专题05 函数图象及函数与方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题05 函数图像及函数与方程 【考点1 作函数图像】 【考点2 识别与辨图的常见方法】 【考点3 以函数图像为背景的问题】 【考点4 函数零点所在区间的判断】 【考点5 函数零点个数的判断】 【考点6 函数零点的应用】 【考点7 构建函数模型的实际应用】 知识点1：函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点2：二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； 【考点1 作函数图像】 为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线的方法之外，还要做到以下两点 (1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如 y=的函数图象; (2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程. 【典例1】（高一上·山西·期中）已知函数， (1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图； (2)根据函数的图象，写出函数的单调区间； (3)若，求实数t的值． 【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)求的解集； (2)求曲线与直线所围成的图形的面积. 【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求关于的不等式的解集． 【考点2 识别与辨图的常见方法】 1.识别函数图象的常见方法:(1)利用函数的值域和定义域判断;(2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点或者极限思想等判断 2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等 【典例2】（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【考点3 以函数为背景的问题】 【题型1 研究函数的性质】 一般根据图象研究函数的性质有以下几方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性 【典例3】（2025高二下·浙江·学业考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 【变式1】多选题（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【题型2 解不等式】 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难但其对应函数的图象可作出时，常结合图象，利用数形结会思想求解 【典例4】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C．D． 【变式3】（23-24高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求参数的取值范围】 当参数的不等关系不易找出时，可将不等式或方程的两边转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围 【典例5】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·全国·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点4 函数零点所在区间的判断】 判断函数零点所在区间的方法: (1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程; (2)利用函数零点存在定理; (3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 【典例6】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2014高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式4】多选题（23-24高三上·甘肃白银·期中）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 【考点5 函数零点个数的判断】 求解函数零点个数的基本方法有: （1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点; （2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等; （3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数: （4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0. 【典例7】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 【变式1】（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024·江西景德镇·一模）函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ． 【考点6 函数零点的应用】 【题型1 根据零点的个数求参数范围】 已知函数的零点范围求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围: (2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解 【典例8】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（2025·宁夏·一模）已知函数，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据零点所在区域求参数范围】 函数零点的应用主要体现在三类问题: (1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题: (2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围; (3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。 【典例9】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【变式2】（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 复合函数的零点】 求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是: (1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个); (2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点. 如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y-t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数. 【典例10】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ． 【变式3】（2025·山西临汾·二模）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【变式4】（2025·山西·三模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【变式5】（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【考点6 构建函数模型的实际应用】 构建函数模型解决实际问题的步骤: (1)认真审题，分析理解实际问题的题意,为解题找出突破口; (2)依题意确定变量间的关系，构建函数模型，将实际问题转化为数学问题: (3)利用数学知识求解构建的函数模型,得出结论解决问题 【典例11】（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 【变式1】（2025·广东·一模）随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数的图象，且正好与直线相切，而岛屿海岸线可近似看作函数的图象．每单位代表十万米 (1)试求的值及切点坐标． (2)已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过，试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由． 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．    (1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式； (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）． （参考数据：） 【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 一、单选题 1．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B两地相距，某人开汽车以的速度从A地到达B地，在B地停留后再以的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 6．（2025·四川凉山·三模）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．多选题（2024·广东·模拟预测）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 三、填空题 9．（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围为 . 10．（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于的方程在区间上有实数根，则的取值范围为 . 11．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 12．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数图像及函数与方程 【考点1 作函数图像】 【考点2 识别与辨图的常见方法】 【考点3 以函数图像为背景的问题】 【考点4 函数零点所在区间的判断】 【考点5 函数零点个数的判断】 【考点6 函数零点的应用】 【考点7 构建函数模型的实际应用】 知识点1：函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点2：二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； 【考点1 作函数图像】 为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线的方法之外，还要做到以下两点 (1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如 y=的函数图象; (2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程. 【典例1】（高一上·山西·期中）已知函数， (1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图； (2)根据函数的图象，写出函数的单调区间； (3)若，求实数t的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)增区间为，减区间为 (3)或3 【分析】（1）根据题中分段函数解析式作图即可； （2）根据图象直接得出单调区间； （3）可知，结合单调性即可得结果. 【详解】（1）函数的简图如下：    （2）由图可知，函数的增区间为，减区间为； （3）因为，且函数在上单调递增，在上单调递减， 若，则实数t的值为或3. 【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)求的解集； (2)求曲线与直线所围成的图形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，把不等式，等价转化为不等式组，即可求解； （2）画出曲线与直线的图像，求得的坐标，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 则不等式， 即为或或， 解得或或，所以， 即不等式的解集为. （2）解：作出曲线与直线的图像，如图所示， 可求得， 曲线与直线所围成的图形为， 则，且 轴，则边上的高为， 故所求面积为.    【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)图像见解析 (2) 【分析】（1）分类去绝对值得分段函数的解析式，进而可作出函数的图象； （2）法一：分类去绝对值，解不等式即可求得的解集. 法二：求得与的解，数形结合可求得的解集. 【详解】（1）由，解得或， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 画出函数的图象如图所示． （2）法一：当时，原不等式转化为，得； 当时，原不等式转化为，得； 当时，原不等式转化为，无解． 综上，原不等式的解集为． 法二：当时，解得， 当时，解得， 数形结合可知，当时， 即原不等式的解集为． 【考点2 识别与辨图的常见方法】 1.识别函数图象的常见方法:(1)利用函数的值域和定义域判断;(2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点或者极限思想等判断 2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等 【典例2】（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 【变式1】（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解； 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 【变式2】（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域、单调性分析即可确定正确选项. 【详解】由题意，知的定义域为，排除A，C； ，当增大时，减小，也减小，即在上单调递减，排除D. 故选：B. 【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的部分图象可得为偶函数，结合和函数值正负，利用排除法得解. 【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B， 又，排除A，当时，，排除D. 故选：C． 【考点3 以函数为背景的问题】 【题型1 研究函数的性质】 一般根据图象研究函数的性质有以下几方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性 【典例3】（2025高二下·浙江·学业考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用的奇偶性得到，再对进行赋值即可求解. 【详解】为奇函数，， 函数的定义域为，令，得，， 令，得， 当时，，，即， . 故选：D. 【变式1】多选题（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 【题型2 解不等式】 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难但其对应函数的图象可作出时，常结合图象，利用数形结会思想求解 【典例4】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可. 【详解】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为． 故选：D 【变式2】（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 则在上单调递减，不等式， 即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 【变式3】（23-24高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，易知为奇函数且在上单调递增. 化简， 即， 所以，解得， 故选：C 【题型3 求参数的取值范围】 当参数的不等关系不易找出时，可将不等式或方程的两边转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围 【典例5】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性以及单调性解对数不等式计算可得结果. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上是增函数，又， 即，所以， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：D 【变式1】（2023·全国·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数判断得在上的单调性，再利用偶函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为当时，，则， 所以在上单调递增， 又为偶函数，，所以， 则，即，解得． 故选：C． 【变式2】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式4】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【考点4 函数零点所在区间的判断】 判断函数零点所在区间的方法: (1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程; (2)利用函数零点存在定理; (3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 【典例6】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 【变式1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 【变式2】（2014高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用零点存在定理计算判断即可. 【详解】因为函数，且， 函数在上连续不断，且单调递增，， 所以零点所在的区间是. 故选：D. 【变式3】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，判断函数的单调性，计算端点处的函数值，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于，，且中， 故，在单调递增， 因此至多一个零点， ,,， 因此的零点所在的区间是， 故选：C 【变式4】多选题（23-24高三上·甘肃白银·期中）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先借助导数确定函数的单调性及单调区间，再分别求出的值，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为时，，，， ，， 所以，. 所以由零点存在性定理可知，函数在，上存在零点， 故选：BD 【考点5 函数零点个数的判断】 求解函数零点个数的基本方法有: （1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点; （2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等; （3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数: （4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0. 【典例7】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 又当时，，所以函数只有一个零点，    故选：A. 【变式1】（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】作出与的大致图象，由图象即可判断交点个数. 【详解】，， ， 作出与的大致图象，易知共有3个交点. 故选：A.    【变式2】（2024·江西景德镇·一模）函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】将问题转化为求与图象的交点个数，作出两函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】令，则有， 要求函数的零点个数， 即求与图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得函数与图象有6个交点， 所以函数的零点个数为6. 故选：B． 【变式3】（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】由可得或，对于的零点个数，考虑将其转化成两函数，的交点个数,通过作图即得. 【详解】令，得或． 设，，在平面直角坐标系中先画出的图象， 保留轴上方的部分图象并把轴下方的图象向上翻折即得的图象， 再作出的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点. 综上所述，函数共有4个零点． 故答案为：4.    【考点6 函数零点的应用】 【题型1 根据零点的个数求参数范围】 已知函数的零点范围求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围: (2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解 【典例8】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由偶函数的定义得到函数为偶函数，结合偶函数的图象性质以及有且只有一个零点，可知，从而得到的值. 【详解】函数，其定义域为， 且，所以函数是偶函数. 由于偶函数图象关于轴对称，且有且仅有一个零点，所以有， 即，所以. 故选：C. 【变式1】（2025·宁夏·一模）已知函数，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数与的图象有三个交点，得到有三个根，再分离参数得到去分析与的交点个数. 【详解】因为函数与的图象有三个交点，所以， 当时，方程必然成立， 当时，分离参数可得，则与有两个交点， 若，则，若，则，如图所示，    结合图像，要与有两个交点，需满足. 故选：C 【题型2 根据零点所在区域求参数范围】 函数零点的应用主要体现在三类问题: (1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题: (2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围; (3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。 【典例9】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【变式2】（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得. 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【题型3 复合函数的零点】 求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是: (1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个); (2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点. 如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y-t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数. 【典例10】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得. 【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为． 故选：C. 【变式1】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合思想即可求解． 【详解】作出的大致图象如图所示，    由的零点，即为 观察可知． 当时，令，可得，当时，令，可得，所以，故． 故答案为：． 【变式3】（2025·山西临汾·二模）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与两种情况讨论方程根的情况可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解， 当时，方程为，即，即， 因为，所以，所以方程有两个根，又， 所以有一个正根与一个负根， 又，所以有一正的零点， 当时，方程为，即 因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根， 所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】（2025·山西·三模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意当时，函数有一个零点，所以只要时，函数有一个零点即可，利用二次函数的相关性质可解. 【详解】因为当时，解得，函数有一个零点； 因此，要使函数有两个零点，只需时，函数有一个零点． 当时，函数对称轴为， 若，只需，解得； 若，只需，可得； 若，有且只有一个零点，不满足条件， 综上，的取值范围为． 故答案为： 【变式5】（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数、对数函数的性质，讨论、、结合已知零点个数确定参数范围即可. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 对于， 当，则，而，此时最多有两个零点； 当时，则，此时的大致图象如下， 由在上单调递增，且，结合上图， 当，即时，，恰有三个零点， 当，即时，，恰有三个零点； 当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意； 综上，. 故答案为： 【考点6 构建函数模型的实际应用】 构建函数模型解决实际问题的步骤: (1)认真审题，分析理解实际问题的题意,为解题找出突破口; (2)依题意确定变量间的关系，构建函数模型，将实际问题转化为数学问题: (3)利用数学知识求解构建的函数模型,得出结论解决问题 【典例11】（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 【答案】C 【分析】根据已知模型结合指对数转化计算求解. 【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为， 当时，，代入得，解得， 当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，， 则，即， 则 ， 所以所需的训练迭代轮数至少为79． 故选：C. 【变式1】（2025·广东·一模）随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数的图象，且正好与直线相切，而岛屿海岸线可近似看作函数的图象．每单位代表十万米 (1)试求的值及切点坐标． (2)已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过，试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)不能，理由见解析 【分析】（1）由题意可设切点为，求出函数的导数，求出切点的斜率，得到切点的横坐标，求出纵坐标，得到结果. （2）利用同底的指数函数、对数函数互为反函数，结合函数图象平移，将问题转化为两个函数图象间最短距离大于直线与直线之间的距离求解. 【详解】（1）依题意，设切点为，由函数求导得， 则，即，解得， 而，则，解得，， 所以，切点坐标为. （2）由（1）及函数与函数互为反函数，且的图象与相切， 得函数的图象与函数的图象有且只有一个公共点， 而的图象可由的图象向右平移个单位而得到， 因此函数与的图象之间的最短距离大于直线与直线之间的距离， 即（十万米）．则高铁穿过通道的时间. 所以高铁不能在半小时内穿过高速通道. 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．    (1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式； (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）． （参考数据：） 【答案】(1)； (2)9个小时. 【分析】（1）根据给定的条件，结合图象求出与的关系式. （2）利用（1）的结论，结合已知建立不等式，再利用单调性求解即得. 【详解】（1）开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设， 将代入，得，解得，因此； 当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少， 则当时，， 所以所求关系式为. （2）设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即， 整理得，两边取常用对数，得， 则，解得， 所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效. 【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可； （2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由（1）可知：， 若，则，可知其图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为； 又因为，可知的最大值为， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元. 一、单选题 1．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：． 故选：A. 2．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解. 【详解】依题意，函数的大致图像如下图： 因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 则当或时，；当时，， 不等式化为或， 所以或或， 解得或或，即或， 即原不等式的解集为； 故选：C. 3．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数. 【详解】作图像，列表： 0 0 1 0 0 1 0 0 作图像，列表： 0 0 2 0 0 2 0 在同一坐标系中画出图形，如下图所示， 则两个函数在上有4个交点. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B两地相距，某人开汽车以的速度从A地到达B地，在B地停留后再以的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知从A地到B地的来回时间分别为，所以 5．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由，即， 所以， 所以所需的训练迭代轮数至少为次． 故选：C. 6．（2025·四川凉山·三模）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式可得，得到，，分三种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】， ，显然，故，， 若，解得， 若，解得， 若，解得， 综上，. 故选：C 7．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设函数，代入数据计算即可. 【详解】由题意，当时，， 当时，，则， 则，即. 故选：A. 二、多选题 8．多选题（2024·广东·模拟预测）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 【答案】BC 【分析】根据零点的定义直接判断A选项，求导判断函数的单调性与极值情况，可判断BD选项，根据函数图像的对称性可判断C选项. 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A 选项错误； 对于B，由， 令，解得或， 当或时，，即在和上单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以是的极小值点，故B选项正确； 对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确； 对于D，当时，单调递减，则当时，单调递减， 又当时，，所以，故D选项错误； 故选：BC. 三、填空题 9．（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据，求得相位，结合正弦曲线的图象和题目要求即可得出区间端点的取值范围，解不等式即可得解. 【详解】当时，，    由图可知，. 故答案为： 10．（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于的方程在区间上有实数根，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将原题转换为求函数的值域，故只需结合导数求函数最值即可. 【详解】原题条件等价于方程在区间上有实数根， 故只需求函数的值域， 求导得， 当，时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 即函数的值域为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 11．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 12．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【答案】(1)， (2)行驶的最大速度为70千米时． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，求解，的值即可； （2）令求出的取值范围即可． 【详解】（1）由图象可知，点，在函数图象上， ，解得， ，； （2）令，得， 解得， 又，    ， 即行驶的最大速度为70千米时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$