第15讲 一元一次方程与实际问题（7个模块6个知识点6个考点）暑假预习讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第15讲 一元一次方程与实际问题（7个模块6个知识点6个考点） 模块导航 · 模块一 配套问题 · 模块二 工程问题 · 模块三 销售问题 · 模块四 行程问题 · 模块五 分段计费问题 · 模块六 方案选择问题 · 模块七 课后作业 模块一 配套问题 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量× b =B种配件总数量× a 。 例如，一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成，这里：镜架总数× 2 =镜片总数× 1 。 注意：可归为配套问题的还有比例问题、劳力调配问题等,解法略有差异,本质相同。比例问题直接设未知数，劳力调配问题关键是确定“调配后的数量关系”。 考点专训 【例1】某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】某工厂计划生产某种零件，每个零件需要个螺丝和个螺母配套，已知车间每天可以生产个这样的螺丝或个这样的螺母，现在要求天生产的螺丝和螺母刚好完全配套，设安排天生产螺母，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式3】某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 【变式4】机械厂加工车间有45名工人，为了加快速度完成任务，在原有工人的基础上调入若干名工人，使得调整后车间的总人数比调入工人的人数2倍还多5人．（请用方程解答） (1)求新调入多少工人？ (2)在（1）的条件下，若工人平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 模块二 工程问题 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率× 工作时间 ，工作时间= ，工作效率= ； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体 1 ； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 方法： (1)找相等关系的规律:在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果甲量已知，从乙量设元，那么就从丙量找相等关系列方程。 (2)工程类应用题的工作量并不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”。 (3)工作总量看作“1”时，工作效率=，工作时间=。 考点专训 【例1】完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要5天、10天完成．如果先由乙工程队单独施工6天，然后再由两个工程队同时施工，则还需多少天完成．若设由两个工程队同时施工天可完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一项工作，甲单独40天完成，乙单独30天完成，甲先单独做5天后，两队合作，还需要几天完成？设剩下的工作还需要天完成，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【变式4】市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 模块三 销售问题 销售问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= ×100%；③售价=进价×（1+利润率）。 （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数。实际售价= 标价×。 注意： (1)销售问题包括打折问题，且多数销售问题就是打折问题。 (2)增长率问题与打折问题本质相同，都必须搞清“基础量”是什么，即在打折前(或增长前、下降前)原量是什么。 (3)解题时要认真审题，清楚不打折时“售价=标价”；打折时“售价=标价×” 考点专训 【例1】某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，设商品标价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折（标价的）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式3】某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件． A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【变式4】“一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．开州故城一茶馆售卖特色茶饮“巴渠云雾茶”和“龙珠茶”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渠云雾茶”每杯售价20元，“龙珠茶”每杯售价15元． (1)上周末售出这两种茶饮各多少杯？ (2)已知每大罐“巴渠云雾茶”的成本为180元，每大罐“龙珠茶”的成本为160元，两者共计可冲泡35杯，且“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，每杯“龙珠茶”的成本是多少元？ 模块四 行程问题 行程问题 基本相等关系：路程=速度× 时间 ；速度= 路程 ÷ 时间 ；时间= 路程 ÷ 速度 ； （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的 路程 。 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始 路程差 ； 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系二者合走了 1 圈；从出发到相遇所用时间= ；第n次相遇时，二者合走了 n 圈。 （4） 环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走 1 圈；追及所用时间= ；第n次相遇时，快者比慢者多走 n 圈。 拓展：其他行程问题 (1)航行问题：顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速。 (2)火车过桥问题：①从车头刚上桥到车尾离开桥；过桥速度×过桥时间=桥长+车长；②火车过桥全路程-桥长=车长。 考点专训 【例1】甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【变式2】甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设xs后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【变式4】A、B两地间的距离为310千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米．一列快车从B地出发，每小时行驶80千米．问： (1)若慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，慢车出发后多少小时两车相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 模块五 分段计费问题 分段计费问题 常见类型:我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气、水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和= 总费用 ；②每一段的计费标准 不同 。 考点专训 【例1】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【变式1】水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【变式2】为了让市民树立起“珍惜水、保护水”的用水概念，某市从2014年6月起，居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 20吨及以下 0.80 超过20吨但不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 3.30 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费自来水费用污水处理费用） 已知小李家今年1月份用水20吨，交水费48元，2月份用水25吨，交水费64.5元． (1)求表中、的值； (2)小李家3月份的水费正好是小李家庭月收入的，已知小李家的月收入为8560元，试求小李家3月份的用水量． 【变式3】滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 模块六 方案选择问题 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤： (1)列代数式；(2)列方程；(3)取特殊值试解；(4)决策。 考点专训 【例1】某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【变式1】某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　） A．445元 B．405元 C．356元 D．324元 【变式3】某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 (1)该超市购进篮球和排球各多少个？ (2)该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） (3)某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 【变式4】游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）． (1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程． (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程． 模块七 课后作业 1．某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某工程要求按期完成，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为天，则方程为（   ） A． B． C． D． 3．某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 4．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5．潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（    ） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 6．某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 7．小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 8．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 9．三潭枇杷是安徽黄山的特色产品，有着非常悠久的历史．某果农今年共投入元，枇杷喜获丰收，他了解到枇杷的市场销售信息为：新鲜的枇杷直接销售每斤元，若将枇杷储存一个月再销售，售价为每斤元，但重量会减少，还需要租用储存的仓库，租金为元． (1)设今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共x斤，求枇杷储存一个月再销售的总销售利润； (2)若此果农最终决定储存一个月再销售，且这样销售完之后的总销售利润是直接销售总销售利润的1.4倍，求今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共多少斤？ 10．一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚． (1)求汽车的速度； (2)求A、B两地之间的路程； (3)在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求之间的路程． 11．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 12．微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动． 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠． 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠． 若用x（元）表示商品价格，请你用含有x的式子表示两种购物优惠后所花的钱数． (1)方案一购物优惠后所花的钱数是（　　），方案二购物优惠后所花的钱数是（　　） (2)当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ (3)若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，请你列式分析一下选择哪种优惠更省钱？可节省多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元一次方程与实际问题（7个模块6个知识点6个考点） 模块导航 · 模块一 配套问题 · 模块二 工程问题 · 模块三 销售问题 · 模块四 行程问题 · 模块五 分段计费问题 · 模块六 方案选择问题 · 模块七 课后作业 模块一 配套问题 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量× b =B种配件总数量× a 。 例如，一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成，这里：镜架总数× 2 =镜片总数× 1 。 注意：可归为配套问题的还有比例问题、劳力调配问题等,解法略有差异,本质相同。比例问题直接设未知数，劳力调配问题关键是确定“调配后的数量关系”。 考点专训 【例1】某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，特别是配套问题．熟练掌握根据配套关系找出等量关系并列出方程是解题的关键．在配套问题中，要明确各部分之间的数量比例关系，以此来建立方程求解．根据生产镜片和镜架的工人数量表示出镜片和镜架的数量，再结合配套关系列出方程．已知安排名工人生产镜片，那么生产镜架的工人数量为名，然后分别计算出镜片和镜架的数量，根据两个镜片和一个镜架配套这一条件列出方程． 【详解】解：∵安排名工人生产镜片，名工人每天可生产镜片片， ∴每天生产镜片的数量为片； ∵生产镜架的工人数量为名，名工人每天可生产镜架个， ∴每天生产镜架的数量为个； ∵两个镜片和一个镜架配套，即镜片数量是镜架数量的倍， ∴可列方程为, 故选：A． 【变式1】某工厂计划生产某种零件，每个零件需要个螺丝和个螺母配套，已知车间每天可以生产个这样的螺丝或个这样的螺母，现在要求天生产的螺丝和螺母刚好完全配套，设安排天生产螺母，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排天生产螺母，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设安排天生产螺母， 由题意得，， 故选：． 【变式2】某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ， 故选：B． 【变式3】某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 【答案】(1)安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； (2)这一天有名工人加工甲种零件． 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程． （1）根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题； （2）等量关系为：加工甲种零件的总利润加工乙种零件的总利润，把相关数值代入求解即可； 【详解】（1）解：设生产甲种零件的工人有人， 根据题意得：， 解得， ， 答：安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； （2）解：设这一天有名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有个，乙种零件有个， 根据题意，得， 解得． 答：这一天有名工人加工甲种零件． 【变式4】机械厂加工车间有45名工人，为了加快速度完成任务，在原有工人的基础上调入若干名工人，使得调整后车间的总人数比调入工人的人数2倍还多5人．（请用方程解答） (1)求新调入多少工人？ (2)在（1）的条件下，若工人平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】(1)新调入40名工人 (2)安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键， （1）新调入x名工人，根据总人数比调入工人的人数2倍还多5人建立方程求解即可； （2）设安排y名工人加工大齿轮，则安排名工人加工小齿轮，根据题意可得大齿轮的数量乘以3等于小齿轮数量乘以2建立方程求解即可． 【详解】（1）解：新调入x名工人， 由题意得，， 解得， 答：新调入40名工人； （2）解：设安排y名工人加工大齿轮，则安排名工人加工小齿轮， 由题意得，， 解得， ∴， 答：安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮． 模块二 工程问题 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率× 工作时间 ，工作时间= ，工作效率= ； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体 1 ； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 方法： (1)找相等关系的规律:在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果甲量已知，从乙量设元，那么就从丙量找相等关系列方程。 (2)工程类应用题的工作量并不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”。 (3)工作总量看作“1”时，工作效率=，工作时间=。 考点专训 【例1】完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作总量等于工作效率乘以工作时间分别求出甲、乙的工作总量，二者的和为1，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【变式1】某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要5天、10天完成．如果先由乙工程队单独施工6天，然后再由两个工程队同时施工，则还需多少天完成．若设由两个工程队同时施工天可完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据总工作量等于各劳动分量之和，列出方程即可． 【详解】解：由题意，乙的总工作量为，甲的总工作量为：， ∴可列方程为：； 故选C． 【变式2】一项工作，甲单独40天完成，乙单独30天完成，甲先单独做5天后，两队合作，还需要几天完成？设剩下的工作还需要天完成，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设剩下的工作还需要天完成，且甲单独40天完成，乙单独30天完成，甲先单独做5天后，两队合作，得出甲，乙的工作效率分别为，再列出方程即可， 【详解】解：设剩下的工作还需要天完成， 由题意得，， 故选：A． 【变式3】甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 【变式4】市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作8天才能完成该工程； (2)甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 模块三 销售问题 销售问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= ×100%；③售价=进价×（1+利润率）。 （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数。实际售价= 标价×。 注意： (1)销售问题包括打折问题，且多数销售问题就是打折问题。 (2)增长率问题与打折问题本质相同，都必须搞清“基础量”是什么，即在打折前(或增长前、下降前)原量是什么。 (3)解题时要认真审题，清楚不打折时“售价=标价”；打折时“售价=标价×” 考点专训 【例1】某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，设商品标价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找准等量关系是解题关键． 求得售价和利润，根据利润售价进价列方程即可； 【详解】解：标价为元，九折出售则售价为元， 进价为 1530 元，利润率为，则利润为元， 由利润售价进价得：， 故选：A． 【变式1】学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 【变式2】一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折（标价的）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，根据“售价＝成本＋利润”即可列出方程． 【详解】解：设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，得 ． 故选：B 【变式3】某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件． A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 (2)该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据“用6000元购进A、B两种文具”列方程求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列式计算即可． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件， 根据题意得：， 解得：， ∴（件）， 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件； （2）解：（元）， 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 【变式4】“一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．开州故城一茶馆售卖特色茶饮“巴渠云雾茶”和“龙珠茶”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渠云雾茶”每杯售价20元，“龙珠茶”每杯售价15元． (1)上周末售出这两种茶饮各多少杯？ (2)已知每大罐“巴渠云雾茶”的成本为180元，每大罐“龙珠茶”的成本为160元，两者共计可冲泡35杯，且“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，每杯“龙珠茶”的成本是多少元？ 【答案】(1)售出“巴渠云雾茶”30杯；“龙珠茶”40杯 (2)8元 【分析】本题考查一次方程和分式方程的销售利润问题的应用，熟悉销售问题的数量关系式解题的关键. （1）根据题意两种茶饮共70杯，总销售额为1200可建立关系式：“巴渠云雾茶”加“龙珠茶”等于销售总额. （2）根据“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，两者共计可冲泡35杯，可建立关系式为：“龙珠茶”加“巴渠云雾茶”等于总杯数. 【详解】（1）解：设上周末售出“巴渠云雾茶”x杯，上周末售出“龙珠茶”杯； 解得： （杯） 答：上周末售出“巴渠云雾茶”30杯，上周末售出“龙珠茶”40杯. （2）设：“龙珠茶”每杯成本是元，“巴渠云雾茶”每杯成本是元. 解得： 经检验：是原分式方程的解， 答：“龙珠茶”每杯成本是8元. 模块四 行程问题 行程问题 基本相等关系：路程=速度× 时间 ；速度= 路程 ÷ 时间 ；时间= 路程 ÷ 速度 ； （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的 路程 。 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始 路程差 ； 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系二者合走了 1 圈；从出发到相遇所用时间= ；第n次相遇时，二者合走了 n 圈。 （4） 环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走 1 圈；追及所用时间= ；第n次相遇时，快者比慢者多走 n 圈。 拓展：其他行程问题 (1)航行问题：顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速。 (2)火车过桥问题：①从车头刚上桥到车尾离开桥；过桥速度×过桥时间=桥长+车长；②火车过桥全路程-桥长=车长。 考点专训 【例1】甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程—行程问题，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，根据题意乙走了500米花的时间等于甲走米的时间，然后列方程即可． 【详解】解：设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么有 故选：A． 【变式1】《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 【变式2】甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设xs后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据路程、时间、速度的关系，结合甲比乙多跑5米，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设后甲可追上乙， 根据题意，得， 还可列方程为，或， 不能列出， 故选项B中方程不正确，符合题意， 故选：B． 【变式3】（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【答案】(1)4分钟；(2)分钟 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键． （1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，小明分钟走的路程分钟走的路程爸爸追上小明所走路程，列出方程求解即可求解． （2）设爸爸出发y分钟追上小明，爸爸与小明相遇时爸爸的路程小明分钟的路程，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸追上小明用了x分钟，依题意得 ， 解得． 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，由题意得∶ ， 解得， 答： 爸爸出发分钟追上小明． 【变式4】A、B两地间的距离为310千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米．一列快车从B地出发，每小时行驶80千米．问： (1)若慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，慢车出发后多少小时两车相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 【答案】(1)小时；(2)小时 【分析】考查了一元一次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键． （1）慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，设慢车出发小时后两车相遇，根据等量关系：路程和为310千米列出方程求解即可； （2）设出发后y小时快车追上慢车，根据等量关系：路程差为310千米列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设慢车出发小时后两车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车出发小时后两车相遇； （2）解：设出发后y小时快车追上慢车，根据题意可得： ， 解得：， 答：出发后小时快车追上慢车． 模块五 分段计费问题 分段计费问题 常见类型:我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气、水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和= 总费用 ；②每一段的计费标准 不同 。 考点专训 【例1】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 【变式1】水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设7、8两月小明家共用水吨， ，解得：， 经检验，是原方程的解， 答：7、8两月小明家共用水23吨． 故答案为：C． 【变式2】为了让市民树立起“珍惜水、保护水”的用水概念，某市从2014年6月起，居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 20吨及以下 0.80 超过20吨但不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 3.30 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费自来水费用污水处理费用） 已知小李家今年1月份用水20吨，交水费48元，2月份用水25吨，交水费64.5元． (1)求表中、的值； (2)小李家3月份的水费正好是小李家庭月收入的，已知小李家的月收入为8560元，试求小李家3月份的用水量． 【答案】(1) (2)52吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——用水分段计费问题，解题关键是要读懂表格中每段计费标准，总价、单价和数量的关系． （1）根据等量关系：“小李家1月份用水20吨，交水费48元，2月份用水25吨，交水费64.5元”可列方程组求解即可． （2）先求出小李家3月份的水费，小李家3月份的用水量范围，再根据3月份的水费正好是家庭月收入的，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ， 解得． （2）解：当用水量为30吨时，水费为： (元）， （元）， ， ∴小李家3月份用水超过30吨， （吨）； 故小李家3月份的用水量是52吨． 【变式3】滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】(1)14.95元 (2)4.3千米 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理解滴滴网约车各费用项计价方式是解题的关键． （1）晚上9时属于17：00~00：00这个时间段，起步价是6元，先用6.5千米减去2.3千米，求出超出2.3千米的距离是千米，4.2千米按照5千米计费，用起步价加上超出4.2千米的钱数，也就是每千米1.55元，再用所用的时间减去7即可求出超出的时长，再成0.3即可求出超出时长的费用，再加上超出起步时长的费用即可． （２）设本次里程最长x千米，起步价加上里程加数减去2.3千米乘每千米的计费标准就等于支付的钱数，列方程，解方程，即可解答． 【详解】（1）解：（千米） 4.2千米千米 （元） 答：李叔叔需要支付14.95元． （2）解：设李叔叔本次里程最长x千米． ， 解得， 答：李叔叔本次里程最长4.3千米． 模块六 方案选择问题 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤： (1)列代数式；(2)列方程；(3)取特殊值试解；(4)决策。 考点专训 【例1】某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 【变式1】某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 【变式2】某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　） A．445元 B．405元 C．356元 D．324元 【答案】D 【分析】设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，由第二次购物付款金额第二次购物购买商品的价格可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论． 【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元， 当时，； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，则， ∴， 当时，， ∴； ∴或； 综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元，因此均可以按照8折付款： ∴或， ∴至少付款324元． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的85元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 【变式3】某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 (1)该超市购进篮球和排球各多少个？ (2)该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） (3)某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 【答案】(1)购进篮球50个，排球120个 (2)一共可获得4400元利润 (3)学校准备购买篮球12个，排球10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设超市购进篮球个，则购进排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列式计算即可得解； （3）设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设超市购进篮球个，则购进排球个，则 ， 解得，， ， 答：购进篮球50个，排球120个； （2）解：（元）， 答：一共可获得4400元利润； （3）解：设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个， 由题意可得：， 解得：， ， 答：学校准备购买篮球12个，排球10个． 【变式4】游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）． (1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程． (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程． 【答案】(1)年卡；过程见详解；(2)次 【分析】本题考查了购票问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键． （1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳次．方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量=总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用；方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费元，那么游泳次需另收费元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用；再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算． （2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，等量关系为：单次卡每次的费用次数年卡的费用每次游泳另外的收费次数，据此列出方程，并求解． 【详解】（1）解：爸爸一年游泳：（次）， 单次卡：（元）， 年卡：（元）， ， 答：他选择年卡更划算． （2）设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等， 答：一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等． 模块七 课后作业 1．某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， ， 故选：B． 2．某工程要求按期完成，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为天，则方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了工程问题．理解题意列出方程是解题的关键． 工程问题的基本公式是：工作总量工作效率工作时间．甲队单独完成需天，则甲队的工作效率是，乙队单独完成需天，则乙队的工作效率是．根据甲队先单独做的工作量加上甲乙两队合作的工作量等于工作总量（设为1）来列方程． 【详解】解：甲队单独做的工作量： 甲队单独做40天，甲队的给工作效率是， 那么甲队单独做的工作量为． 两队合作的工作量： 因为工期是天，甲队已经做了4天，所以两队合作的天数是天， 甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，那么两队合作的工作量为，即． 所以该方程可列为：． 故选D． 3．某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的标价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：设该服装每件的标价是x元，根据题意得： ， 故选：A． 4．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．依题意设他家到学校的路程是，根据每小时骑，可早到10分钟，即，每小时骑就会迟到5分钟，即，进行列方程即可． 【详解】解：设他家到学校的路程是， 由题意得，． 故选：B． 5．潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（    ） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 【答案】C 【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元． 若，根据题意得，不成立． 若，根据题意得． 解得（舍）． 若，根据题意得． 解得． 若，根据题意得． 解得（舍）． 若时，根据题意得． 解得（舍）． ∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 6．某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 【答案】D 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元． （2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280． ①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315． 即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元． 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款： 360×0.8=288元 395×0.8=316元 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 7．小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 【答案】(1)用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒 (2)小军做出的包装盒更多，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键 （1）设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答； （2）分别按小红和小军设计的方案列出方程解答，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒； （2）解：小红的方案，设张做盒身，则有张做盒盖， 根据题意得：， 解得：； 小军的方案，设余下的纸板张做盒身， 根据题意得：， 解得：， ， 则小军做出的包装盒更多． 8．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【答案】(1)甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成 (2)甲工程队施工了1周 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 9．三潭枇杷是安徽黄山的特色产品，有着非常悠久的历史．某果农今年共投入元，枇杷喜获丰收，他了解到枇杷的市场销售信息为：新鲜的枇杷直接销售每斤元，若将枇杷储存一个月再销售，售价为每斤元，但重量会减少，还需要租用储存的仓库，租金为元． (1)设今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共x斤，求枇杷储存一个月再销售的总销售利润； (2)若此果农最终决定储存一个月再销售，且这样销售完之后的总销售利润是直接销售总销售利润的1.4倍，求今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共多少斤？ 【答案】(1) (2)今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共4000斤 【分析】本题考查的是一次方程的销售问题的应用，根据题目意思列出关系式是解决本题的关键． （1）由题意得销售总额减去成本等于总销售利润，可以列关系式； （2）根据题意销售完之后的总销售利润是直接销售总销售利润的1.4倍，可以列方程. 【详解】（1）解：由题意可得，枇杷储存一个月再销售的总销售利润为 （2）由题意及（1）可得，． 解得． 答：今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共4000斤． 10．一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚． (1)求汽车的速度； (2)求A、B两地之间的路程； (3)在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求之间的路程． 【答案】(1)44千米/小时 (2)40千米 (3)100千米 【分析】本题主要考查了复杂的相遇问题和追及问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了2个全程，相邻两次的追及路程差相差了2个全程． （1 ）通过题意可知，从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，从第①次追及到第②次追及，汽车和小刚经过的路程差也相当于两个两个A、B两地的距离，已知第①次相遇到第②次相遇经过了分钟，也就是小时，第①次追及到第②次追及经过了分钟，也就是2小时，根据速度和×相遇时间=路程和，速度差×追及时间=路程差；所以设汽车的速度是x千米/小时，列方程为，然后解出方程即可求出汽车的速度． （2 ）从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用汽车的速度加上小刚的速度的和乘2小时，再除以2即可求出A、B两地之间的路程． （3 ）根据题意可知，从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和相当于1个之间的距离加上2个之间的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用即可求出从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和，再减去之间的距离，即可求出2个之间的距离，最后除以2，即可求出之间的距离． 【详解】（1）解：（分钟） 100分钟小时 （分钟） 120分钟小时 设汽车的速度是x千米/小时． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车的速度是44千米/小时． （2）解： （千米） 答：A、B两地之间相距40千米． （3）解： （千米） 答：之间的路程为100千米． 11．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)40吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨． ①当， 可得， 解得； ②当， 可得， 解得 (舍去)． 即小王家11月份用水13吨． 12．微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动． 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠． 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠． 若用x（元）表示商品价格，请你用含有x的式子表示两种购物优惠后所花的钱数． (1)方案一购物优惠后所花的钱数是（　　），方案二购物优惠后所花的钱数是（　　） (2)当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ (3)若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，请你列式分析一下选择哪种优惠更省钱？可节省多少元？ 【答案】(1)元；元； (2)2000元； (3)方案二更省钱，可节省70元 【分析】题目主要考查列代数式及一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可． （2）求当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同，即上一题两种方案用字母表示的式子相等，据此列出方程，并求解． （3）已知购买2700元的一部手机，把2700它代入第（1）题两种方案用字母表示的式子中，计算出得数，再比较，得出哪种方案更省钱，再用减法求出节省的钱数． 【详解】（1）解：方案一：（元） 方案二：（元） 所以方案一购物优惠后所花的钱数是元，方案二购物优惠后所花的钱数是元． （2） 答：当商品价格为2000元时，两种优惠所花的钱数相同． （3）方案一：（元） 方案二：（元） ，即方案二更省钱． （元），即可节省70元． 答：若某人计划在该超市购买价格为元的一部手机，方案二更省钱，可节省70元． 学科网（北京）股份有限公司 $$