22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

描点，连线，如图所示 3=x2-4x+3 .方案一内部支架材料长度为AB十NP十CD 2 9+9米) 42 32小 方案二：OB'=B'C'=CM,OM=12米， ∴.OB'=4米，OC=8米，EF=BC'=4米. 当x=4时=-（4-6)+9=8，即Ag=8米。 由图象可得它的顶点坐标为(2，一1). (2)①x<1或x>3. 1 ②-1≤y<0. 当x=8时y=-(8-6)'+9=8,即CD'=8米， 7.B8.-49.D10.B11.5或-212.D 13.>14.4 方案二内部支架材料长度为A'B'+EF+CD'= 15.解：(1)，抛物线L1:y=2x2一8x十4， 8+4+8=20(米). .y=2(x-2)2-4, :气20方案二的内部支架节省材料。 .顶点坐标为(2，一4)，对称轴为直线x=2. 设x=0,则y=4. 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 .C(0,4), 第1课时二次函数y=ax2十bx十c ∴·点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐 与y=a(x一h)2+k之间的关系 标为(4,4)， ∴.L:的顶点坐标为(2，一4)，点D的坐标为 1.B2.D3.B4.B5.-3 (4,4), 6.(1)y=- 2-1y-号②0.》 (2)①设抛物线L,的解析式为y=a(x一h)十 k(a≠0). (3)=1大 (4)<1 :如图所示，L,的顶点D(4,4),且过点(2，一4)， ∴.a(2-4)2+4=-4, 3 7.D8.10 ∴a=-2, 1T4.4 9解：(1D:二次函数y=号x-2x+ ∴L,的解析式为 2 y=-2(.x-4)2+4. 1 即y=-2.x2+16x-28. .由图象可知当2≤x≤4 “该抛物线的顶点坐标是2、-)》 时，Ly与L:中y同时随x 增大而增大， Yh2-4)74 1 ②由①中的图象可得L,和L,组成的图形G如图 20:二次函数义222x+ 所示，则G上的整点个数在2≤x≤4之间， ∴.当y=0时，x1=1,x2=3: .整点个数有4个分别为：(2，一4)，(3，一2) (3,2),(4,4). 当=0时y=:当x=4时y= 3 ,y=kx是过原点的直线，且将G上的整点平分， 21 直线y=kx在(3，一2)，(3,2)之间，把坐标代 画出该函数的图象如图所示 2 入，得一2=3次，则友=一3 .2 2=3k,则k=3 17:1 54320小245元 k的取值范围为一导<导 -k- -+--4-- 专题三二次函数系数与图象形状和 对称轴的关系（含课程标准新增内容） .i. 1.D2.C3.C4.D5.B6.B7.D8.B9.B 10.C11.B12.C13.B14.A (3)当x>2时，y随x的增大而增大：当x<2时， y随x的增大而减小. 第3课时用待定系数法求二次函数的解析式 第2课时二次函数y=ar2+br+ 1.y=x2-4x+3 2.解：(1)将(-1,0)和(0，-3)代入y=x2+bz十c, 的图象和性质 /b4ac-b2、 4ac-b 得一6士=0解得二一 1.直线x二-名】 c=-3, c=-3. 2a'4a ∴.抛物线的函数解析式为y=x一2x一3. 2.直线x=-7(-7,32) ,y=x2-2.x-3=(x-1)2-4, 3.B4.A5.B .抛物线的顶点坐标为(1，一4). 6.解：(1)列表如下： (2):当x=0时，y=-3: x…0123… 当x=3时，y=9-6-3=0. y…30-10 ∴.当0<x<3时，y的取值范围为一4≤y<0. 3.C4.C5.y=x2-3.x十26.D 10 7.解：，抛物线与x轴交于点A(一3,0)，对称轴是直 线x=1, 新抛物线1'的函数解析式为y= 2x+2x+ ∴.抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(5,0) 1 2x-2)+5 设抛物线的函数解析式为y=a(x一5)·(x十3). 2 , 将(2.5)代入，得5=a·(2-5)×(2+3), 1 “新抛物线1的顶点坐标为(2，)】 解得a= 3 (3)设抛物线的函数解析式为y=a(x一1)， 抛物线的函数解析式为y=一3(x一5)·（任十 1 由)，得当n=2时，抛物线1过点A. 1 8),即y3x42】 3x+5. 当抛物线（过点B(2,一1）时， -1=a(2-1)2, 8.y=2x2-4x-6或y=-2.x2+4x十6 解得a=-1, 9c10y=-6+8x+4 此时抛物线【的函数解析式为y=一(x一1)2= -x2+2x-1. 1L.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一1)(x十3)， 当x=0时，y=一1 把(0，-3)代人，得a×(一1)×3=一3， .此时点P的坐标为(0，一1) 解得a=1, .此时n=一1， .这个二次函数的解析式为y=(x一1)(x十3)= x2+2x-3. 当-1长m<分且n≠0时，抛物线1经过△ABC (2)A(1,0),B(-3,0), 区域（含边界）. .AB=4. 阶段检测二（22.1) 设P(m,n), 1.D2.C3.D4.B5.C6.D7.C :△ABP的面积为6， 8.向下x=-2(-2,0)9.010.0 ∴2AB,n=6, 11.y2<y1<y: 12.解：(1)二次函数y=ax的图象随着a的变化，开 解得n=±3. 口大小和开口方向都会变化，但是对称轴，顶点坐 当n=3时，m2+2m一3=3， 标不会改变；二次函数y=一2x2十c的图象随着( 解得m=-1十√7或一1-√7， 的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴 ∴.P(-1+√7,3)或P(-1-√7,3)： 也没有改变，但是顶点坐标会发生改变， 当n=-3时，m2+2m-3=-3, (2)士2-2(3)pm<n 解得n=0或m=一2， 13.解：(1)点(0,1)在抛物线y=a.x(x-6)+1(a≠0) .P(0,-3)或P(-2,-3) 上.理由如下： 故点P的坐标为（一1十7,3）或（一1一7,3）或 当x=0时，y=a×0×(0-6)+1=1, ∴.点(0,1)在抛物线y=a.x(x-6)十1(a≠0)上. (0,一3)或（一2，-3）. 12.解：(1)设抛物线的函数解析式为y=a(.x一1)， (2)y=a.x(x-6)+1=ax-6a.x+1=a(x 3)+1一9a,点A到x轴的距离为5， 把(3,2)代人，得2=a(3-1), ∴.当a>0时，1-9a=-5, 解得a=2' 解得口=子 六此时抛物线1的函数解析式为y=2(x一1)2 当a<0时，1-9a=5, 2-x+2 解得。=一吉 当x=0时，y=2 综上所述口的值为号或-号 14.解：(1)直线x=1 ∴点P的坐标为(02 (2)把(3，一1)代入抛物线，得一1=9a一6a+2, 解得a=一1， (2),新抛物线'与抛物线（的形状完全相同，只 .抛物线的解析式为y=一x+2x十2=一(x 是开口方向相反， 1)2十3. 1 ·可设新抛物线'的函数解析式为y=一2x十 点P(p,4)不可能在抛物线上.理由： ,抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,3)， bxe ∴y的最大值为3. ,新抛物线经过点A和第(1)问中的点P, ∴.点P不在抛物线上 (3):将抛物线y=a.x一2ax十2先向右平移 7X32+36+c=2 m个单位长度再向下平移个单位长度后，与抛物 1 =2' 线y=(x-4)-1重合， ,a=1, b=2, .抛物线的解析式为y=x2-2x十2=(x-1)+1. 解得 ,抛物线先向右平移m个单位长度再向下平移n c=2 个单位长度后与抛物线y=(x一4)一1重合， 1122.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+bx十c与y=a(x一h)P+k之间的关系（答案P10) 通基础239932929299993 通能力》% 知识点D二次函数y=a.x2+bx十e与y= 7.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求 a(x一h)2+k之间的关系 抛物线y=2x+4.x一4的顶点坐标”，规则如 1.把二次函数y=x2+2x一6配方成顶点式 下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一 为() 步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解 A.y=(x-1)2-7 B.y=(x+1)2-7 答.过程如图所示： C.y=(x十2)2-10D.y=(x-3)2+3 老师 甲 乙 丙 =2x244-4=2-2x-2 =2-2+1-3=x-1-3 2.把二次函数y=-(x十3)2十11化为y ax2十b.x十c的形式，正确的是( :顶点坐标(-1.-3： A.y=-x2+20 B.y=-x2+2 接力中，自己负责的一步出现错误的是( C.y=-x2+6.x+20D.y=-x2-6.x+2 A,只有丁 B.乙和丁 3.把二次函数y=x2一5.x十8化为y=a(x C.乙和丙 D.甲和丁 b)+k的形式，下列结果正确的是() 8.当一1≤x≤3时，二次函数y=x2一4x十5有 A=e++ ay=(-8)°+7 最大值m,则m cy-(+》-?ny=(-- 9.已知二次函数y= 1x22x十22、】 (1)求出抛物线的顶点坐标. 4.将二次函数y=0.5x2-x一0.5配方成y (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出它 a(x一h)十k的形式，则下列判断错误的 的图象 是( (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？当 A.a=0.5 B.h=-1 x取何值时，y随x的增大而减小？ C.h=1 D.k=-1 r-c-r-r-r 5.二次函数y=ax2一4x可化成y=2(x十 4 m)2+k的形式，则m十k= 稻区化成y=a(x一h)+k的形式时，漏掉 43202345 二次项系数 2x2+x-4 6.已知抛物线y=一 L.t.t..-4.1.1.1. (1)化成y=a(.x-h)+k的形式为 (2)顶点坐标为 (3)当x 时，y有最 值， 为 (4)当x 时，y随x的增大而增大 一九年级上州数学科河北用 38 第2课时二次函数y=ax2+bx十的图象和性质（答案P10) 通基础 6.已知二次函数y=x2一4x+3. (1)在如图所示的平面直角坐标系中，用描点 知识点1用顶点坐标公式求二次函数y=a.x2十 法画出这个函数的图象，并写出函数图象的顶 bx+c的对称轴和顶点坐标 点坐标. 1.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)通过配方可 (2)根据图象，直接写出： 化为y=a+) Aac-b2 ①当函数值y为正数时，自变量x的取 2a 的形式，它的对 值范围。 称轴是 ,顶点坐标是 ②当1<x<3时，函数值y的取值范围. 当x= 时，函数达到最大值(a<0)或最小 2a 值(a>0)是 4-3-2-10 1234 2.二次函数y= 2x2-7x+ 1 的图象的对称 轴是 ,顶点坐标是 知识点2二次函数y=ax2十bx十c的图象和 性质 3.几何直观二次函数y=x”一3.x十1的图象大 致是( 知识原3二次函数y=ax2十bx十c的图象 变换 7.将抛物线y=2x2-6x+21先向左平移2个 1 单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到 新抛物线的解析式为( 1 A.y=2x-8)2+5 4.在二次函数y=x2一2x一3中，当-1≤x≤2 1 时，y的最大值和最小值分别是( B.y=2(x-4)2+5 A.0,-4 B.0,-3 1 C.y=2(x-8)2+3 C.-3,-4 D.0,0 1 5.(2023·邯郸模拟)已知点A(n一2，y1),B(n, D.y=2x-4)+3 y2)在二次函数的y=一x2+2x十3图象上， 8.将抛物线y=(x一3)十k先向右平移1个单 若y,<y2,则n的取值范围为( 位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛 A.n≤1 B.n<2 物线的函数解析式为y=x2一8x十14，则k的 C.1<n<2 D.n>2 值为 39 优十学海课的强 知识点4二次函数y=ax2+bxr十c的图象与 a,b,c的关系 15.阅读理解◆如图①所示，已知抛物线L,:y 9.推理能力已知二次函数y=a.x2十bx十c的 2x2-8.x十4与y轴交于点C,设点C关于 图象如图所示，则下列结论正确的有( ①abc<0; L:的对称轴对称的点为D. ②2a+b=0: (1)求L:的顶点坐标和点D的坐标. ③4a+2b+c>0: (2)如图②所示，若抛物线L1的顶点A在抛 ④a+b≥m(am+b)(其 物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L 中，m为任意实数). 上（点A,B不重合），我们把这样的两条抛物 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 线L1,L:互称为“伴随抛物线” 10.一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+ ①求以点D为顶点的L的“伴随抛物线”L bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能 的函数解析式，并指出L3与L:中y同时随 是( x增大而增大的自变量的取值范围.。 ②将①中的L:和L4组成的图形记为G.若 水0 直线y=kx将G上的整点（横、纵坐标都是 整数)平分，求k的取值范围。 图对a的值没有分情况讨论而致错 11.已知二次函数y=一x2十2x一3，当自变量x 的值满足a一3≤x≤a十2时，与其对应的函数 值y的最大值为一3，则a的值为 通能力》9292 12.二次函数y=a.x2十 b.x十c的图象如图所示， 有如下结论： ①abc>0:②2a+b=0: ③3b-2c<0: ④am2十bn≥a十b(m为实数). 其中正确结论的个数是( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 13.在二次函数y=ax2+2a.x十4(a<0)的图象 上有两点（一2，y1),(1,y2),则y1 ya 0.(填“>”“<”或“=”) 14.在平面直角坐标系中，已知A(一1，m)和 B(5,m)是抛物线y=x2+bx十1上的两点， 将抛物线y=x2十bx十1向上平移 n(n是正整数)个单位长度，使平移后的图象 与x轴没有交点，则n的最小值为 九年级上组数学：购河花用 40 专题三二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 (含课程标准新增内容)（答案P10》 类型1根据系数特征判断二次函数图象 1.如果a<0,b>0,c>0,那么二次函数y=a.x2+ bx十c的图象大致是( 类型2利用二次函数图象判断有关代数式的 符号 5.在平面直角坐标系中，二次函数y=a.x2+ bx十c的图象如图所示，则下列结论正确的 2.已知ac<0,则二次函数y=a.x2+bx十c的图 是() 象可能是( A.a>0 B.b>0 C.a-b+c>0 D.a+b+c<0 4-3-2-61234 2 第5题图 第6题图 3.新视野》在下列图象中，有一个可能是函数 6.在平面直角坐标系xOy中，点A(一1,2)， y=ax2十bx+a十b(a≠0)的图象，它 B(2,3),y=a.x2的图象如图所示，则a的值可 是( 以为( A.0.7 B.0.9 C.2 D.2.1 7.如图所示，二次函数y=a.x2+bx+c(a>0)的 图象与x轴交于A,B两点，与y轴正半轴交 于点C,它的对称轴为直线x=一1，则下列说 法中正确的是() A.abc<0 B.4ac-b2>0 C.c-a>0 4.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx十m D.当x=n(n为任意实数)时， 和函数y=一m.x十2x十2(m是常数，且m≠ n2+2n≥-1 0)的图象可能是() 优十学海课的强一 8.(2023·廊坊安次区模拟)小轩从如图所示的 钳类型4根据对称轴完善抛物线 二次函数y=a.x十bx十c(a≠0)的图象中，观 12.(2023·湖南株洲中考)如图所示，直线1为 察得出了下面五条信息：①abc<0:②a十 二次函数y=a.x十b.x十c(a≠0)的图象的对 3 b+e<0:③b+2c>0:④4ac-b>0:⑤u=2b. 称轴，则下列说法正确的是( A.b恒大于0 其中正确的信息有( B.a,b同号 C.a,b异号 D.以上说法都不对 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图所示，已知二次函数y=a.x2十b.x十c的图 第12题图 第13题图 象与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于C 13.如图所示是二次函数y=a.x2十bx+c的图象 点，OA=OC,则下列结论中错误的是( 的一部分，图象过点A(3,0),二次函数图象 的对称轴为直线x=1,给出下列结论：①b“> 4ac:②bc<0:③2a+b=0:④a+b+c=0: ⑤当一1<x<3时，y<0.其中正确的是() A.②③⑤ B.①③ A.abc0 B.4ac-b2>0 C.②③ D.①④⑤ C.a-b+c>0 D.ac+b+1=0 14.推理能力》已知二次函数y=a.x2十bx+c (α≠0)的部分图象如图所示，抛物线的对称 类型3利用函数对称轴判断参数的取值或 范围 轴为直线x= ，且经过点(-1,0)，下列结论 10.若二次函数y=-2x-m)+3,当r≤2 错误的是( 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围 为() A.m=2 B.m>2 C.m≥2 D.m≤2 A.3a+b>0 11.已知二次函数y=(x一h)2十1(h为常数)在 自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其 B若点(2y,(侵)是抛物线上的两 对应的函数值y的最小值为5，则h的值 点，则y>y 为() C.10a+c>0 A.1或-5 B.-1或5 D.若y≤c,则0≤x≤3 C.1或-3 D.1或3 -一九年级上塑数学：对河北雪用 42 第3课时用待定系数法求二次函数的解析式（答案P10) 通基础 4.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水 管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水 知识点1用“一般式”求二次函数的解析式 平距离为，米，在如图所示的平面直角坐标系 L.若y=ax2十bx十c,由下列表格的信息：可知 y与x之间的函数解析式是 中，这个喷泉的函数解析式是( Ay=-(x-2+3 ar2 ax2+bx+c 8 3 By=-3+2)+3 2.教材P57复习题T6变式如图所示，已知抛物 Cy=-12(x-2}'+3 线y=x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,-3) 两点 Dy=-12(+2)'+3 (1)求抛物线的函数解析式和顶点坐标， 3 (2)当0<x<3时，请直接写出y的取值范围. 5.若二次函数在x=时，有最小值-，且函数 的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式 为 知识点3用“交点式”求二次函数的解析式 6.抛物线的图象如图所示，根据图象，可知抛物 线的函数解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y--1 .1 x2+2-1 21 C.y=-r 2x+1 D.y=-x2+x十2 7.已知抛物线与x轴交于点A(一3,0)，对称轴 是直线x=1,且过点(2,5)，求抛物线的函数 知识点2用“顶点式”求二次函数的解析式 解析式. 3.应用意识》若二次函数的图象的顶点坐标为 (2,一1)，且抛物线过(0,3)，则二次函数的解 析式是() A.y=-(x-2)2-1 &y=-2-22- C.y=(x-2)2-1 D.y=2a-2y2-1 43 优十学海课的强一 镯国只考虑二次函数图象开口向上的情况， 漏掉开口向下的情况 12.如图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标 8.抛物线y=a.x2+bx十c与x轴两个交点为 是(0，n)(n≠0).抛物线1的顶点是(1,0)，并 (一1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y=2x相 且经过点P,点A,B,C的坐标分别为(3,2)， 同，则抛物线解析式为 (2,-1),(3,-1) 通f能力》29992909323>99309> (1)当抛物线1过点A时，求此时抛物线的 9.已知一条抛物线经过E(0,10),F(2,2),G(4, 函数解析式及点P的坐标 2),H(3,1)四点，选择其中两点用待定系数法 (2)若存在一条新抛物线'，它与抛物线1的 能求出抛物线解析式的为( 形状完全相同，只是开口方向相反，并且经过 A.E.F B.E.G C.E.H D.F.G 点A和第(1)问中的点P,求新抛物线'的函 10.运算能力》如图所示，抛 数解析式，并求出新抛物线'的顶点坐标 物线y=a.x2+bx+4经 (3)若抛物线l经过△ABC区域（含边界），请 过点A(-3,0),点B在 求出n的取值范围. 抛物线上，CB∥x轴，且 AB平分∠CAO.则此抛 物线的解析式是 11.(2023·衡水景县二模)如图所示，已知二次 函数y=a.x2+bx+c的图象过点A(1,0), B(-3,0),C(0,-3). (1)求此二次函数的解析式. (2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积 为6，求点P的坐标。 一九年级上用数学科河北用 44