， 的大小关系跟的位置有关，可能大于、小于或等于； 故选A． 【变式1】已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度，分，秒之间的转化是解题的关键． 将转化为，即可得出答案． 【详解】解：由， 又因为， 所以． 故选：A． 【变式2】如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，结合图形并根据角的概念即可求出答案．解题的关键是正确理解角的表示方法． 【详解】解：A．与表示同一个角，故此选项不符合题意； B．如图，，故此选项不符合题意； C．表示，故此选项不符合题意； D．如图，，则大于，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3】下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形的边角关系，关键是根据三角形的三边得出角的大小比较解答． 根据角的比较大小解答即可． 【详解】解：A、由图可知，不符合题意； B、根据图可知，不符合题意； C、根据图可知，不符合题意； D、根据图可知，符合题意； 故选：D． 【变式4】如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 模块三 角的和差倍分 知识点1 角的和差 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的 和 ；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的 差 。两个角的和或差仍是 一个角 。 知识点2 角的平分线 1.角的平分线的概念：从一个角的 顶点 引出的一条 射线 ，把这个角分成两个 相等 的角，这条射线叫作这个角的平分线。例如，如图，OC就是∠AOB的平分线，∠AOC= ∠BOC = ∠AOB，∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠AOC=2∠BOC。 2.角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的(n-1)条射线将这个角分成相等的 n 个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线。 注意： (1)角平分线是射线，不是线段或直线。 (2)角平分线必须满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分。 考点专训 考点1 角的平分线 【例1】已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．直接利用角平分线的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，能确定平分，故此选项不合题意； B、，能确定平分，故此选项不合题意； C、，能确定平分，故此选项不符合题意； D、不能确定平分，故此选项符合题意． 故选：D．    【变式1】如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义可得． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4】如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，先求出，又是的平分线，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：． 考点2 角的和差倍分 【例1】如图，直线相交于点，垂足为．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：40． 【变式1】如图，直线，交于点，，垂足为．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，设，得到，根据平角的定义，列出方程求出，再根据垂直和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：设， ， ， ∴， 解得， ， 又， ． 【变式2】如图，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度计算问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．由，设，，则有，根据角平分线的定义可得，利用列出方程，求出的值，即可求出的度数． 【详解】解：， 设，， ， 平分， ， ， ， 解得：， ． 【变式3】如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的相关计算，角平分线的相关计算，对顶角相等等知识． （1）根据平分，得出，由，结合对顶角相等得出，再根据平角定义即可求出； （2）由，设，则，则，由，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 由， ， ； （2）解：由， 设，则， 则， 由， 即， ， 即． 【变式4】如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)若，试说明平分．请你将它补充完整： 平分， _______（角平分线的定义）， ， _______（垂直的定义）， ， （_______）， 平分（角平分线的定义）． 【答案】(1)； (2)，，，同角的余角相等（或等量代换）． 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义及判定，互余、互补的概念及计算，掌握角度的和差，以及互余、互补的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及对顶角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由垂直的定义，平角为，得到，，再根据同角的余角相等得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴，， ∴（同角的余角相等（或等量代换））， ∴平分（角平分线的定义）． 故答案为：，，，同角的余角相等（或等量代换）． 模块四 余角与补角 知识点1 余角与补角 1.余角和补角：一般地，如果两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的 余 角，类似地，如果这两个角的和等于 180° ，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的 补 角。 2.余角和补角的性质：同角或等角的余角 相等 。同角或等角的补角 相等 。 注意：(1)互余、互补是两个角之间的关系，若三个角的和等于 90°或180°,不能称为互余或互补。 (2)互余、互补只与两个角的角度关系有关，与位置无关。 (3)∠α的余角可以记作90°-∠a，∠a的补角可以记作180°-∠a。 知识点2 方位角 方位角：以正 北 、正 南 方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 注意： (1)方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西 20°，当与南北方向夹角为 45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如北偏东45°为东北方向。 (2)叙述方位角时，不仅要先说南北，后说东西，而且要选好基准点，即在某一点的南(北)偏东(西)多少度。 拓展：钟面角 1分钟：分针走6°，时针走0.5°；1小时：分针走360°，时针走30度。 考点专训 考点1 求余角和补角 【例1】若，则的余角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是余角的概念：若两个角的和等于度，则这两个角互余．掌握余角的概念是解题的关键． 根据余角的性质进行计算可得答案. 【详解】解：∵， ∴的余角 故答案为：. 【变式1】如果，那么的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的运算，掌握互补两角和等于是关键． 【详解】解：， 则的补角为 故答案为：． 【变式2】一个角比它的余角少，则这个角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握相关定义是解题的关键．设这个角的度数为，表示它的余角，根据题意列方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 【变式3】若一个角补角的大小是这个角余角大小的3倍，那么这个角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角，余角，解题关键是理解补角，余角的意义． 设这个角的大小为，根据题意列出方程求解． 【详解】解：设这个角的大小为， 则， 解得：， 故答案为：． 【变式4】一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 【答案】#60度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与余角、补角有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设这个角的度数是，根据“一个角的补角与它的余角的度数之比是”，进行列方程，再解出的值，即可作答． 【详解】解：设这个角的度数是， ∵一个角的补角与它的余角的度数之比是， ∴， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 考点2 余角与补角的性质 【例1】如图，若，，则的理由为（    ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．角平分线定义 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题考查了余角的性质，掌握同角的余角相等是解题的关键． 根据同角的余角相等即可求解． 【详解】∵，， ∴ ∴ ∴， ∴的理由为同角的余角相等． 故选：A． 【变式1】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 【变式2】因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查同角的补角，根据同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【变式3】如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 【答案】A 【分析】本题考查的是余角的概念和性质，熟知同角的余角相等是解题关键． 根据余角的概念证明，即可得到答案． 【详解】解：， ， 既是的余角，又是的余角， ，其依据是同角的余角相等， 故选A． 考点3 方位角的应用 【例1】如图，某校综合实践活动小组在校园附近开发A、B两块菜地，一块菜地A在学校（点O）的北偏东方向，另一块菜地B在学校的南偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，角的和差运算；由两个方向角与所求的角为一个平角，即可求解． 【详解】解：由题意知，； 故选：A． 【变式1】为推进城乡融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知的方向与的方向一致，则公路从地到地修建的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】本题考查了与方位角有关的计算题，根据的方向与的方向一致，且公路从地沿着北偏东方向到地，即可作答． 【详解】解： ∵的方向与的方向一致，且公路从地沿着北偏东方向到地， ∴公路从地到地修建的方向为北偏东， 故选：B 【变式2】如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【分析】本题考查了仰角与方向角；过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为北偏东方向上． 故意选：D． 【变式3】如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 模块五 课后作业 1．下列说法正确的是（   ） A．周角就是一条直线 B．一条直线便是一个平角 C．由两条射线组成的图形叫作角 D．由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角 【答案】D 【分析】本题考查了角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、周角的两边重合成一条射线，而不能说周角就是一条直线，所以A选项错误； B、角有顶点，则一条直线不能说是一个平角，所以B选项错误； C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以C选项错误； D、由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角，所以D选项正确． 故选：D． 2．下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出的取值范围是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 4．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 5．对于余角有下列三种说法：①角的余角的度数是；②互为余角的两个角不可能相等；③同角或等角的余角一定相等．其中正确的说法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的定义和性质，根据余角的定义的性质一一判断即可． 【详解】解：①角的余角的度数是：，故①错误， ②当两个角都是时，它们互余且相等，故②错误， ③同角或等角的余角一定相等，故③正确， 故正确的说法有1种， 故选：A 6．一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，涉及方位角的概念，根据题意，准确由方位角得到图中各个角度求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴， 故选：D． 7．如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据等角的余角相等可得，但与不一定互余，故本选项不符合题意； B、由图知，即与一定互余，故本选项符合题意； C、由图知，与不互余，故本选项不符合题意； D、由图知，与互补，故本选项不符合题意； 故选：B． 8． ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角度的单位，将角度转化是解题的关键． 先根据度分秒之间的关系将化为，然后再比较大小． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 9．如果，那么它的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，根据补角的定义求解即可． 【详解】解：它的补角的度数为， 故答案为： 10．右图所示的网格是正方形网格， ．(填“”，“”或“”) 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了角度大小的比较，解题的关键是熟练掌握网格特点，得出，． 【详解】解：根据网格特点可知，，， ∴． 故答案为：． 11．一个角的补角等于这个角的余角的，则这个角为 度． 【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与补角、余角有关的计算，先设这个角为度，根据题意列式，再解得，即可作答． 【详解】解：设这个角为度， ∵一个角的补角等于这个角的余角的， ∴ 解得， 故答案为： 12．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ＇ ＇＇． 【答案】 / 【分析】本题考查角度的互化，根据，化简即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， 故答案为：，，，、、． 13．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：， ， _______， _____________________． ∵点A，O，B在一条直线上， ______________． 平分， ______________． ______________． 【答案】；；；60；180；120；；60；； 【分析】本题考查了角的和差，有关角平分线的计算；由角的和差得 ，由角平分线得，即可求解；能熟练利用角的和差，角平分线的定义求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ． ∵点A，O，B在一条直线上， ． 平分， ， ． 故答案为：；；；60；180；120；；60；；． 14．在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到，再结合角平分线定义推出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意得到，再结合角平分线定义表示出，最后根据代换求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ∴，， ∴； （2）解：， ∴， 平分平分， ∴，， ∴． 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 角的概念与计算(5个模块7个知识点8个题型） 模块导航 · 模块一 角与角的度量 · 模块二 角的大小比较 · 模块三 角的和差倍分 · 模块四 余角与补角 · 模块五 课后作业 模块一 角与角的度量 知识点1 角的概念 1.角的静态定义：有公共端点的两条 射线 组成的图形叫作角，这个公共端点是角的 顶点 ，这两条射线是角的 边 。 2.角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点 旋转 而形成的图形。当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成 平 角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成 周 角。 注意：(1)角的边是射线，我们画出的角的边是有限的，若不够用，可以随意延伸，不需要说“延长角的边”。 (2)角的大小与角的边长(画出的部分)无关，只与两条射线张开的幅度有关。 (3)平角的两边成一条直线,但不能说直线就是平角.周角两边重合成了同一条射线，但也不能说射线就是周角。 (4)若没有特别说明，我们所研究的角指的是小于平角的角。 知识点2 角的表示方法 角用符号“∠”表示，读作“角”，通常有以下几种表示角的方法。 (1)用三个大写字母表示 在这种表示方法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序，如图(1)中的角有∠AOB、∠AOC、∠BOC。 (2)用一个大写字母表示 在这种表示方法中，表示角的大写字母必须是表示角的顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角，如图(2)中的∠EBC也可以表示为 ∠E ，∠ADC也可以表示为国 ∠D ，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 (3)用一个数字表示 用数字表示角时，要在角的内部顶点附近加上弧线，弧线旁边写上数字，如图(2)中的∠EAF也可以表示为 ∠1 ； ∠FCD 也可以表示为∠2。 (4)用一个小写希腊字母(如α，β，)表示 这种方法与用数字表示角的方法类似，也是在角的内部顶点附近加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母，如图(3)中的∠AOB也可以表示为 ∠α 。 注意：角的计数 (1)在观察图中有多少个角时，若没有特别说明，则只考虑小于平角的角。 (2)与线段计数类似，进行角的计数时，可运用分类计数的方法。 (3)用阿拉伯数字表示角时，一定要在图中标出该角的位置，画出，小弧线。 知识点3 角的度量单位 1.角度制的概念：度、分、秒是角的基本度量单位，这种角的度量制叫作角度制。 2.角的换算：1°= 60 ′，1′= 60 ″；1′= °，1″= ′；1直角= 90 °，1平角= 180 °，1周角= 360 °。 考点专训 考点1角的概念与表示 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 【变式1】下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列四个图中能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列图形中，能用，，表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 考点2 角的度量 【例1】已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【变式1】填空： （1） ′； （2） ° ′ ″； （3） °； （4） °． 【变式2】关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 模块二 角的大小比较 1.角的分类：等于90°的角是 直角 ，小于直角的角是 锐角 ，大于直角而小于平角的角是 钝角 。 2.角的比较方法： （1）叠合法：把要比较的两个角的一条边 叠合 在一起，通过观察另外一条边的位置比较两个角的大小。 （2）度量法：用 量角器 量出角的度数，在根据度数比较角的大小。 考点专训 考点1 角的比较 【例1】在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【变式3】下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 模块三 角的和差倍分 知识点1 角的和差 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的 和 ；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的 差 。两个角的和或差仍是 一个角 。 知识点2 角的平分线 1.角的平分线的概念：从一个角的 顶点 引出的一条 射线 ，把这个角分成两个 相等 的角，这条射线叫作这个角的平分线。例如，如图，OC就是∠AOB的平分线，∠AOC= ∠BOC = ∠AOB，∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠AOC=2∠BOC。 2.角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的(n-1)条射线将这个角分成相等的 n 个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线。 注意：(1)角平分线是射线，不是线段或直线。 (2)角平分线必须满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分。 考点专训 考点1 角的平分线 【例1】已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点2 角的和差倍分 【例1】如图，直线相交于点，垂足为．若，则的度数为 ． 【变式1】如图，直线，交于点，，垂足为．已知，求的度数． 【变式2】如图，，平分，，求的度数． 【变式3】如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式4】如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)若，试说明平分．请你将它补充完整： 平分， _______（角平分线的定义）， ， _______（垂直的定义）， ， （_______）， 平分（角平分线的定义）． 模块四 余角与补角 知识点1 余角与补角 1.余角和补角：一般地，如果两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的 余 角，类似地，如果这两个角的和等于 180° ，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的 补 角。 2.余角和补角的性质：同角或等角的余角 相等 。同角或等角的补角 相等 。 注意：(1)互余、互补是两个角之间的关系，若三个角的和等于 90°或180°,不能称为互余或互补。 (2)互余、互补只与两个角的角度关系有关，与位置无关。 (3)∠α的余角可以记作90°-∠a，∠a的补角可以记作180°-∠a。 知识点2 方位角 方位角：以正 北 、正 南 方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 注意： (1)方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西 20°，当与南北方向夹角为 45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如北偏东45°为东北方向。 (2)叙述方位角时，不仅要先说南北，后说东西，而且要选好基准点，即在某一点的南(北)偏东(西)多少度。 拓展：钟面角 1分钟：分针走6°，时针走0.5°；1小时：分针走360°，时针走30度。 考点专训 考点1 求余角和补角 【例1】若，则的余角的度数是 ． 【变式1】如果，那么的补角为 ． 【变式2】一个角比它的余角少，则这个角的度数为 ． 【变式3】若一个角补角的大小是这个角余角大小的3倍，那么这个角的大小为 ． 【变式4】一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 考点2 余角与补角的性质 【例1】如图，若，，则的理由为（    ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．角平分线定义 D．同角的补角相等 【变式1】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式3】如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 考点3 方位角的应用 【例1】如图，某校综合实践活动小组在校园附近开发A、B两块菜地，一块菜地A在学校（点O）的北偏东方向，另一块菜地B在学校的南偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】为推进城乡融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知的方向与的方向一致，则公路从地到地修建的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 【变式2】如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【变式3】如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 模块五 课后作业 1．下列说法正确的是（   ） A．周角就是一条直线 B．一条直线便是一个平角 C．由两条射线组成的图形叫作角 D．由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角 2．下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．对于余角有下列三种说法：①角的余角的度数是；②互为余角的两个角不可能相等；③同角或等角的余角一定相等．其中正确的说法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 6．一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 8． ．（填“”，“”或“”） 9．如果，那么它的补角的度数为 ． 10．右图所示的网格是正方形网格， ．(填“”，“”或“”) 11．一个角的补角等于这个角的余角的，则这个角为 度． 12．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ＇ ＇＇． 13．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：， ， _______， _____________________． ∵点A，O，B在一条直线上， ______________． 平分， ______________． ______________． 14．在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $$