21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&阶段检测1(21.1～21.2)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

“21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (课程标准变动为考查内容)（答案P4) 7.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+ m2十m=0. 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不等的 两根之积 实数根。 1.(2023·保定定州期中)已知x1,x2是一元二 (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十b)· 次方程2x2一4x十1=0的两个实数根，则 (a+2b)=20,求m的值. x1·x2等于() A.-2 B.-2 c D.2 2.新视野关于x的方程x2+bx十c=0的两根 为1和一2，则b,c的值分别为() A.b=1,c=-2 B.b=-1,c=-2 团用根与系数的关系时忽视隐含条件 C.b=3,c=2 D.b=-3,c=2 “△≥0” 知识点2利用根与系数的关系求相应代数式 8.关于x的方程x2+(a十1)x十a2=0的两根互 的值 为倒数，则a= 3.若一元二次方程x2一x一2=0的两根为x1, x2,则(1+x1)十x2(1-x1)的值是( 通能力》999>299>92299 A.4 B.2 C.1 D.-2 9.(2023·邯郸邯山区一模)一元二次方程x2 4.已知x1,x2是方程2x2一3x一1=0的两根，则 3x一1=0与x2一x+3=0的所有实数根的和 x十x2= 等于() 知识点3利用根与系数的关系求方程中待定 A.2 B.-4 C.4 D.3 字母的取值或取值范围 10.推理能力若一个菱形的两条对角线长分别 5.已知x1,x2是关于x的方程x2+bx一3=0的 是关于x的一元二次方程x2一10x+m=0 两根，且满足x1十x2一3x1x2=5,那么b的值 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边 为() 长为() A.4 B.-4 C.3 D.-3 A.3 B.23 C.√/14 D.2/14 6.若关于x的一元二次方程x2+2x十1一2m=0 11.已知关于x的一元二次方程mx2一(m十2)x十 有两个实数根，且这两个实数根之积为负数， =0有两个不等的实数根工1，x.若】十 则实数m的取值范围是() 4 A.m≥0 Ba>号 =4m,则m的值是( T2 A.2 B.-1 C.0<m<2 C.2或-1 D.不存在 13 优十学维课时通 12.设a,b是方程x2+x一2024=0的两个实数 16.已知关于x的一元二次方程x2十(2m+ 根，则a2+2a十b的值为 1)x+m2-2=0. 13.若矩形的长和宽是关于x的方程2x2 (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整 16x十m=0(0<m≤32)的两根，则矩形的周 数值. 长为 (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1一 14.已知关于x的一元二次方程x2一4x+m x2)2十m2=21,求m的值. 1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2一x1 x2>2,则m的取值范围是 15.在解方程x2+px十q=0时，小张看错了p, 解得方程的根为1与一3；小王看错了q,解得 方程的根为4与一2. (1)求p和q的值. (2)设m,n是方程x2+px+q=0的两实数 根，不解方程求m2+2n2+n的值。 通素第》9399999999999999 17.运算能力已知关于x的一元二次方程x2= 2(1-m)x-m2的两实数根为x1,x2 (1)求m的取值范围. (2)设y=x:十x2,当y取得最小值时，求相 应m的值，并求出最小值。 一九年级上能数学：河北有司 14 阶段检测一(21.1~21.2)（答案P4) 一、选择题 7.(2023·唐山滦州期中)定义符号max{a,b}的 1.(2023·保定高碑店月考)若方程☐一3=x是 含义：当a≥b时，max{a,b}=a;当a<b 关于x的一元二次方程，则“口”可以是( 时，max{a,b}=b,如：max{3,1}=3,max{一3， A.-2x B.2 2}=2,则方程max{x,一x}=x2一6的解 C.2x2 D.y2 是() 2.已知x=1是一元二次方程(m一2)x2十 A.3或-3 B.3或1 4x一m2=0的一个根，则m的值为() C.3或2 D.1或-3 A.-1或2 B.-1 二、填空题 C.2 D.0 8.若n是方程2x2一3x一6=0的一个根，则 3.若一元二次方程x2一3.x=?有两个不等的实 2n2-3n+2023的值为 数根，则“？”所表示的数可以是( 9.在利用方程(x2+y2)2-3(x2+y2)-10=0 A.-4 B.-3 求x2十y2时，嘉琪令x2+y2=m,则原方程转 c-号 化为 ,聪明又谨慎的你可以 D.-2 利用m得到x2十y2的值为 4.关于x的一元二次方程mx2十5x+m2一 10.若正数a是一元二次方程x2-5x十m=0的 2m=0的常数项为0，则m的值为() 一个根，一a是一元二次方程x2+5x一m=0 A.1 B.2 的一个根，则a的值是 C.0或2 D.0 11.(2023·邯郸武安模拟)已知x1,x2是关于x 5.(2023·石家庄二模)嘉嘉在解方程一2x2十 的方程x2十ax一2b=0的两实数根，且x1十 3x=8一x时，经过一系列的计算后得到x1= x2=一2，x1·x2=1,则a的值为 3 5 2x:=一2，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说： b的值是 三、解答题 “你这一看就不对，这个方程只有一个解.”请 12.用适当的方法解下列方程： 你根据以上叙述，判断下列结论正确的 (1)4(6.x-1)2=25; 是() A.嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了 B.淇淇说得对，因为b2-4ac=0 C.嘉嘉和淇祺的说法都不对，因为b2一4ac< 0,该方程无解 D.由b2一4ac>0可得该方程有两个解，但嘉 (2)x2-2.x=2x-1; 嘉的结果是错的 6.若a,B是一元二次方程3x2十2x一9=0的两 根，则已+g的值是( a 4 4 58 A.21 B.27 c. 27 D. 58 7 15 优十学维课时通 (3)x2+3x-2=0: (3)一元二次方程x2一4x一1=0有两个不等 的实数根x1和x2,用配方法解方程验证： x1十x2=4:x1x2=-1. (4)x(x-7)=8(7-x). 13.(2023·石家庄赵县月考)已知一元二次方程15.阅读理解◆阅读材料：若m2一2mn十2n2一 ax2+bx+c=0(a≠0). 8n+16=0,求m,n的值. (1)若满足a一b+c=0,则方程必有一个根 ,m2-2mn十2n2-8n+16=0, 为 ∴.(m2-2mn十n2)+(n2-8n+16)=0, (2)若a,b,c满足a-1+|b-2|+(c+ .(m-n)2+(n-4)2=0, 3)2=0,求一元二次方程的根. .m-n=0,n-4=0, ∴.n=4,m=4. 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y 的值， 14.探究拓展》教材再现：嘉琪同学用配方法推导 (2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整 一元二次方程a.x2+bx十c-0(a≠0)的求根 数，且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求边c 公式时，她是这样做的： 的最大值. ax2+bx+c=0(a≠0)， (3)若已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,求 4a2x2+4abx+4ac=0, a一b十c的值. 4a2x2+4abx+b2+4ac=b2, 2=b2-4ac. 若b2-4ac≥0时， 2ax+b=±√b2-4ac, 2a.x=-b±√b2-4ac, 西=6十合ac,b-6= 2a 2a 若b2一4ac<0时，此方程无实数根. (1)嘉琪同学步骤中横线上应填： (2)根据嘉琪同学步骤回答： ①一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有实 根的条件是 ②x1十x2= x1x2= 一九年级上带数学财河北有司 167.y2-5y+6=0 最小值1. x1=-W2,x2=√2x3=W3, 阶段检测一（21.1~21.2)】 x:=-3 1.C2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.2029 ·21.2.4一元二次方程的根与系数 1 的关系（课程标准变动为考查内容） 9.m2-3m-10=0510.511.24 1.C2.A3A+. 13 5.A6.B 12.解：(1)4(6.x-1)=25, 7.解：(1)证明：：△=[-(2m+1)]-4(m”十m) (6x-1)2=25 4 =4m2+4m+1一4m2一4m 7 =1>0, 6r-1-士号解得-，- ∴.无论m取何值，方程都有两个不等的实数根. (2)原方程整理为x2-4x十1=0. (2):该方程的两个实数根为a,b, a=1,b=-4,c=1, a+6=-二(2m+1D=2m+1,ab=m+m= .△=b-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0. 方程有两个不等的实数根 m2十m. .(2a+b)(a+2b) x=4生2_4生2g 2×1 2 =2土√5. =2a*+4ab+ab+2b* =2(a2+2ab+b2)+ab .x1=2+3,x2=2-3. =2(a+b)2+ab, (3)x2+3.x-2=0,.x2+3x=2. .2(a+b)2+ab=20, ,∴.2(2m十1)2十m2十m=20, +》-只+g 2 21 整理得m十m一2=0， 解得m1=一2，m:=1, 解得x,=17-3 2x=二7-3 2 ∴.m的值为一2或1. (4)x(x-7)=8(7-x), 8.19.D10.C11.A12.202313.16 .x(x-7)+8(x-7)=0. 14.3<m5 ∴.(x-7)(x+8)=0. 15.解：(1)根据根与系数的关系， .x一7=0，或x十8=0， 得9=-3×1=一3， 解得x1=7,x2=-8. p=-(-2+4)=-2. 13.解：(1)x=-1 则p的值为一2，g的值为一3. a-1=0, a=1, (2)由(1)得方程为x2一2.x一3=0， (2)根据题意，得b一2=0，解得b=2, .n2-2n-3=0..n-2n=3. e十3=0， c=-3, ,m十n=2,mn=-3, 则方程是x”+2x一3=0. ∴.m+2n”+pm=m2十2n2-2n=(m十n)°- 即(x+3)(x一1)=0， 2mn+n2-2n=4+6+3=13. ∴.x+3=0或x-1=0, 16.解：(1)根据题意，得△=(2m十1)°- .x1=-3,x2=1 4(m-2)≥0. 14.解：(1)(2ax+b) 解得n≥-9」 ,所以m的最小整数值为一2 (2)①6-4ac≥0②- aa (2)根据题意，得x1十x:=一（21十1)，x1xg= (3)x2-4x-1=0. m2-2. x2-4x=1, (x1x2)+2=21, x8-4.x+4=1+4, .(.x1十x)2-4x1x十m=21. (x-2)2=5, .(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21, 整理，得m2十4n一12=0，解得m:=2,m:=一6. x-2=士5，x1=2+5,x:=2-√5， 9 ∴.x1十xg=2+W5+2-5=4, ”m≥-4心m的值为2. x1x2=(2+5)(2-5)=2-(W5)2=-1. 17.解：(1)将原方程整理为x十2(m一1)x十m=0. 15.解：(1)x2+2xy+2y+2y+1=0, :原方程有两个实数根， .(x2+2.xy十y)+(y2+2y+1)=0, .△=[2(m-1)]2-4m2=-8m+4>≥0， .(x+y)+(y+1)”=0. 解得m<了 又(x+y)≥0，(y+1)≥0， .x+y=0,y+1=0, (2)x1x:为一元二次方程x2=2(1一m).r一m ∴.x=1,y=-1,.x-y=2. 的两实数根， (2).a2+b-6a-8b+25=0. 即x1x2为一元二次方程x2十2(m一1)x十n .(a-6a+9)+(b2-8b+16)=0, 0的两实数根。 ∴.(a-3)2+(b-4)2=0, 1 ∴y=x1十x2=-2m+2,且m≤2 ∴.a-3=0,b-4=0, a=3,b=4. 因为y随m的增大而诚小，故当m=2时，y取得 :三角形两边之和大于第三边， .c<a十b,即c<3十4， .c<7. 10.(1)(1100-x一750)(30+x÷50×10)=12000 又，c是正整数， ,.△ABC的边c的最大值是6， 0y-750(30+110Y×10)=1200 50 (3)a一b=4,.a=b十4.代人，得 (2)1050或950 (h+4)b+e2-6c+13=0. 11.解：(1)设每个月生产成本的下降率为x. (b2+4b+4)+(c-6c+9)=0, 根据题意，得400(1一x)2=361, (b+2)2+(c-3)°=0， 解得x1=0.05=5%,x:=1.95(不合题意，舍去) .∴.b+2=0,c-3=0, 答：每个月生产成本的下降率为5%. ∴.b=-2,c=3,a=2, (2)361×(1一5%)=342.95（万元）. ..a-b+c=7. 答：预测该公司4月份的生产成本为342.95万元. 21.3实际问题与一元二次方程 12.解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件， 第1课时传播问题和数字问题 1.B 依超意，得0斗230850. 2.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 根据题意，得1十x十(1十，x)x=144, 解得化二8： 整理，得x十2x一143=0， 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件. 解得x1=11,x:=一13（不合题意，舍去） (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80一m)件 答：每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑. B款钥匙扣. 3.A 依题意，得30m+25(80-m)≤2200， 3 解得m40. .解：1D(x-1)2x(x-1D 设再次购进的A,B两款钥匙扣全部售出后获得的 2)根据题意.得2x(r一1）=8. 总利润为元，则 =(45-30)m十(37-25)(80一m)=3m十960. 解得x,=8,x。=一7（不合题意，舍去） ,3>0,∴.随m的增大而增大， 答：共有8家公司参加商品交易会. ∴.当m=40时，取得最大值，最大值=3×40十 5.x2+(x+2)2=1006.627.68.C9.D 960=1080,此时80-m=80一40=40. 10.3,4,5611.144 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时， 12.解：(1)914 才能获得最大销售利润，最大销售利润是 (2)多边形的对角线可以有20条. 1080元. 设此多边形的边数为”， (3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售 由题意，得”(n一3) 利润为(a-25)元，平均每天可售出4十2(37一 =20 2 a)=(78-2a)件. 整理，得n-3n一40=0. 依题意，得(a-25)(78-2a)=90, 解得n1=8,n2=一5（不合题意，舍去）. 整理，得a2-64a十1020=0， 故多边形的对角线可以有20条，此多边形的边数 解得a1=30,ag=34. 为8. 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使 13.解：【探究1)315(2)2m-1D B款钥匙扣平均每天销售利润为90元. 第3课时几何图形问题 (3)设有x人参加聚会，根据题意，得 1.A2.(6+6w2)3.C4.C 2x(x-1)=190, 5.解：设扩建后广场的长为3.xm,宽为2xm.根据题 意，得3x×2.x×100+30(3.x×2x-50×40) 解得x1=20,x:=一19（不合题意，舍去）. 642000. 答：参加聚会的有20人. 解得x1=30,x2=一30（不合题意，舍去）. 【拓展】琪琪的思考对.理由如下： 所以3x=90,2x=60. 由题意知，从点O共引出m条射线， 答：扩建后广场的长为90m,宽为60m. 若共有20个角，则有2(m+1)m+2)=20. 630或32718号我号 解得m=一3土16 9.10或(10+10√2)10.C11.A 2 与m为正整数矛盾，所以不可能有20个角. 12.1)26(2)100+2m-12m（325 第2课时变化率问题和利润问题 13.解：(1)，点P的速度是2cm/s,点Q的速度是 1.C2.D3.D4.C I cm s, 5.解：(1)50-x202-2x 当t=4时，BP=2t=8cm,CQ=t=4cm, (2)根据题意，得(202-2x)x+100(50一.x)= ∴.AP=4cm,AQ=4cm, 6240. 解得x1=31,x=20. ∴SaAo=2X4X4=8(cm). ,最多可购买30箱A款洗手液， (2)设经过1秒，△APQ的面积是△ABC面积的 ∴.x=20符合题意. 一半. 答：该公司购买了20箱A款洗手液。 6.A7.D8.A9.10% 根粉题意，得号5am=名×号×12×8 5