2.5 第2课时利用方向角解决问题-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四学制)

第2课时 利用方向角解决问题（答案P12) 通基础> C,小明发现风景区C在A地的北偏东15°方 向，那么A,B两地的距离为 知识点■利用方向角解决问题 1.(2023·烟台莱州期末)已知一轮船以16海里/时 60 的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行， 另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出 发向南偏东27°方向航行，则离开港口1小时 后，两船相距() 5.一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东 西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A A.8√3海里 B.85海里 处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的 C.16海里 D.24海里 方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测 2.如图所示，一艘客轮从小岛A沿东北方向航 得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以 行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距 上数据，帮助小明计算出这条河的宽度.（结果 (100+100√3)海里的港口B出发，沿北偏西 保留根号) 60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进 行补给，则客轮与补给船的速度之比为() A.√2：2 B.2:1 C.√5：2 D.√5：1 3.(2023·烟台福山区期中)“龙舟故里”赛龙舟， 小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米 直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向， 6.(2023·泰安一模)某区域平面示意图如图所 赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终 示，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相 点B位于点P的北偏东60°方向上，AB= 垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于 400米，则点P到赛道AB的距离为( )(结 北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南 果保留整数，参考数据：3≈1.732) 偏西73.7°，测得AC=840m,BC=500m,则点 O到BC的距离为( )(参考数据：sin73.7°≈ 25c0s73.7≈ 5tan73.7≈2 A.200米B.100米C.87米 D.173米 4.(2023·烟台莱州期中)如图所示，小明一家自 驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车 辆应沿北偏西45°方向行驶一段距离至B地， 再沿北偏东60°方向行驶2√6千米到达风景区 A.440mB.340mC.360mD.480m 一优十学课阴通 41 7.(2023·泰安新泰期末)如图所示，海中有一小 通素养> 岛A,它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼 群由西向东航行.在B点测得小岛A在北偏 9.(2023·咸海文登区期中)3月份，长江重庆段 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压 得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改 力开始慢慢增加，为及时掌握辖区通航环境实 变航线继续向东航行，那么渔船航行 时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生， 海里就开始有触礁的危险。 沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近 N 七百公里的长江干线通航安全.如图所示，巡 航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航 标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航 8.(2023·泰安泰山区月考)如图所示，禁止捕鱼 标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有 浅滩，会使过往船舶有危险. 期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一 (1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏 时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向 西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求 距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南 B,C两地的距离.（精确到1米） 偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽 (2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织 查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速 度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕 挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保 鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用 航施工.请判断该条航道是否被这片浅滩区域 影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长 的时间 度为多少米？如果没有被影响，请说明理由。 北 (参考数据：√2≈1.414,7≈2.646) 45 t42 九级上用数学鱼教厦7.解：过点B作BH⊥DC于点H,过点B作BF⊥OC于点F,9.解：如图所示，作MH⊥AB于点H,延长HM交EF于点J, 如图所示. 交CD于点K,则BH=MN=JF=DK=L.5米，MJ FN=2米，EI=EF-JF=0.5米，CK=CD-DK=10米. 43745 4N 依题意得OC⊥DC,∠BDH=37,∠BEH=45.又BH⊥ DC,.△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，.EH= EJ/CK.MK-CK' MJ EJ BH.EC=OC..DE=1.5 m.EC=5 m 20.5 .OXC=EC=5 m. 六MK=10MK=0米. ,BH⊥DC,BF⊥OC,OC⊥DC,,四边形BHCF为矩形， :BD=70米，DN=MK=40米， .BF-CH,BH-CF.BF//CH. .BN=HM=30米. .∠OBF=∠BEH=45°， 在R1△AHM中，AH=HM·tan40°≈30X0.84 ∴△OBF为等腰直角三角形， 25.2(米)， ∴.BF=OF=CH. .AB=AH+BH=25.2+1.5=26.7(米). 设BF=xm,则OF=CH=xm, 答：教学楼AB的高度为26.7米， ..EH=BH=EC-CH=(5-x)m. ∴.DH=DE+EH=1.5+5-x=(6.5-x)m. 第2课时利用方向角解决问题 BH 在R△BDH中，an∠BDH=DH 1.B2.A3.D+.4千米 5.解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D 5-x 35- 即an37-6.5-云46.5- 解得x≈0.5， 检验后知道T=0.5是原方程的根， ∴.BF=OF=0.5m. 在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得OB=√/OF+BF= 0.5×20.5×1.41=0.705(m). 设CD=xm,在R1△BCD中， 点O为AB的中点， ∠CBD=45,.BD=CD=xm. .AB=20B≈2×0.705≈1.4(m) 在Rt△ACD中，∠DAC=90°-60°=30°，AD=AB+BD= 答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m. (20+r)m.CD=x m, 8解：1)由已知得AP=BP=专AB=17cm cD-un 30.AD. 3(20+x) 在Rt△APE中， 解得x=10(W3+1),.CD=10(3+1)m. sim∠AEP=AP E·AE= AP 17 sinZAEP sin 18"0 答：这条河的宽度约为10(W3十1)m. 57(cm). 6.D7.4.5 答：限睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm. 8.解：设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间为x小时. (2)如图所示，过点B作BF⊥AC于点F, 由题意得∠ABC=45°十75°=120°，AB=12海里，BC 10x海里，AC=14x海里. 过点A作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,如图所示. 北 D -+-- B B队-F D C :∠EAB+∠BAF=90°.∠EAB+∠AEP=90. ∴∠BAF=∠AEP=18 在Rt△ABD中，AB=12海里，∠ABD=180°一120°=60° 在R△ABF中，AF=AB·cos∠BAF=34Xcos18≈34× 立BD=AB·ms60=号AB=6海里，AD=AB·Sn60 0.95=32.3(cm),BF=AB·sin∠BAF=34×sin18°≈34× 0.3=10.2(cm). 63海里，.CD=(10x十6)海里. BF∥CD,∴.∠CBF=∠BCD=30°，∴.CF=BF· 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(14x)=(10x十6)+ (63)2, ian∠CBF=10.2Xtan30°=10.2Xg≈5.78(cm)为 ∴.AC=AF+CF=32.3+5.78≈38(cm). 解得=2：=一是（不合题意含去， 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm, 答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间为2小时， 12 9.解：(1)如图①所示，过点B作BD⊥AC于点D. 北 AB=24 cm.BE-3AB. .BE=8 cm.AE=16 cm. H D P N F 在Rt△AEG中，AE=16cTm,∠AEG=10°， 由题意得∠BAC=15+45°=60°，AB=200米，AC=300米. .EG=cos10°·AE≈0,98X16≈15.7(cm)=CD. 在△ABD中，60-船-黑-咨m60- 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm AB (2)如图所示，过点B分别作BH⊥DE,BP⊥FC,垂足分别 2002·解得BD=1003米.AD=100米， AD 1 为点H,P,在R1△BEH中，BE=8cm,∠EBH=10°， .HE=sin10°·EB≈1.36(cm).BH=cos10°·EB ∴.CD=AC-AD=200米. 7.84(cm), ∴，由勾股定理得BC=CD+BD=100√7≈265米， .HD=DE-HE=27.36-1.36=26(cm)=BP. B,C两地的距离约为265米. ∠ABF=145, ,∴.∠PBF=145°-90°-10°=45"， (2)该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为100米.理由 ∴.BP=PF=HD=26cm. 如下： 如图②所示，过点B作航道的垂线BE, MN⊥CF,∠NMF=45°，MN=8cm, .MN=NF=8 cm. 北 ∴DN=DP+PF-NF= 7.84+26-825.8(cm). 答：线段DN的长度约为25.8cm. 8.解：如图所示. ② E CD B 由题意得AB=200米·∠BAE=45, 由题意得DF=号AB=,15C米). 在R:△ABE中.im45-AB2002 BEBE② ?斜技AC的装比为1：2六识-号2吧-名 解得BE=100V2≈141米. ∴BC=2AB=1.5米.CD=2DF=0.3米. 141<150, ED=2.55米. ,该条航道会被这片浅滩区域影响。 .EB=ED+BC-CD=2.55十1.5-0,3=3.75（米） 设BF=150米，在Rt△BEF中，EF=JBF一BE= 在△AB中，m∠AEB-铝-=吉查表可得 √150一(100区)°=50（米），根据对称性可知.被影响的航 ∠AEB11.310°， 道长度为100米. ∴.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度， 第3课时 利用坡度、坡角解决问题 6利用三角函数测高 1.B2.C3.(2+) 1.A2.C3.14 4.解：(1)在Rt△DEM中，EM=0,9m,∠EMD=30°， 4.解：过点C作CE⊥BD,垂足为点E,如图所示 s血30品-思号解得DE=05m D ∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.5m C (2)由(1)得DE=0.45m, .GE=GD-ED=1.05-0.45=0.6(m). EF//AB. .∠GEF=∠EDB=90 45 在R△GEF中，∠GFE=53,GE=0.6m,tan53°= G EF 由题意，得AC-BE,∠DCE=30°，∠BCE=45.设AC BE=x米，在R1△BCE中，CE=BE·tan45°=r米. 部音mw--0号 0.64 解得EF=0.45m,GF=0.75m, 在R△DCE中，DE=CE·an30°= 3x米. .GF+EF+DE=0.75+0.45+0.45=1.65(m). BD=20米，BE+DE=20, 答：此运动员的身高为1,65m, 3x=20,解得r=30-103, 5.A6.20.62 7.解：(1)如图所示，过点E作EG⊥AC于点G. ,.AC=BE■(30一103)米， 易知四边形CDEG是矩形，.CD=GE. .旗杆AC的高度为(30一103)米. 13