上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月阶段性教学质量评估数学试卷（B卷）

复旦大学附属中学 2024—2025 学年第二学期高二年级 数学学科阶段性教学质量评估试卷（AB 卷）2025.6.25 考生注意： 1. 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 本试卷分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上， 在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分，请在答题纸相 应编号的空格内直接写结果. 1．如图，已知集合  1,2,3,4A  ，  2,3,4,5B  ，则图中阴影部分所表示的集合 ． 1 2．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的顶点到焦点的距离为 2，则 p  ．4 3．已知直线 l 的一个方向向量为  3,2, 1d     ，平面 的一个法向量为  , 1,9n t t   ，若 l ∥ ，则 t  ． 7 4．在集合 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是 ． 2 5 5．不等式 4 2 1 x x    的解集是 ．  2,1 6. 设 aR ，不等式 1 2x x a    对一切 xR 恒成立，则 a的取值范围为________.    , 3 1,   *7A ． 已 知 数 据 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的 平 均 数 是 4 ， 数 据 2 2 2 2 2 2 3 4 51 , , ,,x x x x x 的 平 均 数 是 20 ， 则 1 2 3 4 52 1,2 1,2 1,2 1,2 1x x x x x     的方差为 .16 *7B．已知数据 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的方差是 4，则 1 2 3 4 52 1,2 1,2 1,2 1,2 1x x x x x     的方差为 .16 8. 已知 1 2F F、 是椭圆 2 2 : 1 9 5 x y   的两个焦点，点M 在椭圆 上，则 1 2 1 1 MF MF  的最大值为________． 6 5 9．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线 2 1 0x y   平行，则双曲 线C 的离心率为 ． 3 或 6 2 10．若圆  22 22x y r   （ 0r  ）上到直线 3 2y x  的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 r 的取值范围 是 ．  1,3 11. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为 地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度， 已知点 A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 B ，C 两点与 点 A在同一条直线上，且在点 A的同侧.若在 B ，C 处分别测得球体建筑物 的最大仰角为60 和30 ，且 4BC  ，则根据测得的球体高度可计算出球体 建筑物的体积为 . 32 π 3 12．设有穷数列 na 为首项为 1、公比为 2、末项为 20252 的等比数列，则在数列 na 中，首位是 4 的项的个数为 _________. 【解答】197. 我们知道 2025 6092 3.85 10  ，这点可以通过 2025lg 2 609.59 及 2025lg 2 60910 3.85  得到. 于是 20252 是一个首位为 3 的 610 位数. 在该数列中，我们发现，“ na 的首位为 1”等价于“ 1na  的首位为 5,6,7,8,9”也等价于“ 1na  的首位为 2,3”. 首位为 1 的 项有 610 个，这说明首位为 2,3 的项有 610 个，首位为 5,6,7,8,9 的项有 609 个. 于是首位为 4 的项有 2026 610 610 609 197    个. 二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 题，第 13—14 题每题 4 分，第 15—16 题每题 5 分，每题有且只 有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13．已知异面直线 a、b 所成角为 ，m  、n  分别为直线 a、b 的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（）D （A） cos m n m n        （B）  cos π m n m n         （C） cos m n m n        （D） cos m n m n         14．已知 a bR、 ，则“ 2ab b ”是“ 0a b  ”的（ ）条件 B （A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既非充分又非必要 *15A．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件 :A “正面向上的次数大于反面 向上的次数”，事件 :iB “第 i 次抛掷的结果为正面向上”（其中 1,2i  ），则有（ ）D （A）事件 A与事件 1B 是互斥事件 （B）事件 1B 与事件 2B 是对立事件 （C）    1 1 2P A B P B B  （D）    1 1 2P A B P B B  *15B．从装有 2 个白球和 2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件 （ ）D （A）“至少有一个黑球”与“都是黑球” （B）“至少有一个黑球”与“至少有一个白球” （C）“至少有一个黑球”与“都是白球” （D）“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” 16. 有两个棱长均为 1 的正四棱锥，底面中心分别为 P Q、 ，另有一个棱长为 1 的正四面体，现将两个正四棱锥 的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体. 对于所有的拼接方式，线段 PQ的 长度所组成的集合中，共有（ ）个元素 A （A）1 （B）3 （C）5 （D）7 【解答】 如图，在四棱锥 S ABCD 中，不妨设面 SCD 贴在四面体上， 考虑点 P 在平面 SCD 上的投影 H ，通过计算可以得到点 H 是 SCD△ 的中心. 这说明无论 SCD△ 以何种方式贴在四面体上，点 P 的位置不会改变. 再根据正四面体的对称性，线段 PQ长度的集合只有 1个元素. S P A B C D 三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要 的步骤. 17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知数列 na 中， 1 3a  ， 1 3 2nn na a    . （1）证明数列 2nna  是等比数列，并求数列 na 的通项公式； （2）在数列 na 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明 理由. 【参考答案】 （1）因为 1 2 1 0a    且 1 1 +1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n a a a a a a              ，所以 2nna  是等比数列 故   12 1 1 nnna     ，所以   12 1 nnna    . （2）若存在 1 1, ,m m ma a a  成等差数列，则 1 1 2m m ma a a   即       2 11 12 1 2 1 2 2 1 m m mm m m            ， 当m 是奇数时， 12 2 2m   ，解得： 3m  ，满足条件；当m 是偶数时， 12 2 2m    ，此时无解. 所以 3m  满足条件，此时 2 3 43, 9, 15a a a   . 18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知 aR 且 0a  ，记   2 1f x ax x   . （1）解关于 x 的不等式   1f x   ； （2）若关于 x 的不等式   0f x  的解集为  ,m n ，求 4m n 的最小值. 【参考答案】 （1）当 0a  时，不等式的解集为  1, 0, a         ；当 0a  时，不等式的解集为 10, a      . （2）由题意知 ,m n 分别是方程 2 1 0ax x   的两根，且 0a  ，由韦达定理可知 1 0 1 0 m n a m n a             ，所以 0, 0m n  且 1 1 1 m n m n mn     ，所以 1 1 4 4 4 (4 ) 5 5 2 9 n m n m m n m n m n m n m n                ， 当且仅当 4n m m n  ，即 3 , 3 2 m n  时等号成立，所以 4m n 的最小值为 9. 19. （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分. 人工智能算力是驱动AI 时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某 人工智能实验室收集了 30 台服务器的单机均值算力数据（单位：TFLOPS），数据范围在100 300 之间（模拟数 据排序如下）． 115 119 120 133 150 160 161 170 180 190 210 220 220 220 220 225 230 230 239 240 240 241 244 245 247 247 249 250 285 300 （1）直接写出这组数据的众数和极差； （2）现该实验室准备组建一个服务器集群，为了使该服务器集群总算力最大（即算力总和最大）的同时又 满足能耗比的需求（要求该集群的服务器的平均算力不低于 250），该实验室应该选取多少台服务器组成服务器 集群？分别是哪几台？ （3）若该实验室增加 2 台服务器，收集算力数据分别是 a和b （ a b ），通过计算发现，平均值和第 75 百 分位数都不变，求 a b、 的值. 【参考答案】 （1）观察已知数据，众数为 220，极差为300 115 185  . （2）13 台；取所有算力大于等于 239 的服务器，取 1 台 230 的服务器. （3）增加前，均值为 210， 420a b  ， 210, 210a b  ；由30 75% 22.5  ，得第 75 百分位数为 244； 增加后，32 75% 24  ，第 75 百分位数为第 24 与第 25 个数据的均值，仍为 244，所以 244b  ，故 176a  . 20. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 如图，在四边形 ABCD中， AB CD∥ ， 90DAB  ， 3AB  ， 2CD  ， 1AD  ，F 为CD的中点，点 E 在 AB 上， EF AD∥ ．将四边形 EFDA 沿 EF 翻折至四边形 EFD A ，使得二面角 A EF B   的大小为 ． （1）证明： A B ∥平面CD F ； *（2A）已知 60  ， （i）求 A B 与平面 EFD A 所成角的大小； （ii）求多面体 D A EFCB  的体积. *（2B）已知 90  ， （i）求 A B 与平面 EFD A 所成角的大小； （ii）求多面体 D A EFCB  的体积. 【参考答案】 （1）由题意知 1DF  ，因为 EF AD∥ ，AB CD∥ ，所以 AEFD 是平行四 边形， 所以 AE DF∥ ，故 A E D F ∥ ，又因为 D F 平面CD F ，A E 不在平 面CD F 上，所以 A E ∥平面CD F ；同理由 EB FC∥ 可得 EB∥平面CD F ， 又 EB A E、 是平面 A EB 内的两条相交直线，所以平面 A EB ∥平面CD F ；又 A B 平面 A EB ，所以 A B ∥平面CD F ． *（2A）（i）由题意知， EF EB ， EF A E ，故 A EB 是二面角 A EF B   的平面角，即 60A EB  ， 且 EF 平面 A EB ，所以 EF A B . 在 A EB△ 中， 1A E  ， 2EB  ，所以 A B A E  . 又因为 A E 和 EF 是平 面 EFD A 内的两条相交直线，所以 A B 平面 EFD A ，所以 A B 与平面 EFD A 所成角为90 . （ii） 1 1 1 1 3 5 3 1 3 1 3 3 3 3 4 12D A EFCB B A D EF B CD F A D EF CD F V V V S A B S EF                      . *（2B）（i）由题意知，平面 EFD A  平面 A EB ，且交线为 EF ，又 EB  EF ，所以 EB 平面 EFD A ， 所以 BA E 是 A B 与平面 EFD A 所成角.在 A EB△ 中， 1A E  ， 2EB  ，所以 tan 2BA E  ，故 A B 与平面 EFD A 所成角的大小为 arctan 2 . （ii） 1 1 1 1 1 5 1 2 1 3 3 3 3 2 6D A EFCB B A D EF B CD F A D EF CD F V V V S EB S EF                     . 21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 已知双曲线 2 2 2 2 : 1 x y a b    的离心率为 5 ，实轴长为 2. （1）求 的方程； （2）设点  0 0,A x y 在双曲线 的左支上，过点 A 分别作斜率为1与 1 的直线 1 2l l、 与双曲线 交于 B C、 两点, 求 ABC△ 的面积 S 关于 0y 的函数表达式，并求 S 的取值范围. *（3A）过点  ,P m n 作 的两条切线 3 4l l、 , 设直线 3 4l l、 的斜率分别为 3 4k k、 . 若 3 4k k 为定值 t ，求点 P 的轨 迹方程及 t 的取值范围. *（3B）过点  ,P m m （ 0m  ）作 的两条切线 3 4l l、 , 设直线 3 4l l、 的斜率分别为 3 4k k、 . 若 3 4k k t ，求点 m 的取值范围及 t 的取值范围. 【参考答案】 （1）由题意： 2 2 5,2 2 a b a a    , 解得 2 21, 4a b  , 于是 2 2 1: 4 y x   . （2）设    1 1 2 2, , ,B x y C x y , 则直线 1 0 0:l y y x x   与双曲线  联立后解得 1 0 0 5 8 3 3 y y x  ，同理解得 2 0 0 5 8 3 3 y y x  . 故 1 0 0 0 2 2 2 4 3 AB y y y x    ，同理 0 0 2 2 4 3 AC y x  . 又由于 1 2l l , 所以  2 2 20 0 0642 4 1 9 9 1 6 31S A AC yB y x     , S 的取值范围为 64 , 9     . （3A）设切线方程为  y n k x m   , 与双曲线 联立后得：     2 22 11 1 0 4 2 4 k k x n km x n km             . 由 0  得       2 2 2 2 2 214 1 1 4 0, 4 4 4 2. k k n km n km n km k k                        化简得关于 k 的方程    2 2 2 2 1 2 4 0m k k mnk n          ，该方程也要有两个不同的实根，于是根据 0k  , 我们得到    2 2 ,0 01 4 ,1m n    . 根据韦达定理我们知道 2 3 4 2 4 1 n k k t m     ，这说明点  ,P m n 的轨迹方程为： 2 2 4tm n t   （其中    2 2 ,0 01 4 ,1m n    ） 下面考虑 t 的取值范围： ①当 2 1 0m   时， 2 2 2 2 4 4 4 1 1 n m t m m       ；②当 2 1 0m   时， 2 2 2 4 4 4 1 1 n t m m        . 所以 t 的取值范围为    4 ,, 4    . 答： P 的轨迹方程为：    2 2 2 21 ,0 0,4 4 1tm n t m n            ， t 的取值范围为    4 ,, 4    . （3B）设切线方程为  2y k x m   , 与双曲线 联立后得：     2 22 11 2 2 1 0 4 2 4 k k x km x km             . 由 0  得       2 2 2 2 2 212 4 1 2 1 4 2 0, 2 4 . 4 4 k k km km km k k                        化简得关于 k 的方程  2 2 8 2 1 4 0m k k mk         ，该方程也要有两个不同的实根，于是根据 0k  , 我们得到 20 2m  且 2 1m  ，故0 2m  且 1m  . 根据韦达定理我们知道 3 4 2 8 1 k k t m    ，计算得 t 的取值 范围为    8 ,, 8    . 复旦大学附属中学2024一2025学年第二学期高二年级 数学学科阶段性教学质量评估试卷（B卷)2025.6.25 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟， 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上， 在试卷上作答一律不得分， 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1一6题每题4分，第7一12题每题5分，请在答题纸相 应编号的空格内直接写结果. B 1.如图，已知集合A={九，2,3,4}，B={2,3,4,5},则图中阴影部分所表示的愧」 2.已知抛物线y2=2x(p>0)的顶点到焦点的距离为2，则p=_, 3.已知直线1的-个方向向量为a=(-3,2-),平面a的一个法向量为n=(化，+1,9)，若 l∥a,则t= 4.在集合{1,2,3,4,5}中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是 5.不等式-4≥2的解集是 x-1 6.设a∈R,不等式x-+x+d≥2对一切xeR恒成立，则a的取值范围为 *7.已知数据x,五，5x4,3的方差是4，则2x-1,2x-12x-1,2x,-1,2x-1的方差为 &知爪、5是搭圆T号+号-1的两个嘴点，点以在箱因r上，则项喝 的最大值为 9.已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线√2x-y-1=0平行，则双曲 线C的离心率为 10.若圆2+(y+2=2(r>0)上到直线y=V5x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 11.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地 图学提供了数学基础现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度， 已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B,C两点与 点A在同一条直线上，且在点A的同侧若在B,C处分别测得球体建筑物 607 的最大仰角为60和30°，且BC=4,则根据测得的球体高度可计算出球体 建筑物的体积为 12.设有穷数列{a,}为首项为1、公比为2、末项为25的等比数列，则在数列{a,}中，首位是4的项的个数为 第1页，共4页 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13一14题每题4分，第15一16题每题5分，每题有且只 有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑 13.已知异面直线a、b所成角为0，m、n分别为直线a、b的方向向量，则以下结论中，一定成立的是() (A)cos0= m刀 (B)cos(π-)= mn (c)cos= m·n m-n 羽 (D)cos0= 14,已知a、beR,则“ab>b2”是“a>b>0”的()条件 (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分又非必要 *15.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件() (A)“至少有一个黑球”与“都是黑球” (B)“至少有一个黑球”与“至少有一个白球” (C)“至少有一个黑球”与“都是白球” (D)“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” 16.有两个棱长均为1的正四棱锥，底面中心分别为P、Q,另有一个棱长为1的正四面体，现将两个正四棱锥 的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体.对于所有的拼接方式，线段PQ的 长度所组成的集合中，共有( )个元素 (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要 的步骤， 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{a}中，a=3,a1+a,=32. (1)证明数列{口。-2}是等比数列，并求数列{a}的通项公式： (2)在数列{a}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明 理由 纯n石北A 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知a∈R且a≠0，记f(x)=ar2+x-1. (1)解关于x的不等式∫(x)>-1: (2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(m,n),求4m+n的最小值. 19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分， 人工智能算力是驱动A1时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”，某 人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：TFLOPS),数据范围在100-300之间，排序后 的数据如下： 115 119 120 133 150 160 161 170 180 190 210 220 220 220 220 225 230 230 239 240 240 241 244 245 247 247 249 250 285 300 (1)直接写出这组数据的众数和极差： (2)现该实验室准备组建一个服务器集彩，为了使该服务器集群总算力最大（即算力总和最大）的同时又 满足能耗比的需求（要求该集群的服务器的平均算力不低于250），该实验室应该选取多少台服务器组成服务器 集群？分别是哪几台？ (3)若该实验室增加2台服务器，算力数据分别是a和b(a<b),通过计算发现，增加这两台服务器前后， 该实验室服务器的平均值和第75百分位数都不变，求、b的值， 第3页，共4页 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，AB=3,CD=2,AD=I,F为CD的中点，点E在 AB上，EF∥AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD',使得二面角A-EF-B的大小为日， (I)证明：A'B∥平面CD'F: D (2)已知0=90°， (i)求A'B与平面EFD所成角的大小： (ii)求多面体D'A'EFCB的体积， 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知双曲线r:父-y 云京=1的离心率为V5,实轴长为2， (1)求T的方程： (2)设点A(x,)在双曲线Γ的左支上，过点A分别作斜率为1与-1的直线4与双曲线厂交于B、C 两点，求△ABC的面积S关于，的函数表达式，并求S的取值范围. *(3)过点P(m,2）(m>0)作T的两条切线、4，设直线1，的斜率分别为k、k4.若kk,=1,求点m 的取值范围及1的取值范围， 第4页，共4页