专题02 复数（六大考点，90题）（全国通用）-【好题汇编】十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编

专题02 复数（六大考点，90题） 考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势 考点 1：求复数的实部与虚部 2025 年全国一卷：考查复数虚部的求解2022 年浙江卷：利用复数相等求参数2020 年全国 III 卷：通过复数除法运算求虚部 2020 年天津卷、江苏卷：计算复数实部2019 年江苏卷：根据实部为 0 求参数2018 年江苏卷：通过复数运算求实部2016 年全国 I 卷：根据实部与虚部相等求参数 2016 年天津卷、上海卷、江苏卷：涉及复数实部或虚部的计算 1. 该考点在高考中考查频率较高，主要集中在复数实部与虚部的概念理解及通过复数运算求实部、虚部，其中结合复数四则运算求虚部是考查热点，且常以选择题、填空题形式出现。 考点 2：复数的相等 2023 年全国甲卷：通过复数等式求参数2022 年全国乙卷（两次）：利用复数相等条件求参数 2021 年全国乙卷：设复数形式后根据相等求参数 2017 年浙江卷：由复数等式求参数值2016 年天津卷：通过复数乘法运算后利用相等求参数 2. 复数相等的条件是高考考查的重点内容，多与复数的四则运算结合，考查学生对复数相等概念的应用能力，题目难度适中，注重基础运算。 考点 3：复数的分类 2024 年上海卷：已知虚数实部及模求参数 2020 年浙江卷：根据复数为实数求参数2017 年全国 I 卷：判断运算结果是否为纯虚数 2017 年天津卷、2016 年北京卷：涉及复数为实数的条件 3. 复数分类（如实数、纯虚数等）的考查在高考中时有出现，主要考查学生对复数实部、虚部满足条件的掌握，常与复数运算结合，注重对概念的准确理解。 考点 4：共轭复数 2025 年上海卷：求复数共轭复数的模的最小值 2024 年全国甲卷（两次）：考查共轭复数的乘法及模 2023 年北京卷、全国乙卷、新课标 Ⅰ 卷：涉及共轭复数的求解与运算 2022 年全国甲卷（两次）、新高考全国 Ⅰ 卷：通过共轭复数求参数或运算 2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：利用共轭复数乘法运算 2020 年全国 III 卷：通过共轭复数求解原复数 2019 年北京卷、全国 II 卷：计算共轭复数的模或形式 2018 年北京卷：共轭复数对应点的象限判断2017 年山东卷：由共轭复数关系求参数 2016 年山东卷（两次）：求解共轭复数或其运算 2016 年全国 III 卷（两次）：通过共轭复数求参数或运算 4. 共轭复数是高考考查的高频考点，常与复数的四则运算、模的计算结合，考查形式多样，包括求共轭复数、利用共轭复数性质化简计算等，注重运算能力和概念的综合应用。 考点 5：复数的模 2025 年北京卷、天津卷：计算复数的模 2024 年新课标 Ⅱ 卷：直接考查复数模的计算2023 年全国乙卷、上海卷：通过复数运算后求模2022 年北京卷：利用复数等式求模 2020 年全国 I 卷（两次）：结合复数运算求模 2019 年全国 I 卷、天津卷、浙江卷：考查复数模的计算或性质 2018 年全国 I 卷：通过复数除法运算后求模 2017 年全国 III 卷、江苏卷：计算复数的模或利用模的性质 5. 复数模的计算在高考中考查频率高，题型多样，既可以直接计算简单复数的模，也可以结合复数的四则运算、几何意义等综合考查，注重对公式的熟练应用和运算技巧的掌握。 考点 6：复数代数形式的四则运算 2025 年全国二卷：通过复数除法求参数 2024 年新课标 Ⅰ 卷、北京卷：考查复数乘法运算 2023 年全国甲卷、新课标 Ⅱ 卷：涉及复数四则运算及对应点位置 2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：考查复数乘法运算2021 年新高考全国 Ⅱ 卷、北京卷、浙江卷、全国甲卷、全国乙卷：涵盖复数加减乘除运算及性质2020 年海南卷、北京卷、全国 II 卷：涉及复数运算及幂运算 2019 年全国 III 卷：通过复数除法求参数2018 年全国 III 卷、II 卷（两次）：考查复数除法或乘法运算 2017 年山东卷、北京卷、全国 II 卷：涉及复数运算及对应点象限判断 2016 年北京卷：考查复数除法运算 2024 年 - 2017 年天津卷（多次）：涵盖复数加减乘除及幂运算 2017 年上海卷：通过复数运算求模 6. 复数代数形式的四则运算是高考的基础考点，考查频率极高，几乎每年都有涉及，题型涵盖选择题、填空题，主要考查运算的准确性，同时常结合复数的概念、几何意义等综合考查，是学生必须熟练掌握的内容。 考点01：求复数的实部与虚部 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 3．（2020·全国III卷·高考真题）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 4．（2016·全国I卷·高考真题）设的实部与虚部相等，其中为实数，则 A．−3 B．−2 C．2 D．3 【答案】A 【详解】试题分析：，由已知，得，解得，选A. 【考点】复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 5．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 6．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是 . 【答案】3 【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数 ∴ ∴复数的实部为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 7．（2019·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是 . 【答案】2. 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值. 【详解】， 令得. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．（2018·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 ． 【答案】2 【详解】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为，则，则的实部为. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为. 9．（2016·天津·高考真题）是虚数单位，复数满足，则的实部为 . 【答案】1 【详解】试题分析：，所以的实部为1. 【考点】复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为. 10．（2016·上海·高考真题）设，期中为虚数单位，则复数的虚部为 . 【答案】-3 【详解】试题分析： 复数的虚部为。 考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 11．（2016·江苏·高考真题）复数其中i为虚数单位，则z的实部是 . 【答案】5 【详解】试题分析：．故答案应填：5 【考点】复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为 考点02：复数的相等 12．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 13．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为R，，所以，解得：． 故选：A. 14．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】 由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得,即 故选: 15．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 16．（2017·浙江·高考真题）已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ． 【答案】 5, 2 【详解】由题意可得，则，解得，则． 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等． 17．（2016·天津·高考真题）已知，i是虚数单位，若（1i）（1bi）=a，则的值为 . 【答案】2 【详解】试题分析：由，可得，所以，，故答案为2． 【考点】复数相等 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为. 考点03：复数的分类 18．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 19．（2020·浙江·高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（    ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【答案】C 【分析】根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为为实数，所以， 故选：C 【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．（2017·全国I卷·高考真题）下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解. 【详解】由题意，对于A中，复数为纯虚数，所以正确； 对于B中，复数不是纯虚数，所以不正确； 对于C中，复数不是纯虚数，所以不正确； 对于D中，复数不是纯虚数，所以不正确，故选A. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 21．（2017·全国I卷·高考真题）设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则由得，所以，故正确； 当时，因为，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确； 对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 22．（2017·天津·高考真题）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 ． 【答案】-2 【详解】为实数， 则. 【考点】 复数的分类 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数， 当时，为虚数， 当时，为实数， 当时，为纯虚数. 23．（2016·北京·高考真题）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 【答案】. 【详解】试题分析：由题意得. 【考点】复数运算 【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 考点04：共轭复数 24．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 25．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 26．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 27．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 28．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 30．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【详解】因为，所以，所以． 故选：D. 31．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】 故选 ：C 32．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用复数的除法可求，从而可求. 【详解】由题设有，故，故， 故选：D 33．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则 ； 【答案】 【分析】先由求出，从而可求出 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 34．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足(i是虚数单位)，则 . 【答案】 【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：． 35．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 36．（2020·全国III卷·高考真题）若，则z=（    ） A．1–i B．1+i C．–i D．i 【答案】D 【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 37．（2019·北京·高考真题）已知复数z=2+i，则 A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵ 故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.. 38．（2019·全国II卷·高考真题）设z=i(2+i)，则= A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 【答案】D 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出． 【详解】， 所以，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 39．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D. 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分. 40．（2017·山东·高考真题）已知，是虚数单位，若，，则 A．1或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由得，所以，故选A. 【名师点睛】复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的方程即可. 41．（2016·山东·高考真题）若复数z满足其中i为虚数单位，则z= A．1+2i B．12i C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设，则，故，则，选B. 【考点】注意共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 42．（2016·山东·高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则 = A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i 【答案】B 【详解】试题分析：，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一. 43．（2016·全国III卷·高考真题）若，则 A．1 B．-1 C．i D．-i 【答案】C 【详解】试题分析：，故选C． 【考点】复数的运算、共轭复数． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 44．（2016·全国III卷·高考真题）若，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得 ：，且：， 据此有：. 本题选择D选项. 考点05：复数的模 45．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 46．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 47．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 48．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 49．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 故选：B． 50．（2020·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为，所以 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 51．（2020·全国I卷·高考真题）若z=1+i，则|z2–2z|=（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得：，则. 故. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 52．（2019·全国I卷·高考真题）设，则= A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求． 【详解】因为，所以，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 53．（2018·全国I卷·高考真题）设，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 54．（2017·全国III卷·高考真题）设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】求出即得解. 【详解】解：由题意可得，所以， 所以. 故选：C 55．（2016·全国I卷·高考真题）设，其中x，y是实数，则 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】试题分析：因为所以故选B. 【考点】复数运算 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 56．（2023·上海·高考真题）已知当，则 ； 【答案】 【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 57．（2020·上海·高考真题）已知复数为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 58．（2020·全国II卷·高考真题）设复数，满足，，则= . 【答案】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 59．（2019·天津·高考真题）是虚数单位，则的值为 . 【答案】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 60．（2019·浙江·高考真题）复数（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题. 61．（2017·江苏·高考真题）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是 【答案】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i， ∴|z|． 故答案为． 【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为． 考点06：复数代数形式的四则运算 62．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 63．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 64．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 65．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 66．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 67．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 68．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 69．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法可求. 【详解】， 故选：D. 70．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 【详解】． 故答案为：． 71．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 72．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限， 故选：A. 73．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 74．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值. 【详解】， 利用复数相等的充分必要条件可得：. 故选：C. 75．（2021·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】， . 故选：B. 76．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 77．（2020·海南·高考真题）=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接计算出答案即可. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单. 78．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 79．（2020·全国II卷·高考真题）（1–i）4=（    ） A．–4 B．4 C．–4i D．4i 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题. 80．（2019·全国III卷·高考真题）若，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】．故选D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 81．（2018·全国III卷·高考真题） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的乘法运算展开即可． 【详解】解： 故选D. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 82．（2018·全国II卷·高考真题） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：根据公式，可直接计算得 详解： ，故选D. 点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错. 83．（2018·全国II卷·高考真题） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 84．（2017·山东·高考真题）已知i是虚数单位,若复数z满足,则= A．-2i B．2i C．-2 D．2 【答案】A 【详解】由得,即,所以,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i. 85．（2017·全国II卷·高考真题）＝（    ） A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 【答案】D 【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解. 【详解】由题意， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题. 86．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 【答案】B 【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B. 【考点】复数的运算 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 87．（2017·全国II卷·高考真题）（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用复数的乘法计算得解. 【详解】解：由题意. 故选：B. 88．（2016·北京·高考真题）复数． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：，故选A. 【考点】复数运算 【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 89．（2018·天津·高考真题）i是虚数单位，复数 . 【答案】4–i     【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得：. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 90．（2017·上海·高考真题）已知复数满足，则 ． 【答案】 【详解】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案． 详解：由，得， 设， 由得，即，解得， 所以，则． 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 试卷第28页，共29页 试卷第29页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数（六大考点，90题） 考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势 考点 1：求复数的实部与虚部 2025 年全国一卷：考查复数虚部的求解2022 年浙江卷：利用复数相等求参数2020 年全国 III 卷：通过复数除法运算求虚部 2020 年天津卷、江苏卷：计算复数实部2019 年江苏卷：根据实部为 0 求参数2018 年江苏卷：通过复数运算求实部2016 年全国 I 卷：根据实部与虚部相等求参数 2016 年天津卷、上海卷、江苏卷：涉及复数实部或虚部的计算 1. 该考点在高考中考查频率较高，主要集中在复数实部与虚部的概念理解及通过复数运算求实部、虚部，其中结合复数四则运算求虚部是考查热点，且常以选择题、填空题形式出现。 考点 2：复数的相等 2023 年全国甲卷：通过复数等式求参数2022 年全国乙卷（两次）：利用复数相等条件求参数 2021 年全国乙卷：设复数形式后根据相等求参数 2017 年浙江卷：由复数等式求参数值2016 年天津卷：通过复数乘法运算后利用相等求参数 2. 复数相等的条件是高考考查的重点内容，多与复数的四则运算结合，考查学生对复数相等概念的应用能力，题目难度适中，注重基础运算。 考点 3：复数的分类 2024 年上海卷：已知虚数实部及模求参数 2020 年浙江卷：根据复数为实数求参数2017 年全国 I 卷：判断运算结果是否为纯虚数 2017 年天津卷、2016 年北京卷：涉及复数为实数的条件 3. 复数分类（如实数、纯虚数等）的考查在高考中时有出现，主要考查学生对复数实部、虚部满足条件的掌握，常与复数运算结合，注重对概念的准确理解。 考点 4：共轭复数 2025 年上海卷：求复数共轭复数的模的最小值 2024 年全国甲卷（两次）：考查共轭复数的乘法及模 2023 年北京卷、全国乙卷、新课标 Ⅰ 卷：涉及共轭复数的求解与运算 2022 年全国甲卷（两次）、新高考全国 Ⅰ 卷：通过共轭复数求参数或运算 2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：利用共轭复数乘法运算 2020 年全国 III 卷：通过共轭复数求解原复数 2019 年北京卷、全国 II 卷：计算共轭复数的模或形式 2018 年北京卷：共轭复数对应点的象限判断2017 年山东卷：由共轭复数关系求参数 2016 年山东卷（两次）：求解共轭复数或其运算 2016 年全国 III 卷（两次）：通过共轭复数求参数或运算 4. 共轭复数是高考考查的高频考点，常与复数的四则运算、模的计算结合，考查形式多样，包括求共轭复数、利用共轭复数性质化简计算等，注重运算能力和概念的综合应用。 考点 5：复数的模 2025 年北京卷、天津卷：计算复数的模 2024 年新课标 Ⅱ 卷：直接考查复数模的计算2023 年全国乙卷、上海卷：通过复数运算后求模2022 年北京卷：利用复数等式求模 2020 年全国 I 卷（两次）：结合复数运算求模 2019 年全国 I 卷、天津卷、浙江卷：考查复数模的计算或性质 2018 年全国 I 卷：通过复数除法运算后求模 2017 年全国 III 卷、江苏卷：计算复数的模或利用模的性质 5. 复数模的计算在高考中考查频率高，题型多样，既可以直接计算简单复数的模，也可以结合复数的四则运算、几何意义等综合考查，注重对公式的熟练应用和运算技巧的掌握。 考点 6：复数代数形式的四则运算 2025 年全国二卷：通过复数除法求参数 2024 年新课标 Ⅰ 卷、北京卷：考查复数乘法运算 2023 年全国甲卷、新课标 Ⅱ 卷：涉及复数四则运算及对应点位置 2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：考查复数乘法运算2021 年新高考全国 Ⅱ 卷、北京卷、浙江卷、全国甲卷、全国乙卷：涵盖复数加减乘除运算及性质2020 年海南卷、北京卷、全国 II 卷：涉及复数运算及幂运算 2019 年全国 III 卷：通过复数除法求参数2018 年全国 III 卷、II 卷（两次）：考查复数除法或乘法运算 2017 年山东卷、北京卷、全国 II 卷：涉及复数运算及对应点象限判断 2016 年北京卷：考查复数除法运算 2024 年 - 2017 年天津卷（多次）：涵盖复数加减乘除及幂运算 2017 年上海卷：通过复数运算求模 6. 复数代数形式的四则运算是高考的基础考点，考查频率极高，几乎每年都有涉及，题型涵盖选择题、填空题，主要考查运算的准确性，同时常结合复数的概念、几何意义等综合考查，是学生必须熟练掌握的内容。 考点01：求复数的实部与虚部 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国III卷·高考真题）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 4．（2016·全国I卷·高考真题）设的实部与虚部相等，其中为实数，则 A．−3 B．−2 C．2 D．3 5．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 6．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是 . 7．（2019·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是 . 8．（2018·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 ． 9．（2016·天津·高考真题）是虚数单位，复数满足，则的实部为 . 10．（2016·上海·高考真题）设，期中为虚数单位，则复数的虚部为 . 11．（2016·江苏·高考真题）复数其中i为虚数单位，则z的实部是 . 考点02：复数的相等 12．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 13．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 14．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 15．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 16．（2017·浙江·高考真题）已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ． 17．（2016·天津·高考真题）已知，i是虚数单位，若（1i）（1bi）=a，则的值为 . 考点03：复数的分类 18．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 19．（2020·浙江·高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（    ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 20．（2017·全国I卷·高考真题）下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i) 21．（2017·全国I卷·高考真题）设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 22．（2017·天津·高考真题）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 ． 23．（2016·北京·高考真题）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 考点04：共轭复数 24．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 25．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 26．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 27．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 28．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 30．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 31．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 32．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 33．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则 ； 34．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足(i是虚数单位)，则 . 35．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 36．（2020·全国III卷·高考真题）若，则z=（    ） A．1–i B．1+i C．–i D．i 37．（2019·北京·高考真题）已知复数z=2+i，则 A． B． C．3 D．5 38．（2019·全国II卷·高考真题）设z=i(2+i)，则= A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 39．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 40．（2017·山东·高考真题）已知，是虚数单位，若，，则 A．1或 B．或 C． D． 41．（2016·山东·高考真题）若复数z满足其中i为虚数单位，则z= A．1+2i B．12i C． D． 42．（2016·山东·高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则 = A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i 43．（2016·全国III卷·高考真题）若，则 A．1 B．-1 C．i D．-i 44．（2016·全国III卷·高考真题）若，则 A． B． C． D． 考点05：复数的模 45．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 46．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 47．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 48．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 49．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 50．（2020·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 51．（2020·全国I卷·高考真题）若z=1+i，则|z2–2z|=（    ） A．0 B．1 C． D．2 52．（2019·全国I卷·高考真题）设，则= A．2 B． C． D．1 53．（2018·全国I卷·高考真题）设，则 A． B． C． D． 54．（2017·全国III卷·高考真题）设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（   ） A． B． C． D．2 55．（2016·全国I卷·高考真题）设，其中x，y是实数，则 A．1 B． C． D．2 56．（2023·上海·高考真题）已知当，则 ； 57．（2020·上海·高考真题）已知复数为虚数单位，则 ． 58．（2020·全国II卷·高考真题）设复数，满足，，则= . 59．（2019·天津·高考真题）是虚数单位，则的值为 . 60．（2019·浙江·高考真题）复数（为虚数单位），则 . 61．（2017·江苏·高考真题）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是 考点06：复数代数形式的四则运算 62．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 63．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 64．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 65．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 66．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 67．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 68．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 69．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 70．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 71．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 72．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 73．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 74．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（    ） A． B．1 C． D．3 75．（2021·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 76．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 77．（2020·海南·高考真题）=（    ） A． B． C． D． 78．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 79．（2020·全国II卷·高考真题）（1–i）4=（    ） A．–4 B．4 C．–4i D．4i 80．（2019·全国III卷·高考真题）若，则 A． B． C． D． 81．（2018·全国III卷·高考真题） A． B． C． D． 82．（2018·全国II卷·高考真题） A． B． C． D． 83．（2018·全国II卷·高考真题） A． B． C． D． 84．（2017·山东·高考真题）已知i是虚数单位,若复数z满足,则= A．-2i B．2i C．-2 D．2 85．（2017·全国II卷·高考真题）＝（    ） A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 86．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 87．（2017·全国II卷·高考真题）（  ） A． B． C． D． 88．（2016·北京·高考真题）复数． A． B． C． D． 89．（2018·天津·高考真题）i是虚数单位，复数 . 90．（2017·上海·高考真题）已知复数满足，则 ． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$