专题2 反比例函数中k的几何意义-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四学制)

专题二反比例函数中k的几何意义（答案P4) 类型1目利用k的值求图形面积 A,交C2于点B,已知△POB的面积为4，则k 的值( 1,几何直观如图所示，A,B是函数y=2的图 象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴， AC∥y轴，△ABC的面积记为S,则 S= 1 A.16 B.14 C.12 D.10 4.如图所示，已知AO⊥BO,AB⊥y轴，O为坐 标原点，点A的坐标为(n,3),反比例函数 y的图象的一支过点A,反比例函数， 2.几何直观如图所示，点A为函数y= 18 的图象的一支过点B,过点A作AH上2 (x>0)图象上一点，连接OA,交函数y= 于点H,△AOH的面积为3 (x>0)的图象于点B,点C是x轴上一点，且 AO=AC,求△ABC的面积. (1)求k,与n的值 (2)求反比例函数y的表达式. 翻类型2根据图形面积确定k的值 3.(2023·泰安新泰月考)如图所示，两个反比例 函数y兰和y=在第一象限内的图象分别 是C:和Cg,设点P在C1上，PA⊥x轴于点 一优学幕课阴型 15 类型3瞄k的几何意义的综合运用 点，将△OAD沿OD所在直线折叠后得到 5.(2023·烟台期末)如图所示，A,B是函数y= △OAD.若反比例函数y=(k≠0)的图象 7 上的图象上关于原点O对称的任意两点，AC 经过点A',则k的值为 平行于y轴，交x轴于点C,BD平行于y轴， ,反比例两数-兰-a<0)的图象如图 交x轴于点D,设四边形ADBC面积为S, 所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点， 则() 过点P作AB∥y轴，分别与y1·y2交于A,B A.S=1 B.1<S<2 两点 C.S=2 D.S>2 (1)当n=-10时，求S△0As: (2)延长BA到点D,使得DA=AB,求在点P 整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表 达式.（用含有n的代数式表示）. 第5题图 第6题图 6.如图所示，点A,B在反比例函数y=（x>O)的 图象上，点A的横坐标是2，AC⊥y轴于点C, BD⊥x轴于点D,AC,BD相交于点E.如果 1 SE形ODr= k,那么点B的纵坐标是( 2 3 3 D. 7.如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原 点y=是与：=2(a>6>0)在第一象限的 b 图象分别为曲线C,,C2,点P为曲线C,上的 任意一点，过点P作y轴的垂线交C于点A, 作x轴的垂线交C:于点B,则阴影部分的面 积S△AOB .(结果用a,b表示) 第7题图 第8题图 8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形 ABCO的边OC,OA分别在x轴和y轴上， OA=10,点D是边AB上靠近点A的三等分 16 九年级·上用数学色教极7.D8B9 U。的增大而增大， 10,解：1把A3,5)的坐标代人：-2(m≠0， U,取最大食6的时候m=一0+135=15（千完》。 8.解：(1)：点A(0,8)在直线y=-2x+b上，∴.-2×0+b= 可得n=3×5=15, 8,b=8, 一反比例函数的表达式为y,-点 ∴直线AB的表达式为y=一2r十8. 将B(2,a)的坐标代入直线AB的函数表达式y=一2x+8 把B(a,一3)的坐标代人，=1 中，得-2×2+8=a,.a=4, x ,可得a=一5 .B(2,4). ∴.B(-5,-3) 把A(3,5),B(一5，一3》的坐标代入y1=kx十b(k≠0)， 将B(2,4)的坐标代人反比例函数表达式y=冬（x>0)中， 可得 得k=xy=2×4=8. 他。”-将号你 (2)①由(1)知，B(2,4),k=8, ∴.一次函数的表达式为y1=x十2. 六反比例函数表达式为y=8 (2)当y1>y时，-5<x<0或x>3. 当m=3时，将线段AB向右平移3个单位，得到对应线 (3)一次函数的表达式为y1=x十2，令x=0,则y=2,.一 段CD, 次函数的图象与y轴的交点为P(0,2),此时，PB一PC= .D(2+3,4),即D(5,4). BC最大，P即为所求， 令y=0,则x=-2,∴C(-2,0) :DF上r轴于点R,交反比例函数y=是的图象于点E, .BC=√(-5+2)+3=32. E(6,g) 11.解：(1)前三天的函数图象是线段，设函数表达式为y= kr+b: ②如图所示，：将线段AB向右平 把A(0,10),B(3,4)的坐标代人函数表达式，得 移m个单位(m>0),得到对应线 b=10, 解得=一2 段CD, 3k+b=4 1b=10, ..CD=AB.AC=BD=.A(0.8). 所以当0≤x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达 B(2,4),.C(m,8),D(m+2,4), 式为y=-2x+10. 当BC=CD时，BC=AB, ∴点B在线段AC的垂直平分线上， (2)当x≥3时，设y= -,把B(3,4)的坐标代入函数表达 .m=2×2=4. 式，得4一令，所以=12。 当BC=BD时，B(2,4),C(m,8), .BC=√(m-2)+(8-4)7, 当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 ∴.√/(m-2)+(8-4)F=m.m=5, 12 y=. 当BD=AB=CD时，m=AB=√2十F=25. 12 综上所述，△BCD是等腰三角形，满足条件的m的值为4或 (3)能.理由：当x=15时，y=5=0.8, 5或25. 因为0.8<1， 专题二 反比例函数中k的几何意义 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超 过最高允许的L.0mgL 1.4 专题一反比例函数与 2解：设点A的坐标为(，)点B的坐标为(6，号)“点C 一次函数的综合应用 是x轴上一点，且AO=AC,·点C的坐标是(2a,0). 1.B2.C3.A+.B5.D6.D 7.解：(1)将(0.240)，(120,0)代入R,=km+b,得 设过点00.0A(,碧）的直线的函数表达式为y= 1b=240 -0新用信2 120k+b=0. =ak,解得k一 18 (2)由题意，得可变电阻两端的电压■电源电压一电表电压， 18 即可变电阻电压=8一U 又点B(6,号)在y。的图象上： U :1=号，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，R一了 化简得R-R(侵-小R-0R-驶0-n U。 六Saw=52x-5aum=18-7×2a×2-18-6=12, 240一30， （3)将R,=-2m+240(0≤m≤120)代人R,= 3.A 得-2m+240= 240 4解：：△A0H的面积为，=尽。 -30,化简， :A(n5),且AH⊥x轴， 得m=-+135(0≤m≤120 .AH=3.OH=n. :m20135中二120<0，且0<<6m随 又？△AOH的面积为， 3 得=一是，放点A坐标为（一三4）将点A坐标代人反比 解得n=1. (2)如图所示，过点B作BQ⊥x轴于点Q 园函数表达式，得k=一。×4=一6 AB⊥y轴 所以反比例函数表达式为y一 ∴.BQ=AH=√3. 将一次函数表达式和反比例函数表达式联立方程组，得 ,AO⊥B0. ∴.∠AOH+∠BOQ=90. 6 ys- 3 又，∠AOH十∠0AH=90. 解得 4 =一‘或=3， 3=-2. 所以点B的坐 .∠OAH=∠BOQ. =-3r+2. y=4 又，∠OHA=∠BQ0=90°， 标为(3，一2). .△BQ)p△OHA, (2)观察函数图象可知 盟器 200=3. 当3 ≤x<0或x≥3时，反比例函数的图象在一次函数图 :点B位于第二象限， 象的上方，即>≥-言十2，所以不等式专 3x+2的 ,点B的坐标为（一3，√3） :点B在反比例雨数y,-的图象上. 取值花開是-是<<0度≥8， (3)令直线AB与y轴的交点为M,如 :=-3x5=-33:=-33 图所示. 将x=0代入一次函数表达式，得 y=2, 5.C6.D7.2a-2a8.48 所以点M坐标为(0,2)，又点C在 9,解：0)当n=-10时y,=-10, y箱上，则Sw=号×CW×, 六5amm=号X-10=5.:A在y=8的图象上， Saw=号×CMX,所以× 1 SAMp=zX81=4,S△m=S△wP十SaMp=月. CM×(侵+3)-18，解特CM=8. 又点M坐标为(0,2)， 2)设P(m,0,则A(m,品)，B(m)AB 所以点C坐标为(0，一6)或(0,10). 【变式调练2】D 8-0当m>0时，AB-8-ADDP-AD+ 【例3】思路分析：(1)先根据勾段定理求出OD=3,AD=4, AP=8+8=16D(a,5m）设x=my 得出点A(3,4),进而求出反比例品数表达式，再求出点B坐 标，最后用待定系数法求出直线AB的函数表达式， (2)设出点P坐标，进而表示出OP,AP,OA,利用等腰三角 16二”，则y=16一y=16二”，即点D所形成的函数图 形的两边相等建立方程求解即可得出结论. 用 象的表达式为y15一 解：(1)：AD⊥x轴，.∠ADO=90°，在R1△AOD中.AO= 5.0D=AD,由勾股定理，得AD=4,0D=3A(3, ②当m<0时AB=”二8，同理可得y=16一”，综上所述，点 六，=3X生=12y=是义点B在反比例函数的图象上一 D所形成的函数图象的表达式为y=16一” n=。=-2,.B(-6,-2). 本章综合提升 点A(3,4),B(-6,一2)在直线AB上， 2 【本章知识归纳】 3k:+b=4, 、一6k,十b=-2·8 y=7 原点一、三二、四减小增大 【思想方法归纳】 AB直线的函数表达式为y-号十2 【例1】思路分析：先判断出点A,C在第一象限，点B在第三 (2)设点P(0,m),,A(3,4),O(0,0),OA=5, 象限，再根据反比例函数的图象判断， .OP=m,AP=9十(-4) B ,△A()P是等腰三角形，，①当()A=OP时，|m=5, 【变式训练1】y:<y,<y1 ∴.m=土5，.P(0,5)或(0，一5). 【例2】思路分析：(1)将点A坐标代入一次函数表达式可求 ②当OA=AP时，.5=/9+(m一4)， 出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数表达式即可解决 .m=0(舍)或m=8,.P(0,8). 问题， ③当OP=AP时，.m=√9十(m一4)产， (2)利用数形结合的思想即可解决问题 (3)将△ABC的面积转化为两个三角形的面积之和即可 号P(6.)综上所述，当点P坐标为(0,8 解：1)将点Λ坐标代人一次函数表达式，得一音十2=4，解 （05.0,-5)或6.号)时，△A0P是等腰三角形，