浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二下学期期末统测模拟数学试题

统测模拟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，其中为虚数单位，则 A． B． C． D．2 2.从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是，最小值为1 B．的最小正周期是，最小值为 C．的最小正周期是，最小值为1 D．的最小正周期是，最小值为 4．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 5.已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为，其表面上的动点到底面的中心的距离为，则线段的中点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9．某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（    ） A．成绩的第60百分位数为122 B．成绩的极差为36 C．成绩的平均数为125 D．若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 10．已知，，且则（    ） A． B． C． D． 11．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 三、填空题 12．若的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，则该展开式中含的系数为 . 13．已知数列满足，，则的前8项和为 . 14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设面积的大小为S，且. (1)求A的值； (2)若的外接圆直径为1，求的取值范围. 16、如图，四棱锥中，底面是矩形，平面平面，且是边长为的等边三角形，，点是的中点. (1)求证：面BDM. (2)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值； 17、随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 18、已知抛物线：，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点A，B，过A，B分别作抛物线的切线，交于点M. (1)求点M的横坐标； (2)连接FA，FB，FM，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值. 19．设是定义域为且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”． (1)判断是否是“山峰函数”？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由； (2)已知是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求的取值范围； (3)设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 统测模拟 1．已知复数，其中为虚数单位，则 A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意得，，∴，故选C. 2．从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有种选法， 其积为偶数，即两个数中有一个为2，共有4种选法， 所以概率为.故选：A. 3．已知函数，则（    ）. A．的最小正周期是，最小值为1 B．的最小正周期是，最小值为 C．的最小正周期是，最小值为1 D．的最小正周期是，最小值为 【答案】D 【详解】因为， 所以不是的周期，故排除A，B； 因为， 所以是的一个周期； 又因为， 因为，所以当时，有最小值.故选：D. 4．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即①. 因为向量在向量方向的投影向量是，所以. 所以②，将①代入②得，，又， 所以.故选：B 5．已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列满足点在直线上，所以. 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 所以，即的最小值为.故选：C. 6．已知正方体的棱长为，其表面上的动点到底面的中心的距离为，则线段的中点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】动点的轨迹是以为球心，以为半径的球面与正方体的侧面的交点， 球面与平面的交点轨迹是以中点为圆心，以为半径的半圆， 则对应的中点的轨迹是以为半径的半圆，其轨迹长度为， 由于球面同时与面、面、面都相交， 所以的中点的轨迹长度为.故选：B. 7．已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即过定点， 由可得，即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合.故选：B 8．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取，则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是．故选：A. 9．某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（    ） A．成绩的第60百分位数为122 B．成绩的极差为36 C．成绩的平均数为125 D．若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 【答案】BCD 【详解】将成绩从低到高排序为，且， 所以成绩的第60百分位数为第四个数，即为，故A错误； 极差为，故B正确； 平均数为，故C正确； 未增加成绩之前的方差为， 若增加一个成绩125，则成绩的平均数为， 则其方差为 ，即成绩的方差变小，故D正确； 故选：BCD 10．已知，，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A，，当且仅当， 即时等号成立，故A 正确； 对B，由可得，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，由，即，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 故，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，， 对于A，由可得或，由可得， 即函数的单调递减区间为和，故A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增， 因，， 故，即B正确； 对于C，易知为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，增区间为. 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 故函数的图象如图所示.    由图可得，直线与函数有6个不同交点，等价于，故C正确； 对于D，由图，不妨设，由可得， 即，不妨取， 设， 则， 则当时，，故，在上单调递增， 又，又，，即. 因，则，当时，，在上单调递减， 因，故得，即，故D正确. 故选：BCD. 12．若的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，则该展开式中含的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等， 则，即， 则展开式的通项公式为， 令，则， .故答案为：. 13．已知数列满足，，则的前8项和为 . 【答案】996 【详解】解：数列满足，整理得：， 所以， 又， 故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，所以的前项和 故答案为：996 14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱中，，三棱柱的高为，则三棱锥的体积为. 引理的证明如下： ，引理得证. 事实上上述引理等价于，若三棱锥满足，，异面直线所成夹角为，且异面直线之间的距离为，则三棱锥的体积为. 从而由上述引理有 ． 若，则，从而的取值范围是， 的取值范围是. 故答案为：. 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设面积的大小为S，且. (1)求A的值； (2)若的外接圆直径为1，求的取值范围. 【详解】（1）解：由 得： 化简得： 当时，，，等式不成立 所以，即 又，所以 （2）解： 的外接圆直径为1， 由正弦定理得：， 的取值范围为：. 16．如图，四棱锥中，底面是矩形，平面平面，且是边长为的等边三角形，，点是的中点. (1)求证：面BDM. (2)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值； 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形为矩形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）取中点，连接， 为等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， ，，， ； 以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面BDM的法向量， 则，令，解得：，，； ， 即直线PC与平面BDM所成角的正弦值为. 17．随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”， 因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为， 所以． （2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3， 王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1， 张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2， 张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4， 记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2， 所以，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望 （3）证明：由题知， 所以， 所以， 所以， 即：， 所以， 即. 18．已知抛物线：，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点A，B，过A，B分别作抛物线的切线，交于点M. (1)求点M的横坐标； (2)连接FA，FB，FM，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值. 【详解】（1）∵  直线AB的斜率为1，故可设直线AB的方程为， 设，，， 联立直线AB与抛物线C的方程可得： ，化简可得， 由已知方程由两个不同的解， ∴  方程判别式，即 ，， ∵     ∴  ，∴   ∴  切线AM的方程为 ，又， ∴  切线AM的方程为，③ 同理切线BM的方程为：，④ ③-④可得 ∴  ，又， ∴   ∴， ∴  点M的横坐标为2. （2）∵  直线AM的方程为，点F的坐标为，， 设点F到直线AM的距离，点B到直线AM的距离， 则， ， 又，同理， 设点M到直线AB的距离， 则， 又，， ∴  ， ∴   设，则，， 设，则， 令可得， 当时，，当时，， ∴  ， ∴  的最小值为. 19．设是定义域为且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”． (1)判断是否是“山峰函数”？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由； (2)已知是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求的取值范围； (3)设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：） 【详解】（1）由，求导可得，； 令，则有，所以在上单调递增， 又，所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以不是“山峰函数”． （2）由题意可知：函数在区间上先增后减，且存在峰点， 由于， 又当时，，则在上单调递减， 所以， 设，，所以，则在上单调递增． 所以当时，，即此时恒成立： 由于当时，不等式等价于，即， 故m的取值范围是． （3）由题意得： ． 若恒成立，易知当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在单调递增， 不是“山峰函数”，不符合题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，设两根为，且， 且有； 由于当时，，且，， 所以函数在上不单调； 同理，由于当时，，且， 所以在上不单调，从而有，． 因此在和上单调递减，在和上单调递增； 从而函数的峰值区间为，必满足． 所以． 由于，， ， 由题意知n满足不等式组：， 由于当时，满足上述不等式组，则有， 即的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$