6.3.1 二项式定理(教学设计) - 2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

2025年“道湘杯”大赛 教学设计 人教A版2019 高中数学选择性必修第三册 6.3.1二项式定理 参赛人： 胡雅婷 学校名： 道县第二中学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6.3.1 二项式定理 教学设计 课题名称 6.3.1 二项式定理 科 目 数学 教学对象 高二 课时 1课时 设计人 胡雅婷 所在学校 道县第二中学 一、课标及课标分析 1. 引导学生探究二项式定理与排列组合之间的联系，培养学生的逻辑推理能力和数学抽象能力； 2. 通过解决实际问题，使学生能够体会到数学知识的应用价值，增强学习数学的兴趣和动力。 二、教材分析 本节内容在教材中占据重要地位，它不仅是高中数学的基础知识之一，也是连接排列组合与后续数学知识的重要桥梁。教材在编排上，先通过复习排列组合的相关知识，为学生理解二项式定理提供必要的数学基础。在内容呈现上，教材采用了由易到难、逐步深入的方式。先通过具体例子引出二项式定理，再逐步推导定理的一般形式，使学生能够循序渐进地掌握定理。同时，教材中还配备了丰富的例题和习题，有助于学生巩固所学知识，提高解题能力。 三、学情分析 学生在学习《二项式定理》之前，已经掌握了排列组合的基本概念与原理，具备了一定的数学逻辑思维和抽象思维能力。然而，《二项式定理》的内容相对抽象，需要学生具备较强的逻辑推理能力和数学运算能力。在学习过程中，学生可能会遇到理解二项式定理的推导过程、运用定理解决实际问题等困难。因此，教师需要采用直观的教学方法，如通过图形展示、实物演示等方式，帮助学生理解定理的本质。 同时，教师还可以结合排列组合的知识，引导学生发现二项式定理与排列组合之间的联系，从而加深对定理的理解和记忆。此外，通过小组合作学习和分层教学等策略，可以满足不同学生的学习需求，提高整体教学效果。 四、教学目标/核心素养目标 1. 理解二项式定理的推导过程，掌握二项式定理的相关概念，发展学生数学抽象、逻辑推理核心素养； 2. 能利用二项式定理及二项展开式的通项解决相关问题，提升思维水平，发展学生数学运算、逻辑推理核心素养。 五、教学重难点及课时安排 1. 重点: 掌握二项式定理及其二项展开式的通项 2. 难点: 能解决与二项式定理有关的简单问题 六、教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 问题引入 问题：（1）今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢? （2）如果是15天后的这一天呢？ （3）如果是8100天后的这一天呢？ 教师：问题（1）和问题（2）好解决，问题（3）的解决，需要用到二项式定理的知识。 观察数据并思考问题，尝试回答教师的问题。 通过实际生活中的数据场景，结合问题引入，激发学生学习兴趣. 探究新知 探究：我们知道，， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 要求：分析方法：由特殊到一般. 先分析的展开过程，然后根据的展开过程，以此类推探究、、....，甚至的展开式. 预设：根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式． 学生思考辨析、讨论交流，分析的展开式。 通过问题串引入二项式定理，让学生体会知识的发展是建立在已有的知识基础上的.通过分析已有知识得出规律，进而发展构建新知识. 概念形成 思考：下面我们再来分析一下形如的同类项的个数． 预设：当时，，这是由2个中都不选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取0个（都取）的组合数，即只有1个． 当时，，这是由1个中选，另1个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个． 当时，，这是由2个中都选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个． 由上述分析可以得到 ． 思考：依照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 预设：； 思考：依据上述过程，写出展开式 二项式定理： 以上公式叫做二项式定理. 展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． 二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 尝试着对k进行取值，并结合排列组合知识探究. 回顾以上探究过程，知识迁移，进行，的展开式的探究. 自主写出的展开式 通过得出猜想，并说明其正确性，让学生体会从特殊到一般的思想方法，体会归纳猜想在知识产生过程中的重要性. 概念深化 二项展开式的通项：用表示，即通项为展开式的第项： 二项式定理的辨析： (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是C (k=0,1,2,…,n), 它的值只与n和k的值有关系，与a,b没有关系. (3)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. (4) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设，，则有 (5)由（4）知，令x=1，得 即二项展开式中的二项式系数的和等于 练习：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a - b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 辨析二项式定理概念及通项公式，理解取特殊值时的二项展开式。 独立思考，同桌交流讨论，得出结果. 通过对二项式定理概念及通项公式的深入，引导学生发现二项式定理和排列组合之间的联系。 应用举例 例1：求的展开式． 跟踪练习：求的展开式. 例2 （1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 跟踪练习: （1）求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; （2）求x9的展开式中x3的系数. 总结：二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数,它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念。 (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C 。 回顾二项式定理，得到例1中的展开式。 学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案。 教师提出问题，帮助学生区分二项式系数与项的系数。 通过例题，让学生熟悉二项式定理并能应用，促进学生记忆公式，培养学生的数学运算核心素养。 通过利用二项式定理解决问题，及时巩固所学知识，形成解决二项式定理有关问题的一般方法，进一步发展学生的数学运算和逻辑推理核心素养。 能力提升 1.已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 2.在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 3.化简： ． 布置能力提升题，学生课后自主思考。 通过求参数、多项式的展开式、二项式定理的逆用三种类型题，巩固深入已学知识。 归纳总结 1. 二项式定理是如何得出的？二项式定理的内容是什么？二项式中的a，b分别可以表示什么？ 2. 二项展开式的通项如何表示？ 3. 某一项的二项式系数与这一项的系数的区别是什么？如何求二项式系数及项的系数？ 教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答问题。 通过提出问题，帮助学生回顾二项式定理的推导过程及有关概念，总结用二项式定理解决问题的方法，形成完整的知识体系。 布置作业 1.完成教材：第31页 练习1-5； 2.配套课时作业对应的《二项式定理》.  布置对应的作业，巩固新知。 板书设计 教学反思： 本节在探究的过程中，强调师生交流、生生合作交流。基于问题情境提出本节课要研究的课题。首先，探寻研究的方法，即如何探究(a＋b)n展开式的规律，得出研究方法“从简单开始”。其次，在完成二项式定理的证明之后，提出：还有其他的证明思路吗，把探究学习引向深入。通过问题串的设计，创设良好的思维环境，引导学生以问题为主线，由问题驱动，使学生的思维始终处于“问题提出——问题解决”的状态中，学生一方面经历了合情推理的探究过程，另一方面体会了证明的严谨性。 ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$