第18讲 直线、射线与线段的概念与计算（4个模块7个知识点10个考点）暑假预习讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第18讲 线段、射线与直线的概念与计算（4个模块7个知识点12个考点） 模块导航 · 模块一 线段、射线与直线 · 模块二 线段的长度比较 · 模块三 线段的和差倍分 · 模块四 课后作业 模块一 线段、射线与直线 知识点1 线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示。下图中的线段可以表示为“线段AB”、“线段BA”或“线段a”。 注意：不能用一个大写字母或两个小写字母或一大写一小写的两个字母来表示线段。 知识点2 直线 1.直线的表示：直线可以用它上面任意两个点的 大写 字母表示，也可以用一个 小写 字母表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写的两个字母来表示。 图示：直线l或直线AB 2.直线的基本事实：经过 两点 有一条而且只有一条直线。可以简单地说成：两点确定一条直线。 3.直线没有端点，没有长度，不可度量。“延长直线”的说法是错误的。 4.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线 相交 ，这个公共点叫作它们的 交点 。 图示：直线a，b交于点O 拓展：同时过不在同一条直线上的三点画不出直线。过没有任何三点共线的n个点中的两点共能画出条直线。如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,该公共点叫作这两条直线的交点。若平面内有n条直线，则最多有个交点。 知识点3 射线 1.射线的表示：射线用表示它的 端点 和射线上另外任意一点的 两个 字母表示，表示 端点 的字母要写在前面。比较两条线段的长短，可用 刻度尺 分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段 移到 另一条线段上作比较。 2.射线只有 一个 端点，没有长度，不可度量。如下图，“延长射线AB”的说法是 错误 的，但可以说“反向延长射线AB”。 注意：端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延伸方向不同，表示的射线也不同；只有端点和延伸方向都相同时，才是同一条射线。 2. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或FE或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点直线，线段最短 两点确定一条直线 考点专训 考点1直线 【例1】下列各选项中直线的表示方法正确的是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 【变式2】平面上有4个点，经过每两点画一条直线，所画直线条数不可能为（　　） A．1条 B．3条 C．4条 D．6条 考点2 射线 【例1】如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【变式1】夜晚，汽车灯射出的光线可以看成是（   ） A．直线 B．射线 C．线段 D．折线 【变式2】图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 考点3 射线 【例1】如图，点都在线段上，则图中共有线段（　　）条． A． B． C． D． 【变式1】乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（      ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 考点4 直线、射线、线段的联系 【例1】如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．线段和线段表示同一条线段 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 【变式2】如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（   ） A．5条、6条、1条 B．8条、10条、1条 C．8条、4条、1条 D．6条、2条、1条 考点5 直线与点的关系 【例1】如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 【变式1】如图，若线段与线段有交点，则点应与下列哪个点重合？（   ）    A．点 P B．点 N C．点 M D．点Q 【变式2】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1所示，延长线段到点 B．如图2所示，射线经过点 C．如图3所示，直线和直线相交于点 D．如图4所示，射线和线段没有交点 【变式3】如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（  ） A．点P在直线上 B．点P在线段上 C．点N在线段上 D．点N在射线上 模块二 线段的长度比较 知识点1 线段的长短比较 1.线段的长短比较：一般地，如果两条线段长度 相等 ，那么我们就说这两条线段相等。如果两条线段的长度不相等，那么我们就说长度较大的线段 大于 长度较小的线段。 2.线段的基本事实：在所有连结两点的线中，线段 最短。简单地说， 两点之间线段最短 。 注意： 只有线段才能比较长短，直线和射线不能比较长短。在用“<” “>”或“=”连接两条线段时,字母前的“线段”二字可省略不写. 3.两点间的距离：连接两点的线段的 长度 ，叫作这两点间的距离。 注意： 线段与两点间的距离含义不同，线段是图形，距离是数量，不是一回事。但二者又有紧密联系：两点间的距离是连接这两点的线段的长度，不是随便一条线段的长度。 知识点2 用尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC。第二步，以 A 为圆心， 线段a 的长为半径画弧，交射线AC于点B。则线段AB就是所求作的线段。 考点专训 考点1 线段的大小比较 【例1】如图，在三角形ABC中，通过用刻度尺测量，比较3条边长度的大小，下列式子正确的是（　　） A．AB＞BC＞AC B．BC＞AB＞AC C．AC＞AB＞BC D．AB＞AC＞BC 【变式1】体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示她最好成绩的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【变式2】如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）    考点2 两点间的距离 【例1】如图，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝150m，BC＝90m．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在(　　) A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点C 【变式1】为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A，B，C，D这四个村庄铺设管道，现已知这四个村庄与水库以及村与村之间的距离(单位：km)如图所示，则把水库的水输送到这四个村庄铺设管道的总长度最短应是(　　)    A．16km B．17km C．18km D．20km 【变式2】已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 考点3 尺规作图 【例1】如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 【变式1】如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题，作图题保留作图痕迹． (1)作直线，射线； (2)连接，延长到E，使； (3)用适当的语句表示点C与直线的位置关系： ； (4)在直线上找点P，使最小，作图的依据是 ． 模块三 线段的和差倍分 知识点1线段的和差 1.线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另 两条线段的和 ；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另 两条线段的差 ；两条线段的和或差仍是一条线段。 注意：两条线段的和差仍是线段，而不是指两条线段的长度差。两条线段的和差是图形，两条线段的长度差是数量，二者不要混淆。 2.作线段的和、差 在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b；设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD =b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD =a-b。 3.线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算。 知识点2 线段的中点 1.线段的中点：把一条线段分成两条 相等 的线段的点，叫作线段的中点。如图，若点O是线段AB的中点，则有AO= BO = AB。反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO= AB，那么点O为线段AB的 中点 。 2.线段的n等分点：若线段上(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点。 3.点和直线的位置关系：点在直线 上 或点在直线 外 ，也可以说成直线经过点或直线不经过点。 考点专训 考点1 线段的和差倍分 【例1】如图，点在线段上，，线段的长度是线段长度的4倍，线段的长度比线段的长度多，则 ．（用含的式子表示） 【变式1】如图，在数轴上有，，，四个整数点（即各点均表示整数），且．若，两点表示的数分别为和3，点为靠近点的三等分点，则点表示的数是 ． 【变式2】如图，点C，D是线段上两点，且．若，则 ． 【变式3】如图，已知线段，点、是线段上两点，，，则线段的长为 ． 考点2 与线段中点有关的计算 【例1】如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【变式1】若线段，点是线段的中点，．则线段的长为 ． 【变式2】如图，线段，点C在上，，点D为的中点，则线段的长 ． 【变式3】如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 模块四 课后作业 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 3．如图，A，B，C三点在同一水平线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 4．下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 5．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠五个站，则需要为这次列车制作车票（   ） A．15种 B．21种 C．30种 D．42种 6．如图，已知平面上四个点A，B，C，D．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线，线段； (3)在线段上画线段，使得． 7．图中下列从到的各条路线中最短的路线是（    ） A． B． C． D． 8．定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 9．如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 线段、射线与直线的概念与计算（4个模块7个知识点10个考点） 模块导航 · 模块一 线段、射线与直线 · 模块二 线段的长度比较 · 模块三 线段的和差倍分 · 模块四 课后作业 模块一 线段、射线与直线 知识点1 线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示。下图中的线段可以表示为“线段AB”、“线段BA”或“线段a”。 注意：不能用一个大写字母或两个小写字母或一大写一小写的两个字母来表示线段。 知识点2 直线 1.直线的表示：直线可以用它上面任意两个点的 大写 字母表示，也可以用一个 小写 字母表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写的两个字母来表示。 图示：直线l或直线AB 2.直线的基本事实：经过 两点 有一条而且只有一条直线。可以简单地说成：两点确定一条直线。 3.直线没有端点，没有长度，不可度量。“延长直线”的说法是错误的。 4.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线 相交 ，这个公共点叫作它们的 交点 。 图示：直线a，b交于点O 拓展：同时过不在同一条直线上的三点画不出直线。过没有任何三点共线的n个点中的两点共能画出条直线。如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,该公共点叫作这两条直线的交点。若平面内有n条直线，则最多有个交点。 知识点3 射线 1.射线的表示：射线用表示它的 端点 和射线上另外任意一点的 两个 字母表示，表示 端点 的字母要写在前面。比较两条线段的长短，可用 刻度尺 分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段 移到 另一条线段上作比较。 2.射线只有 一个 端点，没有长度，不可度量。如下图，“延长射线AB”的说法是 错误 的，但可以说“反向延长射线AB”。 注意： 端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延伸方向不同，表示的射线也不同；只有端点和延伸方向都相同时，才是同一条射线。 2. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或FE或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点直线，线段最短 两点确定一条直线 考点专训 考点1直线 【例1】下列各选项中直线的表示方法正确的是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题主要考查直线的表示方法，熟练掌握直线的表示方法是解题的关键． 根据直线的表示方法，可以用直线上的两个大写字母，也可以用一个小写字母，直接选择答案即可． 【详解】解：∵直线上的点用大写字母表示， ∴直线可以用这条直线上的两个点表示，即两个大写字母表示， 也可以用一个小写字母表示，但不能大小写混用． 故选：C． 【变式1】将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 【答案】A 【分析】本题考查几何公理的实际应用，根据几何基本公理，经过两点有且只有一条直线，因此钉两个钉子可固定木条的位置，使其无法绕这两个点转动或移动，选项B、C涉及最短距离，与固定木条无关；选项D是距离的定义，亦不适用，由此可解． 【详解】解：将木条固定在墙上需要至少两个钉子，是因为两点确定一条直线． 故选A． 【变式2】平面上有4个点，经过每两点画一条直线，所画直线条数不可能为（　　） A．1条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【分析】本题主要考查了数直线的条数， 分类画出图形，再求得画的直线的条数，即可判断． 【详解】解：分以下三种情况： ①当4点在同一直线上，如图：故可以画1条直线； ②当有3个点在同一直线上，故可以画4条直线； ③当任意三点都不在同一直线上，可以画6条直线. 所以不可能是3条. 故选：B． 考点2 射线 【例1】如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】本题考查射线的定义，射线的一端确定，另一端无限延伸，可知射线是有方向的，因此根据起点是同一点，且方向相同的射线是同一条射线，即可解答本题． 【详解】解：与射线是同一条射线的是射线． 故选：B． 【变式1】夜晚，汽车灯射出的光线可以看成是（   ） A．直线 B．射线 C．线段 D．折线 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的定义，学会区分这3种线是解题的关键．汽车灯射出的光线可以看成有一个端点，另一端无限延长所形成的直的线，再结合直线、射线、线段的定义即可得出结论． 【详解】解：汽车灯射出的光线可以看成有一个端点，另一端无限延长所形成的直的线， 所以汽车灯射出的光线可以看成是射线． 故选：B． 【变式2】图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线，根据射线的端点相同，方向相同的两条射线是同一条射线，可得答案． 【详解】解：A、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； B、端点相同，方向相同，是同一条射线，故本选项正确； C、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； D、方向不同，不是同一条射线，故本选项错误； 故选：B． 考点3 射线 【例1】如图，点都在线段上，则图中共有线段（　　）条． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了线段，根据线段的定义，数出图中的线段即可求解，掌握线段的定义是解题的关键． 【解答】解：图中有线段：，共条， 故选：． 【变式1】乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（      ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】本题考查了线段条数的问题，根据题意确定出数学模型，求出五点确定出线段的条数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有五个站，相当于有5个点， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票张数即为5个点所能组成的线段条数， ∵2点能确定一条线段， ∴5个点一共最多能确定条线段， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有10种， 故选：C 考点4 直线、射线、线段的联系 【例1】如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了射线的识别，解题关键是理解射线的定义：直线上一点和它一旁的部分，准确进行判断． 【详解】解：图中以点O为端点的射线有，共4条， 故选：C． 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．线段和线段表示同一条线段 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 【答案】D 【分析】由射线、直线、线段的概念即可判断， 本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线和射线、线段的概念． 【详解】解：A、B、C中的说法正确，故A、B、C不符合题意； D、射线向一方无限伸展，直线向两方无限伸展，都无限长，不能比较长短，原说法错误，故D符合题意． 故选：D 【变式2】如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（   ） A．5条、6条、1条 B．8条、10条、1条 C．8条、4条、1条 D．6条、2条、1条 【答案】B 【分析】本题考查的是直线、射线和线段的含义以及它们的计数方法，理解直线、射线和线段的含义是解题的关键．根据直线、射线、线段的含义：“线段有2个端点；射线有一个端点；直线无端点．”结合它们的计数方法求解，即可解题． 【详解】解：由图知，图中的线段有，，，，，，，共8条； 图中的射线有，，，，，，，，，共10条； 图中的直线有共1条； 故选：B． 考点5 直线与点的关系 【例1】如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线和线段的概念．根据直线、线段的概念求解即可． 【详解】A．点B在直线上，正确，不符合题意； B．点A在直线外，正确，不符合题意； C．点C在线段上，正确，不符合题意； D．点M在线段的延长线上，原表述不正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，若线段与线段有交点，则点应与下列哪个点重合？（   ）    A．点 P B．点 N C．点 M D．点Q 【答案】A 【分析】本题考查了线段及画线段，熟练画出线段即可得解，分别连接，，，，观察是否相交即可得解． 【详解】解：连接，，，得，    由图可知，线段与线段，线段，线段都不相交，线段与线段相交， ∴点应与点重合， 故选∶． 【变式2】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1所示，延长线段到点 B．如图2所示，射线经过点 C．如图3所示，直线和直线相交于点 D．如图4所示，射线和线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，正确掌握三者的概念是解题的关键．直线向两方无限延伸，不需要延长，射线向一方无限延伸，不需延长，但可以反向延长；而线段不延伸，既可以延长，也可以反向延长． 【详解】解：A．如图1所示，应为射线经过点，故不符合题意； B．如图2所示，射线不经过点，故不符合题意； C．如图3所示，直线和直线相交于点，符合题意； D．如图4所示，射线和线段有交点，故不符合题意； 故选C． 【变式3】如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（  ） A．点P在直线上 B．点P在线段上 C．点N在线段上 D．点N在射线上 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A．点P在直线上，正确，故选项A不符合题意； B．点P在线段上，正确，故选项B不符合题意； C．点N在线段的延长线上，故选项C错误，符合题意； D．点N在射线上，正确，故选项D不符合题意． 故选：C． 模块二 线段的长度比较 知识点1 线段的长短比较 1.线段的长短比较：一般地，如果两条线段长度 相等 ，那么我们就说这两条线段相等。如果两条线段的长度不相等，那么我们就说长度较大的线段 大于 长度较小的线段。 2.线段的基本事实：在所有连结两点的线中，线段 最短。简单地说， 两点之间线段最短 。 注意： 只有线段才能比较长短，直线和射线不能比较长短。在用“<” “>”或“=”连接两条线段时,字母前的“线段”二字可省略不写. 3.两点间的距离：连接两点的线段的 长度 ，叫作这两点间的距离。 注意： 线段与两点间的距离含义不同，线段是图形，距离是数量，不是一回事。但二者又有紧密联系：两点间的距离是连接这两点的线段的长度，不是随便一条线段的长度。 知识点2 用尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC。第二步，以 A 为圆心， 线段a 的长为半径画弧，交射线AC于点B。则线段AB就是所求作的线段。 考点专训 考点1 线段的大小比较 【例1】如图，在三角形ABC中，通过用刻度尺测量，比较3条边长度的大小，下列式子正确的是（　　） A．AB＞BC＞AC B．BC＞AB＞AC C．AC＞AB＞BC D．AB＞AC＞BC 【答案】C 【分析】用刻度尺量出三条边，即可得出结论． 【详解】用刻度尺量得：BC=2.1㎝，AB=3.2㎝，AC=4.6㎝，∴AC＞AB＞BC． 故选C． 【点睛】本题考查了用刻度尺度量线段的长以及线段大小的比较．量出三角形三边的长是解题的关键． 【变式1】体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示她最好成绩的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键．连结，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知， 所以表示她最好成绩的点是点P． 故选：C． 【变式2】如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】根据比较线段长短的方法解答即可． 【详解】解：由题图可知，． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了比较线段的长短，解题的关键是掌握比较线段长短的方法． 考点2 两点间的距离 【例1】如图，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝150m，BC＝90m．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在(　　) A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点C 【答案】D 【分析】本题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，分别计算所有人的路程的和再判断． 【详解】①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=150×15+45×240=13050（米）； ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=10×150+90×45=5550（米）； ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=10×240+15×90=3750（米）； ④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜150），则所有人的路程的和是：10m+15（150﹣m）+45（240﹣m）=13050－50m＞5550 ； ⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜90），则总路程为10（150+n）+15n+45（90﹣n）=5550－20n ＞3750，∴该停靠点的位置应设在点C． 故选D． 【点睛】本题为数学知识的应用，考查的知识点为两点之间线段最短． 【变式1】为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A，B，C，D这四个村庄铺设管道，现已知这四个村庄与水库以及村与村之间的距离(单位：km)如图所示，则把水库的水输送到这四个村庄铺设管道的总长度最短应是(　　)    A．16km B．17km C．18km D．20km 【答案】A 【分析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可． 【详解】最短总长度应该是：水库到A，再从A到B、D，然后从D到C，总长度为：4+5+3+4=16（km）． 故选A． 【点睛】找到最短路线是解决本题的关键． 【变式2】已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，设点的运动时间为 ，分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，， 根据题意得：， 解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合． 故答案为：3或6． 考点3 尺规作图 【例1】如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画直线、射线、线段，截取线段等于已知线段． （1）依据直线、射线、线段的定义，画出图形即可． （2）依据题意，连接画图即可． （3）依据题意，在线段上截取即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线即为所作； （2）如图所示，连接，与直线交于点E即为所作； （3）如图所示，线段即为所作． 【变式1】如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题，作图题保留作图痕迹． (1)作直线，射线； (2)连接，延长到E，使； (3)用适当的语句表示点C与直线的位置关系： ； (4)在直线上找点P，使最小，作图的依据是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)点C在直线外 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线、射线的定义画图即可． （2）以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，则点E即为所求． （3）由图可知，点C在直线外． （4）结合线段的性质：两点之间线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线、射线即为所求． （2）解：如图，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E， 则点E即为所求． （3）解：由图可得，点C在直线外． 故答案为：点C在直线外． （4）解：连接交于点P， 此时，为最小值． 作图的依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 模块三 线段的和差倍分 知识点1线段的和差 1.线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另 两条线段的和 ；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另 两条线段的差 ；两条线段的和或差仍是一条线段。 注意：两条线段的和差仍是线段，而不是指两条线段的长度差。两条线段的和差是图形，两条线段的长度差是数量，二者不要混淆。 2.作线段的和、差 在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b；设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD =b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD =a-b。 3.线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算。 知识点2 线段的中点 1.线段的中点：把一条线段分成两条 相等 的线段的点，叫作线段的中点。如图，若点O是线段AB的中点，则有AO= BO = AB。反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO= AB，那么点O为线段AB的 中点 。 2.线段的n等分点：若线段上(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点。 3.点和直线的位置关系：点在直线 上 或点在直线 外 ，也可以说成直线经过点或直线不经过点。 考点专训 考点1 线段的和差倍分 【例1】如图，点在线段上，，线段的长度是线段长度的4倍，线段的长度比线段的长度多，则 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段的和与差．设，根据题意可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：设， ∵线段的长度是线段长度的4倍，线段的长度比线段的长度多， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在数轴上有，，，四个整数点（即各点均表示整数），且．若，两点表示的数分别为和3，点为靠近点的三等分点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，线段的和差， 先求出，再结合长度的关系求出点B表示的数，然后根据三等分点的定义即可得出答案． 【详解】解：因为点A，D两点表示的数分别是和3， 所以． 因为， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点B表示的数为． 因为点N为的三等分点，且靠近点C，， 所以， 所以N表示的数为． 故答案为：． 【变式2】如图，点C，D是线段上两点，且．若，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段之间的比例关系是正确解答的关键．根据线段的比例关系求出AC的长即可． 【详解】解：∵．若， ， 故答案为：14． 【变式3】如图，已知线段，点、是线段上两点，，，则线段的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了线段的数量关系，由，可求出，根据求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为∶7． 考点2 与线段中点有关的计算 【例1】如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．根据线段中点的定义、线段的和差即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式1】若线段，点是线段的中点，．则线段的长为 ． 【答案】8或4/4或8 【分析】本题考查的是两点间的距离，根据题意正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，由于点D的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：∵，C为的中点， ， 当点D在上时，如图1所示， ， ； 当点D在上时，如图2所示， ， ； ∴线段的长为或 故答案为：8或4． 【变式2】如图，线段，点C在上，，点D为的中点，则线段的长 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查的是两点间的距离，线段中点的定义，解题的关键是正确分析题目中线段之间的等量关系． 先根据题意得出，，再结合中点的定义得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ，， 为的中点， ， ． 故答案为：12． 【变式3】如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 模块四 课后作业 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 2．一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了线段数量问题，个点连成线段的条数：（条），据此解答即可． 【详解】解：如图 （条）， 个点可以连成条线段． 故选：C． 3．如图，A，B，C三点在同一水平线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，此选项说法正确，不符合题意； B、线段与线段是同一条线段，此选项说法正确，不符合题意； C、射线与射线不是同一条射线，此选项说法不正确，符合题意； D、射线与射线的起点相同，是同一条射线，此选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 4．下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 【答案】B 【分析】本题考查直线，射线和线段，根据直线，射线，线段的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线l经过点A，原说法正确，不符合题意； B、点A不在直线m上，原说法错误，符合题意； C、直线a、b相交于点A，原说法正确，不符合题意； D、射线与线段有交点，原说法正确，不符合题意； 故选B． 5．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠五个站，则需要为这次列车制作车票（   ） A．15种 B．21种 C．30种 D．42种 【答案】D 【分析】本题考查了线段射线直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数字来解决实际问题． 每两站点都要设火车票，进而得出答案． 【详解】解：根据题意把该列车的运行路线看作一条线段，把停靠站点看作线段上的点，则共有线段（条） ∴要为这次列车制作种车票， 故选：D ． 6．如图，已知平面上四个点A，B，C，D．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线，线段； (3)在线段上画线段，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线和线段的定义画出图形即可； （3）根据线段的定义画出图形即可； 【详解】（1）如图，直线即为所作； （2）如图，射线，线段即为所作； （3）如图，线段即为所作，满足； 7．图中下列从到的各条路线中最短的路线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短，即可判断出从A到E所走的线段的最短线路，即可求出从A到B最短的路线． 【详解】∵两点之间线段最短， ∴AC+CG+GE﹥AE ∴AC+CE﹥AE ∴AD+DG+GE﹥AE ∴AF+FE=AE 由此可知，从A到F到E是最短路线， ∴是最短路线， ∴D选项中的路线最段． 故选：D 【点睛】本题考查了最短路线问题，依据两点之间线段最短． 8．定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【答案】2或4或12 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到的具体的数量关系，结合 从而可得答案． 【详解】解：如图，， 当时， 如图，，当时， 如图，，当时， 综上：或4或12． 故答案为：2或4或12． 9．如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点 可判断②；由结合线段的中点可判断③． 【详解】解：， ， 是线段的中点， ， ， ， ， 即， 故①正确； ， ， ， M、N分别是线段、的中点， ， ， ， 故②正确； M、N分别是线段、的中点， ， ， ， ， 故③正确； 故答案：①②③． 【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$