专题04 指对幂函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题04 指对幂函数 【考点1 幂函数的图像和性质】 【考点2 二次函数的解析式】 【考点3 二次函数的零点问题】 【考点4 二次函数的单调性与最值】 【考点5 指数幂的化简与求值】 【考点6 指函数的图像及应用】 【考点7 解决指数函数性质有关的问题】 【考点8 对数式的化简与求值】 【考点9 对数函数的图像及应用】 【考点10 解决对数函数性质有关的问题】 知识点1：幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）常见的五种幂函数的图象． 知识点2：对数 （1）对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). （3）对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). （4）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 知识点3：指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 知识点4：对数函数的图象与性质． a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【考点1 幂函数的图像和性质】 幂函数的性质因幂指数大于或等于1,大于0且小于1,等于或小于0而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等 【典例1】（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【变式1】（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数的描述正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数为上的减函数 D． 【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【变式3】（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【考点2 二次函数的解析式】 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 【典例2】（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【变式1】（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 【变式3】（9-10高一·湖北黄冈·期中）已知是二次函数，满足且. (1)求的解析式； (2)当时，使不等式成立，求实数的范围. 【考点3 二次函数的零点问题】 (1)二次函数y=ax²+bx+c的零点的即是关于x的一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的实根. (2)常把二次函数的零点问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题来解决. 【典例3】（21-22高三上·新疆喀什·阶段练习）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点4 二次函数的单调性与最值】 (1)影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素图象的开口方向、对称轴位置、闭区间. (2)常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解大值与最小值,通常在区间的端点或二次函数图象的顶处取得最值.开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论 【典例4】（2024·山西·模拟预测）已知二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）函数在区间单调递减，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】多选题（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【考点5 指数幂的化简与求值】 指数幂运算的一般原则: (1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算 (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数， (3)若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底数是带分数，则先化成假分数， (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示运用指数幂的运算性质来解答， 【典例5】（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·四川宜宾·一模）计算: . 【考点6 指函数的图像及应用】 (1)研究指数函数y=a*(a>0,a≠1)的图象要抓住三,个特殊点:(1,a),(0,1),(一1,) (2)对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象 (3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,数形结合求解 【典例6】（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【考点7 解决指数函数性质有关的问题】 【题型1 利用单调性比较大小】 比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式，并要注意底数的围是(0,1)还是(1,十∞).若不能化为同底,则可化为同指耈或利用中间量比较. 【典例7】（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型2 解简单的指数方程或不等式】 (1) (3)有些含参数的指数不等式(方程)需要用换元法求解 【典例8】（2023·海南·模拟预测）的解集为 . 【变式1】（2020·山东济宁·模拟预测）不等式的解集为 . 【题型3 探究指数型函数的性质】 指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应结合题目条件合理利用这些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化 【典例9】（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【变式1】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，且. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求m的取值范围. 【变式2】（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【考点8 对数式的化简与求值】 利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化筒:并;(2)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因经常会用到换底公式及其推论，利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化. 【典例10】（2025·陕西安康·模拟预测）已知，，则 ． 【变式1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）若成等比数列，则实数 . 【变式2】（2023·天津南开·二模）计算的值为 . 【考点9 对数函数的图像及应用】 (1)在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题 (2)熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题 【典例11】（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【考点10 解决对数函数性质有关的问题】 【题型1 比较大小】 比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较;三是通过构造函数，利用所构造函数的单调性确定或估算范围,进而达到比较大小的目的: 【典例12】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（2025·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·天津河西·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型2 解对数方程或不等式】 对于形如 的不等式,一般转化为”的形式,再根据底数的范围转化为或 ”.而对于形如的不等式,一般要转化为同底的不等式来解。 【典例13】（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·上海·三模）关于x的不等式的解集为 ． 【变式2】（2024·上海·三模）不等式的解集为 ． 【题型3 对数函数性质的综合问题】 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最信和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转与化归思想的使用 【典例14】（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【变式1】（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值； (2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围． 一、单选题 1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃白银·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高一上·河南郑州·期中）计算： . 8．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 9．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 10．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则 ． 12．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数在区间的值域为，则的取值范围为 . 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ． 14．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求证：． 16．（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 17．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数的定义域为R. (1)求的取值范围； (2)当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 18．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指对幂函数 【考点1 幂函数的图像和性质】 【考点2 二次函数的解析式】 【考点3 二次函数的零点问题】 【考点4 二次函数的单调性与最值】 【考点5 指数幂的化简与求值】 【考点6 指函数的图像及应用】 【考点7 解决指数函数性质有关的问题】 【考点8 对数式的化简与求值】 【考点9 对数函数的图像及应用】 【考点10 解决对数函数性质有关的问题】 知识点1：幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）常见的五种幂函数的图象． 知识点2：对数 （1）对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). （3）对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). （4）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 知识点3：指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 知识点4：对数函数的图象与性质． a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【考点1 幂函数的图像和性质】 幂函数的性质因幂指数大于或等于1,大于0且小于1,等于或小于0而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等 【典例1】（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 【变式1】（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数的描述正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数为上的减函数 D． 【答案】A 【分析】由题设知，研究函数的单调性求出的零点即的值，得到并分析其性质即可判断各选项. 【详解】因为是幂函数，所以，即 ∵是上的单调增函数， ∵， ∴有唯一的零点， 因此，由，得，所以， 函数为偶函数，不是奇函数；在上单调递减，在上单调递增； ，故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【答案】3 【分析】根据是幂函数求出，根据在上单调递增确定. 【详解】因为是幂函数，所以， 所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 【变式3】（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 【考点2 二次函数的解析式】 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 【典例2】（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【详解】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 【变式1】（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数顶点为可设，由即可求出a，则求出的解析式. （2）根据二次函数的开口和对称轴即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）设， 则由得：， ， . （2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 则若函数在区间上单调递增， 需满足， ， ∴实数a的取值范围为. 【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 【答案】 【分析】由二次函数性质与待定系数法求解． 【详解】解：根据题意设， 又过点，则 解得， 故 【变式3】（9-10高一·湖北黄冈·期中）已知是二次函数，满足且. (1)求的解析式； (2)当时，使不等式成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的解析式； （2）利用函数不等式能成立问题的解决方法，将问题转化为即可. 【详解】（1）设函数， 因为，可得，所以， 又，得，整理得， 因为对于任意的成立，则有解得， 所以. （2）当时，成立，即成立， 令，则 因为开口方向向上，对称轴为， 所以在单调递减，故， 故，即实数的取值范围是. 【考点3 二次函数的零点问题】 (1)二次函数y=ax²+bx+c的零点的即是关于x的一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的实根. (2)常把二次函数的零点问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题来解决. 【典例3】（21-22高三上·新疆喀什·阶段练习）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解. 【详解】二次函数，对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 要使二次函数的两个零点都在区间内， 需，解得 故实数a的取值范围是 故选：C 【变式1】（2021·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设的两个不同零点为m，n，且m>n，根据韦达定理，可得，的表达式，根据有四个不同的根，可得以对应的根为，对应的根为，根据韦达定理，可得 ，，，表达式，根据题意，计算化简，可得m，n的关系，代入，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】设的两个不同零点为m，n，且m>n， 所以，，且， 又因为有四个不同的根， 所以对应的根为，对应的根为， 所以，， 所以， 同理， 因为成等差数列， 所以，则 所以，解得， 因为m>n，所以，解得， 所以 ， 所以当时，有最大值， 所以不可能为3. 故选：D 【点睛】解题的关键是将零点问题，转化为二次函数根与系数的关系，根据韦达定理及题干条件，结合二次函数的性质，求值即可，考查分析计算，求值化简的能力，属中档题. 【考点4 二次函数的单调性与最值】 (1)影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素图象的开口方向、对称轴位置、闭区间. (2)常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解大值与最小值,通常在区间的端点或二次函数图象的顶处取得最值.开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论 【典例4】（2024·山西·模拟预测）已知二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称性与单调性即可得解. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又在区间上单调递增， 所以，解得，即 . 故选：D. 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）函数在区间单调递减，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】当时，在上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，a的取值范围为． 故选：D 【变式2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 【变式3】多选题（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或 解得：，或， 综上：或； 故选：BD 【考点5 指数幂的化简与求值】 指数幂运算的一般原则: (1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算 (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数， (3)若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底数是带分数，则先化成假分数， (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示运用指数幂的运算性质来解答， 【典例5】（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数与根式的互化和三角函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】由题得 . 故选：A 【变式1】（2023·四川宜宾·一模）计算: . 【答案】 【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： ， 即 . 故答案为：. 【考点6 指函数的图像及应用】 (1)研究指数函数y=a*(a>0,a≠1)的图象要抓住三,个特殊点:(1,a),(0,1),(一1,) (2)对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象 (3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,数形结合求解 【典例6】（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由函数的奇偶性，指数函数的单调性，以及当时函数的符号判断即可； 【详解】定义域为关于原点对称，， 所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误； 当时，，所以，故B错误， 故选：D. 【变式1】（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设 ，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得且，求出a，即可求解. 【详解】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 【考点7 解决指数函数性质有关的问题】 【题型1 利用单调性比较大小】 比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式，并要注意底数的围是(0,1)还是(1,十∞).若不能化为同底,则可化为同指耈或利用中间量比较. 【典例7】（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 【变式1】（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 【变式2】（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论. 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 【变式3】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可. 【详解】是增函数，， 在是增函数，，故， 在是增函数，， 即， 故选：D. 【题型2 解简单的指数方程或不等式】 (1) (3)有些含参数的指数不等式(方程)需要用换元法求解 【典例8】（2023·海南·模拟预测）的解集为 . 【答案】 【分析】利用指数函数单调性可解得结果. 【详解】由得：，解得：，即的解集为. 故答案为：. 【变式1】（2020·山东济宁·模拟预测）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】根据的单调性，可得，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】因为在R上为单调递减函数，且 所以，解得， 故答案为： 【题型3 探究指数型函数的性质】 指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应结合题目条件合理利用这些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化 【典例9】（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 【变式1】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，且. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解. （2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 因为，所以， 则. （2）由（1）可知，等价于. 令，则， 原不等式等价于在上恒成立， 则，解得， 故m的取值范围为. 【变式2】（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 【考点8 对数式的化简与求值】 利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化筒:并;(2)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因经常会用到换底公式及其推论，利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化. 【典例10】（2025·陕西安康·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据指对数互化及对数运算的性质得出，再根据换底公式及对数运算即可求解． 【详解】由已知得，， ， ． 故答案为：． 【变式1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）若成等比数列，则实数 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算公式，即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知，， ， 得. 故答案为： 【变式2】（2023·天津南开·二模）计算的值为 . 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 故答案为：8 【考点9 对数函数的图像及应用】 (1)在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题 (2)熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题 【典例11】（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】易证明为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解. 【详解】令，其定义域为， 因为，所以为偶函数， 由题易知也为偶函数， 因为两个函数图象的交点个数为奇数， 所以两个函数的交点，必有一个是原点， 故. 故选：C. 【变式2】（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 【考点10 解决对数函数性质有关的问题】 【题型1 比较大小】 比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较;三是通过构造函数，利用所构造函数的单调性确定或估算范围,进而达到比较大小的目的: 【典例12】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数化为的形式，即可根据对数函数的单调性与图像进行判断. 【详解】因为，，， 所以. 故选：A 【变式1】（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质结合对数函数的单调性可得. 【详解】因为，， 所以，即； 又，所以， 故选：D． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得， 则； 又由，则 ， 因为，可得，所以，所以. 故选：A. 【变式3】（2025·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算和换底公式，适当放缩即可求解. 【详解】， ， 所以． 故选：D. 【变式4】（2025·天津河西·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数单调性限定出的取值范围即可. 【详解】易知，即； 而，即； 又，因此， 所以. 故选：D 【题型2 解对数方程或不等式】 对于形如 的不等式,一般转化为”的形式,再根据底数的范围转化为或 ”.而对于形如的不等式,一般要转化为同底的不等式来解。 【典例13】（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 【变式1】（2024·上海·三模）关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，求出的单调性，又根据，把不等式转化为，由的单调性即可求得不等式的解集. 【详解】令，则的定义域为，     因为和在上均单调递减， 所以在上单调递减，又， 则不等式等价于， 所以，原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】（2024·上海·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集. 【详解】由不等式，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【题型3 对数函数性质的综合问题】 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最信和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转与化归思想的使用 【典例14】（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 【变式1】（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 【答案】(1)①，②证明见详解； (2). 【分析】（1）①根据代入运算得解；②利用函数单调性定义证明即可； （2）由为偶函数，得，解得，进而得，利用在上单调递增，求出的范围. 【详解】（1）当时，， ①若，则，解得. ②当时，， 任取，且，令， 则， 因为是R单调递增函数，所以，则， 即，即， 又是上的增函数， 则， , ， 所以是R上的减函数. （2）若为偶函数，则， 即， 所以，即， ，则， 因为在上单调递增，且， 所以由，得， 所以的取值范围为. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值； (2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) 【分析】（1）由求出的最小值，再利用配方法可得答案； （2） 利用复合函数的单调性可得答案． 【详解】（1）函数的值域为， ，又， 而函数的定义域为R， 的最小值． 而， ，解得，即， 实数a的值为1或； （2）在上为增函数， 函数在上是减函数， ∴函数在上为减函数且， ，解得， 即，故实数a的取值范围为． 一、单选题 1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 2．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 3．（2025·甘肃白银·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性解不等式求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，又， 所以 . 故选：A 4．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦函数性质、函数在上单调递增排除BD，再由可得答案. 【详解】因为，由余弦函数性质可知， 又，且函数在上单调递增，得. 所以当时，，BD错误. 又时，，得，A错误. 故选：C. 5．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案. 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，分解因式可得， 解得. 故选：A 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减， 所以， ，所以. 故选：D. 二、填空题 7．（23-24高一上·河南郑州·期中）计算： . 【答案】5 【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 8．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 9．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 10．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解. 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用指数函数性值判定内层函数值的大小，根据分段函数的条件正确代入，利用对数的运算法则求值. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 12．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数在区间的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数导数判断函数的单调性，通过单调区间判断给定值域对应的定义域范围，求出参数范围，在根据指数函数单调性，求出结果. 【详解】因为，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，， 因为在区间的值域为，所以，解得， 此时，， 又，∴，则， 故答案为：. 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ． 【答案】15 【分析】由题意得，由此即可得解. 【详解】因为，则． 故答案为：15. 14．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增， 所以内层函数在上为减函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解； （2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列的前项和即可求解． 【详解】（1）由①， 当时，，解得， 当时，②， ①—②，得， 数列是以首项为，公比为2的等比数列， ． （2）由（1）知， ． 则， 故， 所以， 故． 16．（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令 ，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令 ，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 17．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数的定义域为R. (1)求的取值范围； (2)当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)偶函数，. 【分析】（1）由题意知恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函数恒成立问题，再利用分离参数求最值即可求解； （2）求出函数的定义域，根据即可判断函数的奇偶性，换元法求出函数在上的单调性，再根据函数的奇偶性可得函数在定义域上的单调性，从而根据单调性判断与的关系. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以恒成立，所以恒成立， 令，则，所以在上恒成立， 即时， 恒成立，令，， 由，时，，时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，所以， 故，即的取值范围为； （2）当时，， 因为的定义域为，定义域关于原点对称， 又因为， 所以为偶函数. 当时，，令， 令，，， 又时，，所以在上单调递增， 即在上单调递增，又在定义域上为增函数， 所以函数在上单调递增，又函数在定义域上为偶函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 即，解得， 故原不等式解集为. 18．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$