精品解析：山东省济宁市兖州第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学测试 一、单选题 1. ，对于任意实数x恒成立， 则下列关系中成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简集合Q，对任意实数恒成立，则分两种情况：（1）时，易知结论成立，（2）时，无根，则由求得m的范围. 【详解】， 对m分类： （1）时，恒成立； （2）时，需要，解得， 综合（1）（2）知，所以， 因为，所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断集合间的关系的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求法，真子集的概念问题，属于简单题目. 2. 有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，直接作差结合立方差公式变形即可判断；对于②，由对数函数单调性、换底公式即可判断；对于③，作商比较大小即可；对于④，直接根据不等式的性质，同向不等式相加即可判断. 【详解】对于①，若，则，故命题①是真命题； 对于②，若，则，故命题②是假命题； 对于③，若，，则，故命题③是真命题； 对于④，若且，则，故命题④是真命题； 综上所述：真命题有①③④. 故选：C. 3. 若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知，分段函数在定义域上单调递减，分别限定各函数的单调性以及端点处的取值即可求出实数的取值范围. 【详解】根据题意可知，函数在上单调递减， 所以需满足，解得. 即实数的取值范围为. 故选：A 4. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合表示不超过的最大整数，利用函数的值域求法求解. 【详解】解：， 因为， 所以，， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数的值域是， 故答案为：D 5. 已知，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得，令可得，对分奇偶讨论求解. 【详解】因为， 令，可得， 令，可得， 所以， 若为奇数，则，解得，符合； 若为偶数，则，无整数解，不符合， 综上，. 故选：B. 6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为， 甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为， 甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种， 场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时， 场馆仅有2名志愿者的概率为. 故选：B． 7. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间，画出的图象，结合图象求解即可. 【详解】的定义域为，则， 因为有两个极值，所以有两个不等的实数解， 由，得， 令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示， 由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题. 8. 已知函数，则方程的根的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，判断单调性画出图象，令，则，结合图象方程有两解，，结合图象可知方程有两解，也有两解，从而可解. 【详解】 对求导得：， 所以当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，函数在处取得极小值， 在处取得极大值， 作出曲线，如图， 由得，解得， 令，则，结合图象方程有两解，，所以或， 因为，所以, 结合图象可知方程有两解， 又因为，结合图象可知也有两解， 所以方程共有4个根. 故选：B 【点睛】方法点睛: 求函数零点(方程根)的常用的方法: （1）直接法:直接求解方程得到方程的根； （2）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 9. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 已知一组数据，，，…，的方差是5，则，，，…，的方差也是5 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断B；根据方差的运算，即可判断C；将代入线性回归方程，即可求出的值. 【详解】对于A，由于，则，故A正确； 对于B，因为， 所以， 故，故B正确； 对于C，因为的方差与的方差相同，故C正确； 对于D，根据回归方程必过样本中心点，可得，解得，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可判定A；利用基本不等式可排除B；利用奇偶性可判定C；由题意得出和4是方程的两根，且，利用根与系数的关系，得出，，代入，结合二次函数的性质即可判定. 【详解】对于A选项，因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B选项，易知，故， 由基本不等式知，等号不成立，故B错误；  对于C选项，易知，令， 易知，即为奇函数， 所以，则，故C正确； D选项，关于x的不等式的解集为或， 所以和4是方程的两根，且， 由根与系数的关系知，， 所以，， 所以关于的不等式可化为， 令，对称轴，， 因为不等式的解集中仅有两个整数， 所以这两个整数是，或，， 当这两个整数是和时，则，解得； 当整数是和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意， 综上，a的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知分别是函数和的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，根据可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到的范围即可判断D选项. 【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标， 如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确； 由反函数的性质可得，因为单调递增，， 所以，所以，故C错； 当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为 ，所以， 所以的范围为，那么，而，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知正态分布密度曲线,且,则方差为_____. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：正态分布密度曲线可知对称轴为=20,所以函数的最大值是，所以，即=，所以方差为2. 考点：正态分布曲线的特点; 正态分布曲线所表示的意义. 13. 若，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 14. ，不等式恒成立，求a的最小值是______ 【答案】 【解析】 【分析】转化题目所给恒成立的不等式，结合构造函数以及多次求导来求得的取值范围. 【详解】依题意，，不等式恒成立， 即时，不等式恒成立， 即时，不等式恒成立， 构造函数， 设， 所以在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增. 所以，所以单调递增， 所以 ，即， 构造函数， 所以在区间上，单调递增； 在区间上，单调递减. 所以， 所以，所以的最小值是. 故答案为： 【点睛】利用导数研究函数的性质，当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行研究，在求解的过程中，要注意原函数和对应的导函数的关系，不能弄混淆.求解含参数不等式恒成立问题，可考虑利用分离参数法进行求解. 四、解答题 15. 已知在的展开式中第5项为常数项. （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，由常数项即可求解， （2）由通项以及有理项的定义即可求解. 【小问1详解】 展开式的通项公式为 因为第5项为常数项，所以时，有，解得； 【小问2详解】 由题意得，，解得，4，7， 将其代入通项中可得，， 所以有理项分别为，， 16. （1）设集合，，求：，； （2）已知、、都是正数，且满足，求证：. 【答案】（1）当时，，；当时，，；当且时，，. （2）证明：因为、、都是正数，则，当且仅当时，等号成立， 同理可得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，. 【解析】 【分析】（1）分、、且三种情况讨论，求出集合、，利用交集和并集的定义可求得集合，； （2）利用基本不等式可得出、，，利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】解：（1）因为， . ①当时，则，则，； ②当时，则，则，； ③当且时，则，则，. 综上所述，当时，，； 当时，，； 当且时，，. （2）略 17. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）适宜作为与之间的回归方程模型， （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【小问1详解】 根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. 【小问2详解】 由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 18. 已知函数在点处的切线方程为． ⑴求函数的解析式； ⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值； ⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）4；（3）. 【解析】 【详解】(1)求导，根据建立关于a,b的方程，求解即可． (2) 本题实质是对于区间上任意两个自变量的值，都有 ,然后利用导数求f(x)的最值即可． (3) 因为点不在曲线 上，所以可设切点为． 则．因为 ，所以切线的斜率为．则 =， 即．从而转化为方程 有三个不同的实数解， 构造函数,证明它有三个不同的零点即可． 解：⑴． 根据题意，得即 解得 所以． ⑵令，即 ．得． 1 2 + + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 2 因为， ， 所以当时，， ． 则对于区间上任意两个自变量的值 ，都有 ，所以 ． 所以的最小值为4． ⑶因为点不在曲线 上，所以可设切点为． 则． 因为，所以切线的斜率为 ． 则= ， 即． 因为过点可作曲线 的三条切线， 所以方程有三个不同的实数解． 所以函数有三个不同的零点． 则．令，则 或． 0 2 + + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则 ，即，解得 ． （注：此题其它解法正确也给分） 19. 已知函数有两个不同零点，（）. （1）求a的取值范围； （2）证明：； （3）证明：. 【答案】（1） （2） 构建， 则，可知在内单调递增， 可得，即，可得， 由题意可知：， 则， 又因为，且在内单调递增， 则，所以. （3） 由（2）可得， 即，则， 若证，等价于，即， 因为，即， 可得，整理可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 注意到，则，即； 因为，即切点坐标为，切线斜率， 则在处切线方程为，即， 令，可得， 构建，则 令，可得；令，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，即， 则，且在定义域内单调递减，所以； 因为，即切点坐标为，切线斜率， 则在处切线方程为，即， 令，可得， 构建， 即， 则，且在定义域内单调递增，所以； 注意到等号不能同时成立，所以； 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值，结合零点分析求解即可； （2）构建，利用导数可证，根据题意结合函数单调性分析证明； （3）分析可知等价于，构建函数证明即可；利用切线放缩可得，，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，可知， 且当x趋近于或时，趋近于， 若函数有两个不同零点，则，即， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学测试 一、单选题 1. ，对于任意实数x恒成立， 则下列关系中成立的是 A. B. C. D. 2. 有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 3. 若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程的根的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题 9. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 已知一组数据，，，…，的方差是5，则，，，…，的方差也是5 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 11. 已知分别是函数和的零点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知正态分布密度曲线,且,则方差为_____. 13. 若，且，则的最小值为__________． 14. ，不等式恒成立，求a的最小值是______ 四、解答题 15. 已知在的展开式中第5项为常数项. （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项. 16. （1）设集合，，求：，； （2）已知、、都是正数，且满足，求证：. 17. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 18. 已知函数在点处的切线方程为． ⑴求函数的解析式； ⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值； ⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 19. 已知函数有两个不同零点，（）. （1）求a的取值范围； （2）证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $