第1章 反比例函数综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四学制)

本章综合提升（答案P5) 本章知识归纳 当0时.在每个象限内. 表达式： 为常数，k￥0) 随的增大而 性质 当k<0时，在每一个象限内， 随x的增人而 形状：双曲线 反比例函数 特征：图象关于月 对称，双曲线的两 个分支无限接近坐标辅，何水远达不到坐标制 在实际问题及物理学中的应川 法：描点法 图象 >0时，图象位干第 象限 成用 与数学中其他知 与几何知识的综合应川 位置 当c时，图象位于第 象限 识的综合应用 与跃函数的综合应用 思想方法川纳 【变式训练】反比例函数y=一的图象上 6 1.数形结合思想 有三点(-3，y1),(1,y).(6,y),则y1yy 从几何直观的角度利用几何图形的性质研 的大小关系是 究数量关系，寻求代数问题的解决途径：或用数 2.方程思想 量关系研究几何图形的性质，以形助数，以数辅 从分析问题的数量关系入手，通过设定未知 形，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使 数，把问题中的已知量与未知量的数量关系转化 问题得以解决 为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的逻 “学链接本章 辑，使问题得到解决 借助函数图象与反比例函数解决相关 红链接本章 的比较大小的问题，非常简捷、直观、易于理 反比例函数的表达式的确定及实际间 解，这充分体现了数形结合的优势，是反比 题中无不渗透着方程思想的运用，它集中体 例函数比较函数值大小的常用方法 现在待定系数法的运用上， 》 【例1】若点A(x1y1),B(xyz),C(x3 【例2】如图所示，在平面直角坐标系xOy y)都在反比例函数y=的图象上，其中< 中，反比例函数y=与一次函数y= .r 3x+2 0<y1<ya,则x1x2,x3的大小关系是( 的图象交于A(c,4),B两点 (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标. A.I<r:<I3 B.x2<x3<x1 C.<< D.x:<r< ②》求出不等式>一子：+2的取值范围 4 一优学海闹阴型 (3)若点C在y轴上，△ABC的面积为18，求满 【例3】(2023·泰安泰山区月考)如图所 足条件的点C的坐标. 示，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1+十b (k≠0)与反比例函数y=二(m≠0)的图象相交 于A,B两点，过点A作AD⊥x轴于点D, A0=5,OD=AD,B点的坐标为(-6，m, 3 (1)求一次函数和反比例函数的表达式， (2)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角 形，请直接写出所有符合条件的P点坐标。 【变式训练2】如图所示，已知反比例函数 y-是与一次两数)=一1十3的图象交于A,B 两点，P为y轴上一动点，连接PA,PB,当 【变式训练3】如图所示，反比例函数y=冬 PA+PB取得最小值时，△ABP的面积 为() (k>0)的图象与正比例函数)y=子的图象交于 A,B两点（点A在第一象限）. (1)当点A的横坐标为2时，求k的值. (2)若k=12,点C为y轴正半轴上一点， 1=-x+3 ∠ACB=90°. 3 b.2 c 2 0 ①求点C的坐标及△ACB的面积. A.1 ②以A,B,C,D为顶点作平行四边形，请求 3.分类讨论思想 出第四个顶点D的坐标 当问题的对象不能进行统一研究时，就需要 对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研 究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到 整个问题的解答. “意字链授亦章…… 反比例函数自变量的取值、函数表达： 式、函数的性质、利用反比例函数解决问题 等都可能要分类讨论。 18 九年级·上用数学色数级一 4.建模思想 【变式训练4】喝茶前需要烧水和泡茶两个工 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数 序，电热水壶将水烧到100℃，然后继续加热 学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题1分钟后断电，烧水时水温y(℃)与时间x(mi) 的素养. 成一次函数关系：断电后，水壶中水的温度（℃） …“链授亦章 与时间x(min)近似于反比例函数关系（如图所 本章中主要体现在建立反比例函数模 示).已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过 型，利用反比例函数的图象和性质解决 程中水温不低于20℃. 问题. (1)分别求出图中AB段和CD段所对应的 . 函数关系式. 【例4】学科融合》寓言故事：青年用木柴 (2)从水壶中的水烧开(100℃)降到80℃就 烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴 可以进行泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长 的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新 时间？ 烧开，很是气馁.路过的智者提醒他，木柴不够， 可以将水倒掉一部分.青年听后，茅塞顿开，把水 100 烧开了，智者的话蕴含一定道理，根据物理学公 式Q=cm△1(Q表示寓言故事中水吸收的总热 18 x/min 量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量， 4表示水的温差)，得1=Q,智者的话可解释 为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量 Q随之确定，为定值，水上升的温度△￥（℃）与 水的质量m(kg)成反比例. (1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的 水加热到75℃，请求出这种情形下Q的值及△ 关于m的反比例函数的表达式 (2)在(1)的情形下，现有的木柴可将多少千 克温度为25℃的水加热到100℃. 通模拟9332>>9992 1.(2023·烟台蓬莱区期末)下列函数y是x的 反比例函数的是( A.y=3x B.y=4 1 C.y= 1 D.y-3x 一优学奉·闹阴型 19 2.(2023·烟台栖霞期末)已知反比例函数y= 工，下列结论不正确的是() 6 A.图象经过点(1,6) B.图象在第一、三象限 C.y随着x的增大而减小 D.当x>1时，0<y<6 3.(2023·泰安三模)如图所示，一次函数y1= 2x十1的图象与反比例函数y=(x>0)的 1 图象交于点A(a,3),与y轴交于点B. 5.(2023·泰安中考)如图所示，一次函数y1 (1)求a,k的值. 一2x十2的图象与反比例函数y,=的图象 (2)请直接写出在第一象限y1<y2<4时，x 分别交于点A,点B,与y轴，x轴分别交于点 的取值范围. C,点D,作AE⊥y轴，垂足为点E,OE=4. (3)直线CD过点A,与反比例函数图象交于 (1)求反比例函数的表达式. 点C,与x轴交于点D,AC=AD,连接CB.求 (2)在第二象限内，当y1<y,时，直接写出x △ABC的面积. 的取值范围。 (3)点P在x轴负半轴上，连接PA,且PA⊥ AB,求点P坐标. 通考》999999999999999n39399 4.(2023·泰安中考)一次函数y=ax十b与反比 例函数y=a心(a,b为常数且均不等于0)在同 一平面直角坐标系内的图象可能是() 20 九年级·上用数学色教极一AH:0H-县即吃×5×m-, 3 得c=一号，故点A鱼标为（号4）将点A坐标代人反比 解得n一1. 3 (2)如图所示，过点B作BQ⊥x轴于点Q 例函数表达式，得表=一之×4=一6， AB⊥y轴， 所以反比例函数表达式为y=一兰 .BQ=AH=3. :A0⊥BO, 将一次函数表达式和反比例函数表达式联立方程组，得 6 ∴∠AOH+∠BOQ=90°. y■ 3 又，∠AOH+∠OAH=90°， 解得( =-2'或=3, 所以点B的坐 y=-2. ∴∠OAH=∠BOQ. y=-3x+2. y=4 又，∠OHA=∠BQO=90°， 标为(3，一2). ∴△BQO△OHA, (2)观察函数图象可知， 照-器明岩 Q0=3. 当、3 ≤x<0或x≥3时，反比例函数的图象在一次函数图 :点B位于第二象限， 象的上方，即兰>-言x+2,所以不等式> 3x+2的 x ∴点B的坐标为(-3，W3) :点B在反比例函数-兰的图象上， 取值范围是-是<<0波≥3. (3)令直线AB与y轴的交点为M,如 六6：=-3×5=-33，y4=-33 图所示. 将x=0代入一次函数表达式，得 1b3 y=2, 5.C6.D7.2a-a8.48 所以点M坐标为(0,2)，又点C在 9解：1)当n=-10时y:=-10, 1 y轴上，则Saa-XCMXIz, 六5a=号×-10=5.A在y-的图象上， Sa=×CMXIz.,I所以号× 1 六S△M0p-zX8-4,∴S6aB-S△p+SaA0p-9. CM×(受+3)=18，解得CM=8. 又点M坐标为(0,2)， 2)设P(m,0,则A(m,是)，B(m日）AB- 所以点C坐标为(0，一6)或(0,10). 8-n.①当m>0时，AB=8-=AD,DP=AD+ 【变式训练2】D m雅 【例3】思路分析：(1)先根据勾股定理求出OD=3,AD=4, AP-81+8-16n,D(m,16n）设z=my 得出点A(3,4),进而求出反比例函数表达式，再求出，点B坐 标，最后用待定系数法求出直线AB的函数表达式， (2)设出点P坐标，进而表示出OP,AP,OA,利用等腰三角 16二”，则=16-0,3y=16二，即点D所形成的函数图 形的两边相等建立方程求解即可得出结论， m x 解：(1)AD⊥x轴，.∠ADO=90,在Rt△AOD中，AO■ 象的表达式为y-5一 5,OD=三AD,由勾股定理，得AD=4,OD=3,∴A(3,4), ②当m<0时，AB=”二8，同理可得y=16一”.综上所述，点 m 六：=3X4=12y=是.又点B在反比例两数的图象上， D所形成的函数图象的表达式为y= 16-n 12 六m=-6=-2心B(-6,-2). 本章综合提升 点A(3,4),B(-6,一2)在直线AB上， 2 【本章知识归纳】 3k1+b=4, {-6k1+b=-2. y- b=2. 原点一、三二、四减小增大 2 【思想方法归纳】 ·AB直线的函数表达式为y=3工十2. 【例1】思路分析：先判断出点A,C在第一象限，点B在第三 (2)设点P(0,m),:A(3,4),O(0,0),OA=5, 象限，再根据反比例函数的图象判断。 ∴.OP=m,AP=√9+(m-4) B :△AOP是等腰三角形，∴.①当OA=OP时，|m|=5, 【变式训练1】y:<y:<y .m=士5，.P(0,5)或(0,5) 【例2】思路分析：(1)将点A坐标代入一次函数表达式可求 ②当OA=AP时，.5=√9+(m-4)F, 出，点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数表达式即可解决 m-0(舍)或m=8,∴.P(0,8). 问题， ③当OP=AP时，∴|m=√9+(m-4), (2)利用数形结合的思想即可解决问题。 (3)将△ABC的面积转化为两个三角形的面积之和即可， m-空P(0,智)：综上所述，当点P坐标为0,8》， 解：)将点A坐标代入一次函数表达式，得-亭c+2=4,解 （0,,0,-5)或(0，写）)时，△A0P是等展三角形。 5 【变式训练3】解：1)当x=2时y=子×2=子点A坐标 3、 解得a=10, 当加热烧水时，函数关系式为y=10x十20(0≤x≤8)： 为(） 当停止加热时，y与x的函数关系式为y=100(8<x≤9)：当 断电后函数关系式为y=900(9<工≤45). :点A在反比例函数y=兰>0)的图象上=2X -8 (2)①：k=12,反比例函数表达式为y=2,联立方程组。 （把y=0代人y0四得x-号 4 -g. 因此从水烧开到池素需要等特行-8-早（分钟）。 得 解得任三或=一 【通模拟】 3 y1=3 y2=-3. = 1.D2.C .点A(4,3),点B(-4,-3),.AO=B0=5. 3解：(1)将点A的坐标代人一次函数表达式，得3= 24+1, 又.∠ACB=90°， 解得a=4,则点A(4,3), .C0=A0=B0=5,∴点C(0,5), △ACB的面积=号×5X4+2×5X4=20, 将点A的坐标代人反比例函数表达式，得3= 4,解得 k=12. ②设点D坐标为(x,y), 若AB为对角线，四边形ACBD是平行四边形，则AB与CD (2)把y=4代人y=显，得工=3， 互相平分， 由图可知y2<4时，x>3, :52=-3+3,-4+4_x十0， 由图可知y1<y,时，x<4, 2 22 2x=0,y=-5, y1<y:<4时，3<x<4. .点D(0,-5). (3),点A(4,3),D点的纵坐标是0，AC=AD, 若AC为对角线，四边形ABCD是平行四边形， 则AC与BD互相平分 ∴点C的飘坐标是3X2-0=6,把y=6代人y=是，得x 4牙-二45+3二3 2,.C(2,6). 22 2 x=8,y=11,∴点D(8,11). 若BC为对角线，四边形ABDC是平行四边形， 则BC与AD互相平分， -4+0+4,-3+53+y 2 22 21 x=-8,y=-1,点D(-8,-1). 综上所述，点D坐标为(0，-5)或(8,11)或(-8，-1). 如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D,交AB于点E, 【例)思路分折：1)根据50=是可得9-150，中得 1 当x=2时，y=2×2+1=2,∴E(2,2). Ar=150 C(2,6),.CE=6-2=4, (2)由25℃的水加热到100℃，得75-150 即可解得答案 【通中考】 解：1)根据题意，△y= 4.D cm 5.解：(1)：一次函数y1=一2x十2的图象与y轴，工轴分别交 :将3kg温度为25℃的水加热到75℃， 于点C,点D,点C(0,2),点D(1,0). ∴.m=3kg,△=75-25=50℃， ,OE=4,∴.OC=CE=2.∠AEC=∠DOC=90°， 9,.9=150△y=150 ∠ACE=∠DCO,.△AEC≌△DOC(ASA),.AE=OD= 50=eX3心c 1点A(-1,4).“点A在反比例函数y=冬的图象上， :9的值为150，△关于m的反比例函数的表达式为 .k=-1×4■-4， 4r=150 反比例函数的表达式为y,=- x (2)25℃的水加热到100℃， (y=-2x+2, 六4=100-25=75（℃），75=150 (2)方程组 解得m=2,∴现有的 y=- 4 木柴可将2千克温度为25℃的水加热到100℃. 的解为21=-1，口2=2， 【变式训练】锅：山停止如热时，设y一左由题意，得50- ly1-4,ye■-2. 点A(-1,4),∴点B(2,-2). 条解得去=90y-号 下00.当y=100时，解得x=9…C点 在第二象限内，当y1<y:时，江的取值范围为-1<x<0. (3)由于直线PA⊥AB,可设直线PA的函数表达式为y■ 坐标为(9,100)， .B点坐标为(8,100). 2x+6, 当加热烧水时，设y=ax+20, 由题意，得100=8a十20， 把点A的坐标(-1，)代人，得4-一号+6，解得6-号 6 :直线PA的函数表达式为y■乞x十2， 1 9 如图所示，延长CA至点D,使得DA=AB, .AD=AB=/5,,∠D=∠ABD, 当y=0时，x=一9，点P的坐标为（一9,0）. ·.∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+5, 第二章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 ∠Ac-m0-86-5-2 1 (2)如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点E,连接BE. 第1课时正切 1.D2.C3.20 4.解：过点A作AH⊥BC于点H,如图所示. E e 则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE :在R△ABC中，∠C=90,AC=3,amA=号 1 SAc-27 cm'X9XAH-27, ,BC=1,AB▣√10. 设AE=x,则EC=3-x, ..AH=6 cm.'AB=10 cm, 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1, ∴.BH=√AB-AH=√10-6=8(cm), AH63 解得-号目AE=BE-号BC-合 ∴anB=Bi-8-4 ÷tan2A=tan∠BEC=CE=4 BC 3 5.B6.D7.1:2 8.解：分别过点A,D作AM⊥BC,DN⊥BC,垂足分别为点 第2课时正弦和余弦 M,N,如图所示. 6方 1.B2.A3.124.A5.B 6.C解析：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当 13 1:2.523 AB为外边，∠C=90°时， B M N :AC=8,BC=6,.AB=√AC+BC=√8+6=10. 根据题意，可知AM=DN=23米，MN=AD=6米， AC 8 4 在△ABM中，：行BM=的米 “cosA=AB-i0-5 ②当AC为斜边，∠B=90时， AB=AM+BM 由勾股定理，得AB=√AC-BC=√8-6=2√7， ∴.AB=23十6972.7（米）， AB27√7 在Rt△DNC中，DN CN=1t2.5, cosA-AC-8-4 .CN=2.5DN=57.5米， .BC=BM+MN+CN=132.5米， 蜡上所建@A的值为音我平 4 答：背水坡AB的长度约为72.7米，坝底BC的长度约为 132.5米. 7>8A9A10,A1号 9.B10.D11.10 12.解：∠C=90°，CD=3,AD=BD=5, 12.解：(1)楼梯的坡度为1， ∴BC=√BD-CD=√5-3=4，AC=AD+DC ,'.∠ABC=45°， 5十3=8. 号AB=9m ·AC= mA-C-5-在R△MC中，∠C-90, BC 答：每台的高AC为m ∴AB=√AC+BC=√8+4=45. AC=8=25, (②：新楼梯坡度为号，AC-3 1 、六cosA=g=后=号，sinA-AB45=5. 2m, 13.D CD=3√反m,由勾股定理，得 AD-vac叶CD3. 15.解：在R△BCC中，n∠0BC-8%-号设0C=3,则 答A0的长度为3亚m B'C=5x, 13.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 由勾股定理，得OB'=√CB-OC=4x, ∴AB=√AC+BC=V5, 根据矩形的性质可知BC=B'C=OA=5x,,AB'=x. B ,将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上， .∠B=∠CB'E=90°， ∴∠OB'C+∠AB'E=90.又：∠AB'E+∠AEB'=90 .∠OB'C=∠AEB'. :∠COB'=∠EAB'=90, .△B'OCc∽△EAB',