专题1.3 绝对值和有理数的大小比较（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题1.3绝对值和有理数的大小比较 教学目标 1. 理解绝对值的概念及几何意义，掌握绝对值的表示方法和计算规则； 2. 能运用绝对值比较有理数的大小，尤其是两个负数的大小比较。 教学重难点 1.重点 （1）绝对值的概念及计算； （2）利用绝对值比较两个负数的大小。 2.难点 （1） 理解绝对值的几何意义； （2） 灵活运用绝对值的性质解决复杂的大小比较问题 知识点01 绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·北京石景山·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 2．（24-25七年级上·山东滨州·期末）若，则a的值是 ． 知识点02 有理数的大小比较 （1） 数轴法:在数轴上，右边的点所代表的数恒大于左边的点所代表的数。 （2） 绝对值法：当比较两个正数大小时，绝对值大的那个正数更大； （3） 差值法:设a、b为任意两个有理数，对两数作差，若a-b＞0，则a＞b. （4） 商值比较法:设a、b为任意两个正有理数，两数作商,若＞1，则a＞b;若＜1，则a＞b; 若＝1，则a=b。若a，b为任意两个负有理数，则结论与正有理数情况相反 。 （5） 倒数比较法：倘若两个数均大于零，那么倒数大的数反而小。 【即学即练】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 题型01 绝对值的几何意义 【典例1】（24-25七年级上·江苏南通·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，那么x一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，其中绝对值最小的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【变式3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）在数轴上，表示数a的点到原点的距离是2，数a的绝对值是（    ） A．4 B．2 C． D．2或 题型02 求一个数的绝对值 【典例2】（22-23九年级上·福建福州·开学考试）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（   ） A．6 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山西大同·期中）沁州黄不仅形体金黄，味道香美，而且营养丰富，经过有关部门鉴定，它中的脂肪、蛋白质、可溶性糖类的含量都高于普通小米，若“沁州黄”每包的标准质量为，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则下面4个包装中，实际质量最接近标准质量的是（   ） A．B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知，则 ． 题型03 绝对值非负性 【典例3】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【变式1】（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）若，则的值为 ． 【变式2】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）若，则 ． 【变式3】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）若，则 ． 题型04 绝对值的其他应用 【典例4-1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【典例4-2】】（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【变式1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 题型05 利用数轴比较有理数的大小 【典例5】（2023·广东广州·一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，数轴上A、B两点分别表示数a、b，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 【变式3】（24-25七年级上·广东惠州·期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 题型06 有理数大小比较 【典例6】（24-25七年级上·青海西宁·期中）在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·云南文山·期中）在有理数：，，，中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 题型07 有理数大小比较的实际应用 【典例7】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）我国四个城市某天的平均温度如下，其中平均温度最低的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）实验室中有四个因操作不规范沾染污垢的砝码，经过测量，超出标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，那么下列砝码的质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如下表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/ 其中最低气温最大的城市是（    ） A．沈阳 B．大连 C．鞍山 D．抚顺 【变式3】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不做标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）现有如下四个比赛用球需要检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下列语句中正确的（   ） A．一定是负数 B．符号不同的两个数是相反数 C．数轴上的两个有理数，大的离原点远 D．绝对值最小的整数是0 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）手机信号的强弱通常使用（毫瓦分贝）来表示，是一个表示功率绝对值的单位，绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广东湛江·期末）计算的结果是（   ） A．0 B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图所示，根据有理数a，b在数轴上的位置，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材习题4题变式]绝对值大于1且不大于3的整数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是（   ） ①，②，③． A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 二、填空题 10．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 11．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 12．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 14．（24-25七年级上·河南·阶段练习）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 三、解答题 15．（22-23七年级上·吉林长春·期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 16．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 17．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 18．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3绝对值和有理数的大小比较 教学目标 1. 理解绝对值的概念及几何意义，掌握绝对值的表示方法和计算规则； 2. 能运用绝对值比较有理数的大小，尤其是两个负数的大小比较。 教学重难点 1.重点 （1）绝对值的概念及计算； （2）利用绝对值比较两个负数的大小。 2.难点 （1） 理解绝对值的几何意义； （2） 灵活运用绝对值的性质解决复杂的大小比较问题 知识点01 绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·北京石景山·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 【答案】 非正 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键，根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解： 若，则的值为， 若，则是非正数， 故答案为：，非正． 2．（24-25七年级上·山东滨州·期末）若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据绝对值的定义可得，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 知识点02 有理数的大小比较 （1） 数轴法:在数轴上，右边的点所代表的数恒大于左边的点所代表的数。 （2） 绝对值法：当比较两个正数大小时，绝对值大的那个正数更大； （3） 差值法:设a、b为任意两个有理数，对两数作差，若a-b＞0，则a＞b. （4） 商值比较法:设a、b为任意两个正有理数，两数作商,若＞1，则a＞b;若＜1，则a＞b; 若＝1，则a=b。若a，b为任意两个负有理数，则结论与正有理数情况相反 。 （5） 倒数比较法：倘若两个数均大于零，那么倒数大的数反而小。 【即学即练】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键． （1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数在数轴上的位置即可得到的位置； （2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解： 是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 题型01 绝对值的几何意义 【典例1】（24-25七年级上·江苏南通·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，那么x一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的性质即可求解，如果用字母表示有理数，则数绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 【详解】解：如果，那么一定是负数或0即非正数． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，其中绝对值最小的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据数轴上表示某个数的点与原点的距离的大小确定结论，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 【详解】解：由数轴可知：数c在数轴上的对应点到原点的距离最小， ∴在这四个数中，绝对值最小的数是c， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）在数轴上，表示数a的点到原点的距离是2，数a的绝对值是（    ） A．4 B．2 C． D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，一个数的绝对值表示的是数轴上这个数到原点的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵在数轴上，表示数a的点到原点的距离是2， ∴数a的绝对值是2， 故选：B． 题型02 求一个数的绝对值 【典例2】（22-23九年级上·福建福州·开学考试）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的计算；根据正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，进行作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·山西大同·期中）沁州黄不仅形体金黄，味道香美，而且营养丰富，经过有关部门鉴定，它中的脂肪、蛋白质、可溶性糖类的含量都高于普通小米，若“沁州黄”每包的标准质量为，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则下面4个包装中，实际质量最接近标准质量的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，质量的绝对值最小的那个包装即为最接近标准质量的包装，据此求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴下面4个包装中，实际质量最接近标准质量的是的这个包装， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 题型03 绝对值非负性 【典例3】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解得关键是掌握非负数的性质．根据题意得到：，，即可求解． 【详解】解： ， ，， 解得：，， 故答案为：，． 【变式1】（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查代数式求值，掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．先根据绝对值和平方的非负性求出m，n的值，然后代入代数式中即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ． 故答案为：4． 【变式2】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是非负数的性质，代数式求值，熟记偶次方和绝对值的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后再代值计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴，； ∴． 故答案为：9． 【变式3】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值等知识，正确解得的值是解题关键．根据非负数的性质解得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 题型04 绝对值的其他应用 【典例4-1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【典例4-2】】（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 【变式1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解： ， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 题型05 利用数轴比较有理数的大小 【典例5】（2023·广东广州·一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，数轴上A、B两点分别表示数a、b，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用绝对值的定义比较大小，关键是掌握绝对值的定义． 先根据数轴可得点A到原点的距离大于点B到原点的距离；再运用绝对值的定义即可判断与的大小关系． 【详解】解：根据数轴可得，点A到原点的距离大于点B到原点的距离， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·广东惠州·期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数大小比较，正确理解绝对值的意义是解题关键． 直接利用绝对值的意义进而得出答案． 【详解】如图所示：实数a，b，c，d在数轴上的对应点，只有d距离原点的距离最远，故这四个数中，绝对值最大的是D， 故答案为：D． 题型06 有理数大小比较 【典例6】（24-25七年级上·青海西宁·期中）在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据相反数和绝对值的定义化简后，再根据“负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解： ，，， 又， ， 即在中，最小的数是， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·云南文山·期中）在有理数：，，，中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：根据有理数的大小比较方法得：， ∴选项中最小的是， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型07 有理数大小比较的实际应用 【典例7】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）我国四个城市某天的平均温度如下，其中平均温度最低的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，理解比较方法：“正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．” 是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 平均温度最低的是， 故选：A． 【变式1】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）实验室中有四个因操作不规范沾染污垢的砝码，经过测量，超出标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，那么下列砝码的质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，正负数的应用，比较四个数的绝对值的大小即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是选项B中的砝码； 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如下表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/ 其中最低气温最大的城市是（    ） A．沈阳 B．大连 C．鞍山 D．抚顺 【答案】B 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的大小比较，理解正负数的意义，根据负数比较大小，绝对值大的反而小得到所给数据的大小，进而可求解． 【详解】解：在所给数据中，由得， ∴最低气温最大的城市是大连， 故选：B． 【变式3】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不做标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的意义、有理数的大小比较，根据绝对值越小越接近标准质量求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是， 故选：C． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的定义，即一个数在数轴上所对应点到原点的距离． 根据绝对值定义判断． 【详解】根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 因为是负数， 所以的绝对值是它的相反数， 的相反数是2， 所以的绝对值是2， 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）现有如下四个比赛用球需要检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用、绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．求出题目选项中每个数的绝对值，再根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可得出结论． 【详解】解：，，，， ， 最接近标准的是A选项． 故选：A． 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下列语句中正确的（   ） A．一定是负数 B．符号不同的两个数是相反数 C．数轴上的两个有理数，大的离原点远 D．绝对值最小的整数是0 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，数轴上的点．根据绝对值的意义，相反数的定义，数轴上的点之间的距离概念即可进行判断． 【详解】解：A、时，是非负数，故原说法不正确，不符合题意； B、只有符号不同的两个数是相反数，故原说法不正确，不符合题意； C、数轴上的两个负有理数，大的离原点近，故原说法不正确，不符合题意； D、绝对值最小的整数是0，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）手机信号的强弱通常使用（毫瓦分贝）来表示，是一个表示功率绝对值的单位，绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值性质的实际应用，熟练掌握绝对值性质是解题的关键． 先计算负数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，，， 信号最强的是， 故选：A ． 5．（24-25七年级上·广东湛江·期末）计算的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉相关性质是解题的关键．根据化简绝对值即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图所示，根据有理数a，b在数轴上的位置，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较，相反数，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴得，，再依次判断各选项即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴A、，原说法错误，不符合题意； B、错误，应为，故不符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材习题4题变式]绝对值大于1且不大于3的整数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，绝对值大于1且不大于3的所有整数的绝对值是2、3，据此求出绝对值大于1且不大于3的所有整数有多少个即可． 【详解】解：∵绝对值大于1且不大于3的所有整数的绝对值是2、3， ∴绝对值大于1且不大于3的所有整数有4个：、2、、3． 故选：B． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是（   ） ①，②，③． A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，绝对值的意义，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 根据相反数的定义在数轴上表示出，得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：如图， ①根据数轴可以知道：， ∴， ∴，符合题意； ②∵， ∴， ∴，符合题意； ③∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； 故选：D． 9．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，根据绝对值的意义分别求解即可． 【详解】解：， ，，， ， 若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设，，， ； 若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设，，， ， 的值为， 故选：C． 二、填空题 10．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·河南·阶段练习）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 三、解答题 15．（22-23七年级上·吉林长春·期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【答案】(1)1596毫升 (2)696元 【分析】本题考查的是正负数，解题的关键是掌握有理数的加减法法则． (1)8个数据和加上8瓶标准试剂的总量即可； (2)计算这8个数据绝对值的和，然后乘12元得人工费． 【详解】（1）解： (毫升)， 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1596毫升； （2）解： (元) 答：共需要696元人工费． 16．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 17．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 18．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$