24.1.4 第1课时圆周角定理及其推论-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

∴.∠OEF=∠OCD, 24.1.4圆周角 .CD∥AB, 第1课时圆周角定理及其推论 ,'.∠AEC=∠OCD 1.A2.C3.C4.B5.D6.D .∠ACO=∠AEC,故AC=AE. 7.①②③ 同理，BF=BD 8.解：(1)证明：，AB是⊙O的直径， 又AC=CD=BD, ∴CD=AE=BF≠EF,故选项A错误，符合题意， 弦CD⊥AB,∴.BC=BD.∴.∠A=∠BCD 10.①②③解析：连接AM,BN,如图所示. (2)连接OC. ,E是OA的中点，F是OB ,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,CD=6, 的中点，ME⊥AB于点 ∴.∠AEC=90°，CE=ED=3. 直径AB=10,∴.AO=C0=OB=5. E,NF⊥AB于点F, 在Rt△COE中，，OC=5,CE=3, ..MA=MO,NB=NO, ..AO=OM=AM,OB= ∴.0E=52-32=4, ON=BN, ∴.AE=AO+OE=5+4=9. .△AOM,△BON都是等边三角形， 在Rt△ACE中，AC=√92+3=310. .∠AOM=∠BON=60°， 9.40°或140°10.B .∠M0N=180°-60°-60°=60°， 11.B解析：如图所示：连接OB, ·∠AOM=∠MON=∠BON=60°， 分两种情况讨论： ∴AM=MN=NB,故①正确 ①当点C1在弦AB所对的优 由30°角的性质及勾股定理可得 孤上时 OM,FN-ON.OM-ON. OA=OB,OD⊥AB, EM-3 .∠AOD=∠BOD=60°， 2 ∴.∠AOB=120°， .EM=NF,故②正确， 1 1 AE-20A,BF-20B,OA-OB, ∴∠ACB=2∠AOB=60. ②当点C:在弦AB所对的劣 ∴.AE=BF,故③正确. 孤上时： :ME=√3AE,故④错误 ∠A0B=120°， 11.解：(1)△AOC是等边三角形.理由如下： ∴AC:B所对的圆心角为 :AC=CD,∴.∠AOC=∠COD=60°. 360°-120°=240° :OA=OC,六△AQC是等边三角形. ,∠AC2B所对的孤是AC1B, (2)证明：，AC=CD, 1 ∠AC,B=2×240°=120： ∴∠AOC=∠COD=2∠AOD, 综上所述，∠ACB的度数为60°或120°， 又OD=OB,∴∠ODB=∠B. ,,甲、丙答案合在一起才完整。 :∠AOD=∠ODB+∠B=2∠B, 12.10.513.(0,23) ∠B=g∠A0D, 14.解：I)证明：∠ACB=∠AOB,∠BAC= ∴.∠AOC=∠B, 1 .OC∥BD ∠BOC,∠ACB=2∠BAC, 12.解：(1)连接AD,BE. ..∠AOB=2∠BOC .AB=BC=CD=DE, (2)如图所示，过点O作半径OD⊥AB于点E,连 ∴.AB=BC=CD=DE, 接DB,AE=BE .BCDE=ABCD, :∠A0B=2∠B0C,∠D0B=号∠AOB, ..BE=AD. 又，在△ABE和△EDA中， ∴.∠DOB=∠BOC.∴.BD=BC DE=AB,AE为公共边， AB=4,BC=√5， ,∴.△ABE≌△EDA(SSS), ∴.BE=2,DB=5, .∠BAE=∠DEA. 在Rt△BDE中，∠DEB=90°， 又，AB∥ED, ∴.DE=√BD-BE=1. ∴.∠BAE+∠DEA=180°， 在Rt△BOE中，∠OEB=90°， ∴.∠BAE=∠DEA=90 .OB2=(OB-1)+22, (2)①CH平分∠BCD: ②CH∥BA: 解得0B-号，即⊙0的半径是 ③CHDE: ①CH⊥AE: 15.解：(1)，A(0,2),B(2√3,0)， ⑤AH=EH: .OA=2,OB=23. ⑥AG=EG等. 在Rt△AOB中，AB=√OA2+OB= (写出其中4条即可) √22+(23)2=4. 如图①所示，连接OC. 25 ,∠AOB=90°， ∴∠ADC=∠ABC. .AB为⊙C的直径，C为 (1),∠ADC=∠ABC, AB的中点. ∠EDC=∠ABC, 、 .AC=OC= AB=2= ∴.∠EDC=∠ADC, .∠ADC=90°， OA. .∠A=90°-42°=48 ∴.△AOC是等边三角形 (2)连接EF,设∠1，∠2，如 .∠BAO=60°. 图所示. ∴.∠AB0=30° ,四边形ABCD为⊙O的 (2)存在. 内接四边形， 如图②所示，作OB的垂直平分线MN,交⊙C于 .∠ECD=∠A. 点M,N,交OB于点D,连接OM,BM,ON,BN. :∠ECD=∠1+∠2， 由垂径定理得MN必过点C, .∠A=∠1+∠2. 即MN是⊙C的直径， ,∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°， ,MN垂直平分OB, ∴.2∠A+∠AEB+∠AFD=180°， ∴.△OBM,△OBN都是等腰 三角形. 即∠A=90-a+m. .M,N点均符合P点的 13.解：(1)△ABC是等边三角形.理由如下： 要求， 在⊙O中，，∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周 ,MN是⊙C的直径， ∴.∠MON=90°. 角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角， ,∠BMO=∠BAO=60 .∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC. ∴.△OBM是等边三角形. 又，∠APC=∠CPB=60°， ∠ABC=∠BAC=60°， ,.∠BOM=60°. ∴.∠BON=∠MON-∠BOM=90°-60°=30°. ∴△ABC为等边三角形. 故存在符合条件的P点，∠BOP的度数为60° (2)当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积 或30° 最大 第2课时圆内接四边形的性质 如图所示，过点P作PE⊥AB,垂足为E.过点C 1.D2.B3.B4.D5.ABCD6.40 作CF⊥AB,垂足为F. 7.解：(1)证明：连接AC,如图所示. 1 ,S△APB= BA平分∠DBE, zAB·PE,S△Ac= AB·CF, ,'.∠ABE=∠ABD :∠ABE=∠CDA,∠ABD=∠ACD, ,∴.S四边卷APBC二 2AB·(PE+ ·∠ACD=∠CDA, CF), ..AD=AC. 当点P为AB的中点时， PE+CF=PC,PC为⊙O的 (2),AD=AC, 直径， .AC=AD=6. 此时四边形APBC的面积 ,AE⊥CB, 、0 最大 ∴∠AEC=90°， 又，⊙0的半径为1， ∴.CE=√AC-AE= ∴.其内接正三角形的边长AB=√3， √62-4=25. 8.D9.D ·S监形0=2X2XV尽=V3. 10.D解析：作直径AD,连接AB,BD,在AB上取 阶段检测五（24.1) 点E,连接AE,BE,如图所示. 1.D2.A3.D4.B5.B6.D7.A8.1 :AD为直径， .∠ABD=90 9.75°10.411.2 ,四边形ACBD为⊙O的内 12.证明：(1)连接OC,OF.,AC=BF, 接四边形， .∠COA=∠BOF, .∠D+∠ACB=180°， .∠D=180°-140°=40°， .∠COB=∠FOA.∴.BEC=ADF ∴.∠BAD=90°-40°=50 (2).∠COA=∠BOF,OC=OF=OA=OB, :∠AEB和∠ACB都是 .∠A=∠OCA=∠BFO=∠B ·CDEF,.∠AMC=∠ANE ADB所对的圆周角， 又∠BNF=∠ANE, ∴.∠AEB=∠ACB=140 .∠AMC=∠BNF. 综上所述，仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有 在△AMC和△BNF中， ∠AEB、∠ABD、∠ADB、∠BAD,它们的度数分 ∠A=∠B, 别为140°，90°，40°，50°. ∠AMC=∠BNF, 11.50 AC=BF, 12.解：证明：，∠E=∠F,∠DCE=∠BCF, .△AMC≌△BNF(AAS) ∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠BCF+∠F, ..AM=BN. 2624.1.4圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论（答案P25) 通基l》222929392992239929 知识鼠1圆周角的概念 1.下列各图中的∠BAC为圆周角的是( 第5题图 第6题图 6.(2023·石家庄期中)如图所示将一个直角三 角形的斜边和量角器的直径所在的边重合放 B 置，点D所在位置在量角器外侧的读数为 知识点2圆周角定理 110°，∠ACB=90°，连接DC交AB于点E,则 2.(2023·沧州南皮模拟)如图所示，E,F,G为 ∠BCD是() 圆上的三点，∠FEG=50°，P点可能是圆心的 A.70 B.55° 是( C.40 D.35° 7.推理能力》如图所示，AB是⊙O的直径， AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点 02 00 1409 E,∠BAC=45°.给出以下结论：①∠EBC= C D 22.5°：②BD=DC:③BD=DE:④AE=BC. 3.数材P89习题24.1T5变式》如图所示，AB是 其中正确结论的序号是 ⊙O的直径，C是⊙O上一点(A,B除外)， ∠AOD=130°，则∠C的度数是() A.50 B.60 C.25 D.30 8.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点E,连接AC,BC. (1)求证：∠A=∠BCD 第3题图 第4题图 (2)若AB=10,CD=6,求AC的长. 4.如图所示，点A,B,C在⊙O上，BC=6, ∠BAC=30°，则⊙O的半径为() A.3 B.6 C.63 D.12 知识盒3圆周角定理的推论 5.如图所示，A,B,C,D是⊙O上的四个点， ∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为() A.84° B.60 C.36 D.24 一九年级上带数学财河北有司 92 稻国忽略弦所对的圆周角不唯一而致错 13.如图所示，⊙C经过原点，并与 9.如图所示，弦AB所对的圆心角为80°，则弦 两坐标轴分别交于A,D两 AB所对的圆周角的度数为 点，已知∠OBA=30°，点A的 坐标为(2,0)，则点D的坐标 为 14.教材P88练习T3变式)如图所示，OA,OB,OC 都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC. 第9题图 第10题图 (1)求证：∠AOB=2∠BOC. (2)若AB=4,BC=5,求⊙O的半径. 通能力> 10.如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径， ∠A=45°，∠ODC=12°，则∠DBC的度数 为() A.80° B.102 C.120 D.135 11.(2023·保定阜平期中)有一题目：“如图所 示，已知AB是⊙O的弦，D在⊙O上，且 OD⊥AB,C是⊙O上一动点（不与A,B重 合)，若∠AOD=60°，求∠ACB的度数.”甲 答：∠ACB的度数为60°；乙答：∠ACB的度 数为30°：丙答：∠ACB的度数为120°.则正 15.如图所示，⊙C经过原点且与两坐标轴分别 确的是() A.只有甲答得对 交于点A(0,2)和点B(23,0). B.甲、丙答案合在一起才完整 (1)求线段AB的长及∠ABO的大小. C.甲、乙答案合在一起才完整 (2)在⊙C上是否存在一点P,使得△POB是 D.三人答案合在一起才完整 等腰三角形？若存在，求∠BOP的度数；若 不存在，请说明理由 D 第11题图 第12题图 12.如图所示，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E,F分别是 AC,BC的中点，直线EF与⊙O交于G,H 两点，若⊙O的半径为7，则GE十FH的最 大值为 93 优学海课阴通