21.2.2 公式法-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

21.2.2公式法 第1课时 一元二次方程的根的判别式（答案P2) 基础》% 通能力》%93%2992>9993% 知识点1一元二次方程的根的判别式 6.数材P17习题T4变式)已知b=a十c(a,b,c 1.已知关于x的方程x2+mx+1=0根的判别 均为常数，且c≠0)，则一元二次方程cx” 式的值为5，则m的值为( bx十a=0的根的情况是() A.土3 B.3 C.1 D.±1 A.有两个不相等的实数根 2.一元二次方程x2一x一3=0根的判别式的 B.有两个实数根 值为 C.有两个相等的实数根 知识点2利用根的判别式判断一元二次方程 D.无实数根 7.若关于x的方程x2一m.x十m=0有两个相等 根的情况 的实数根，则代数式2m2一8m+3的 3.(2023·邪台一模)老师设计了接力游戏，用合 值为 作的方式完成判断一元二次方程根的情况，规 8.推理能力已知等腰三角形ABC的一条边长为 则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一 7.其余两边的边长恰好是方程x2一2(m+1) 步计算，再将结果传递给下一人，最后完成判 x+m2+5=0的两个根，则m的值是 斯，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出 现错误的是( 9.若实数a,b满足|b一1|十√8-2a=0,且一元 二次方程kx2十a.x十b=0有两个实数根，则k 已知关于x的一元二次方 a=1. .△=b2-4= 程x2+4mx=3n2+1(Um≠0) =4m】 4nmr2-4×1× 的取值范围是 判断该方程根的情况 =3m2+1 3m2+1) 老师 10.探究拓展》已知关于x的一元二次方程 .4=-8m3-40 该方程尤 (a十c).x+2hx+(a-c)=0,其中a,b,c分 实数根 丙 别为△ABC三边的长 A.只有甲 B.甲和乙 (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC C.乙和丙 D.乙和丁 的形状，并说明理由. 知识点3利用根的判别式确定字母的取值或 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状，并说明理由 取值范围 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一 4.(2023·邯郸曲周模拟)在讲解一元二次方程 元二次方程的根。 x2一6.x十☐=0时，老师故意把常数项“☐”空 下了，让同学们填一个正整数，使这个一元二 次方程有两个不相等的实数根，则所填的值的 个数可能是() A.6个 B.8个 C.9个 D.10个 易固忽略二次项系数不为0 5.关于x的一元二次方程(m一1)x一4x一1=0 总有实数根，则m的取值范围是 优学条渊时色 第2课时 用公式法解一元二次方程（答案P2》 通基础> (2)x(x-4)=2-8x. 知识点。用公式法解一元二次方程 1.用公式法解方程-a.x2+bx一c=0(a≠0)，下 列代入公式正确的是( -b±√/b-4aX(-c) A.r= 2×(-a) B.x=b土v62-4ac 箱固记不住求根公式或混淆公式中的字母 2a 6.小明在解方程x2一4x=2时出现了错误，解答 C,x=b±vB-4ax(-c 过程如下： 2×(-a) ,a=1,b=一4，c=-2,(第一步) D.r=-b±B-4ac ∴.b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24.(第二 2a 步) 2.用公式法解一个一元二次方程的根为x -5土√/13 x=二4±24 (第三步) ,则此方程的二项式系数、一次项系 6 数、常数项分别为( .x1=-2十6，x=-2-√6，（第四步） A.6,5,1 B.3,5,-1 小明解答过程开始出错的步骤是() C.3,5,1 D.3,-5,1 A.第一步 3.关于x的一元二次方程a.x2+bx+c=0的两 B.第二步 -b+6+4 C.第三步 根分别为x1= T: D.第四步 -b-√b+4 ,下列判断一定正确的是( 通能力》9999999999992999% 2 A.a=-1 B.c=1 7.若一元二次方程x十b.x+4=0的两个实数根 中较小的根是m(m≠0)，则b+√b一16的值 C.ac=-1 D.￡=1 为( 4.已知关于x的一元二次方程ax十bx十c=0 A.m B.-m (如≠0)的一个根为-2+V2-4X1x(-) C.2m D.-2m 2×1 8.若方程x2十2m.x一3=0的二次项系数、一次 则4ac一b2 4a 项系数、常数项的和为0，则该方程的解 5.教材P11例2变式》用公式法解下列方程： 为() (1)2.x2-9.x+8=0: A.x1=3,x2=-3 B.x1=1,xg=-3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-1,x2=-2 一九年级上用敬学：以斑此到 8 9.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°， 13.解方程2x2+43x=22,有一位同学的解 BC=a,AC=b.以点B为圆心，BC的长为半 答过程如下： 径画弧，交线段AB于点D:以点A为圆心， 解：a=2,b=43,c=2W2, AD的长为半径画弧，交线段AC于点E.下列 ∴.b2-4ac=(43)2-4×2×2√2=32， 线段的长是方程x+2ax一b2=0的一个根 的是( x=-6±6=4ac=-43±32 Za 22 A.BC B.AD -6土2， C.EC x1=-W6+2,x2=-√6-2 D.AC 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误， 10.如果方程2x2一6.x十3=0较小的根为p,方 指出错误的地方，并写出正确的解答过程. 程2.x2-2.x一1=0较大的根为g,那么p+ 9= 山.如果22+1与4x-3x-5互为相反数，那 么x的值为 12.运算能力用公式法解下列方程： (1)3x2+5(2x-1)=0: 素第》9999999 14.已知2a+和】。都有意义，且a是整 v5-2a 数，试解关于x的一元二次方程x2一5 2) 22-3-1=0 x(a.x-2)-2. (3)3x2+20=2x2+8.x. 9 优拳痛渊时温即(x-1)=-3 .△ABC是直角三角形 Γ2 (3),△ABC是等边三角形，则a=b=c, 0. .(a十c)x+2bx+(a-c)=0可整理为2a.x+ 2ax=0..x2十x=0,解得x1=0,xg=-1. ∴方程无实数解。 第2课时用公式法解一元二次方程 10.解：当h=10时，10=15t一5t. 1.B2.C3.C4.-5 整理，得2-3+2-0-3+号-号-2 5.解：(1)a=2,b=-9,c=8,△=b2-4ae=81-64= t-)=(》 17>0.方程有两个不等的实数根x=9生7 2×2 9士17 1 4 t,=2,t2=1,即当时间为1s或2s时，小球能达 9+,=9厘 即x1 4 4 到10m的高度. 11.C12.C13.D14.115.二 (2)原方程整理，得x2十4.x一2=0，a=1,b= 16.解：(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的，正 4,c=-2,△=b2-4ac=4°-4×1×(-2)=24>0. 确解法如下： x2+2x-8=0. 方程有两个不等的实数根x=一4±2 2×1 ∴.x2+2x=8, x1=-2+√6，x2--2-√6. ∴.x2+2x十1=8+1，即(x十1)2=9， 4 2 则x十1=士3， 6.C7.D8.B9.B10.21.3或-3 ∴x=-1士3， 12.解：(1)方程整理，得3.x2+10x一5=0，a=3,b= x1=2,x:=-4. 10,c=-5,△=10°-4×3×(-5)=160>0，∴.方 (2).x2十2n.x-8n2=0. ,.x2+2n.x=8n2, 程有两个不等的实数根x=二10士160 2×3 .x+2.x+n2=8n2+n, .(x+n)=9n, -5士20，即x,=-5+20, -5-2/10 3 3 3 .x十n=士3n, ∴.x1=2n,x:=一4n. (2)a= 2b=-3,c=-1 17.解：a+2ab+2b2-4b+5 =a+2ab+b+b2-4b+4+1 4-6-4ac=(-32-4x2×(-1D=1>0, =(a+b)2+(b-2)2+1. ,方程有两个不等的实数根 .(a+b)≥0，(b-2)2≥0， ∴.当a=-2,b=2时，(a+b)2+(b-2)2+1的值 3士√11 =3士√11. 最小，最小值为1. 此时，方程a.x2+b.x十1=0为-2x2+2.x+1=0, 2x号 移项、二次项系数化为1，得x2一x=2 1 即x1=3+√1Π，x:=3-√/1Π. (3)原方程整理，得x-8x+20=0. 111 a=1,b=-8,=20, 配方，得x2一x+42十4' △=b2-4ac=(-8)2-4×1×20=-16<0,此方 -》- 程无实数根。 13.解：这位同学的解答过程有错误，利用公式法解一 元二次方程时，应先把一元二次方程化成一般形 于是有1一士圆 式，再确定a,b,c的值.该同学未把方程化为一般 2 形式就确定a,b,c的值，导致c的值不正确. 解得，=1十3 1-3 正确的解答过程如下： 2= 2 原方程整理为2x+43x-22=0, 21.2.2公式法 a=√2，b=43,c=-2W2, 第1课时一元二次方程的根的判别式 △=b-4ac=(43)2-4×√2×(-22)=64 1.A2.133.B4.B5.m≥-3且m≠1 0.方程有两个不等的实数根 6.B7.38.49.k4且k≠0 10.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： t=. -4v3士√64一43士8 =-√6±22， ,x=一1是方程的根， 2×w2 2、2 ∴.(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0. 即x1=-√6+22，x:=-√6-2√2. .∴.a+c-2b+a-c=0...a-b=0. 14.解：√2a十1和1都有意义. ∴.a=b,则△ABC是等腰三角形. 5-2a (2)△ABC是直角三角形，理由如下： .2a+1≥0,5-2a>0, :方程有两个相等的实数根， 1 5 ∴.4=(2b)-4(a+c)(a-c)=0, -2≤a<2 .4b2-4a3+4c2=0..a8=b2+c2, a是整数， 2 ∴.a的值可以为0,1,2 x十3=0， 当a=0时，方程为x2-5=x(0-2)-2, ∴.x1=1,x2=-3. .x2+2x-3=0, ④x2+3.x-4=0,(x-1)(x+4)=0,x-1=0,或 ∴.x1=-3,x4=1. x+4=0, 当a=1时，方程为x2一5=x(x一2)一2， ∴x1=1,x2=-4. .2x-3=0, 猜想：第2023个方程的根为x1=1, 此时方程不是一元二次方程， x2=-2023. 即此种情况不符合题意，舍去。 专题一 一元二次方程的解法 当a=2时，方程为x-5=x(2.x-2)-2, 1.B2.D ∴x2-2x+3=0, 3.解：(1)(x-2)=9, 此时，△=4-4×1×3<0， x一2=士3， ∴.方程x2-5=x(2x-2)一2无解， x-2=3或x-2=-3, 综上所述：当a=0时，方程的解是x,=一3， x1=5,x2=-1. x2=1:当a=2时，方程无解. (2).x-4x-5=0. 21.2.3因式分解法 x-4x=5, 1.C2.A3.D4.(.x-2)(x+3) x”-4x+4=5十4， 5.x+3=0(或x一1=0) (x-2)2=9, 6.解：(1)因式分解，得(x+3)(x-3)=0. 于是得x十3=0或x-3=0, x-2=±3， x-2=3或x-2=-3, .x1=一3，x2=3. (2)因式分解，得2(x-5)(x十3)=0. x1=5,.x2=-1. (3)(x十1)(x-3)=2.x-6. 于是得x-5=0或x十3=0， (x十1)(.x-3)=2(x-3), x1=5,x:=-3. (x+1)(x-3)-2(x-3)=0, 7.A8.B (x-3)(x+1-2)=0, 9解：(1)(x-2)=9」 25x-2= 7 5 (x-3)(x-1)=0, x-3=0或x-1=0, 17 3 所以x1=51:=5 x1=3,x:=1. (4)3x2+2.x-1=0, (2)x2-2x=2,x2-2x+1=3, a=3,b=2c=-1, (x-1)2=3,x-1=±3， ∴.b3-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, 所以x1=1十3，x2=1-3. (3)a=4,b=-5,c=-7, x= -b±VB-4ae_-2±6 2a 6 △=b2-4ae=(-5)2-4×4×(-7)=137>0.方程 。1 有两个不等的实根x= 5±√/1375±√/137 x1=3x=-1. 2×4 8 4.A 所以x,=5+137 5-√/137 5.解：(1)a=1,b=-5,c=4, 8 x:= 8 b3-4ac=(-5)2-4×1×4=9, (4)(x-√2)2+5(x-2)=0, = -(-5)±√5_5±3 (x-√2)(x-√2+5)=0. 2×1 2· x-√2=0或x-√2+5=0， 即x1=4,x:=1. 所以x1=√2，x1=2-5. (2)x2-2.x=15, x2-2x+1=16, 10.A11.C12.C13.114.4+22 (x-1)2=16, 15.解：(1)x2十2.x-8=0, x-1=4或x-1=-4, (x+4)(.x-2)=0, x1=5,x2=一3. x十4=0或x-2=0, (3)5.x2=4-2x, 解得x1=一4，.x2=2. (2)设一次项系数“☐”为b, .5.x+2x-4=0. 将x=-1代人x+bx-8=0, .a=5,b=2,c=-4, 得(-1)2-b-8=0, ∴.4=22-4×5×(-4)=84>0， 解得b=一7， -2±/84-1±√/21 = 即原题中系数“□”是一7. 2×5 5 16.解：(1)第n个方程为x2十(n一1)x一n=0. -1+√21 -1-√21 (2)①.x2-1=0,(x-1)(x+1)=0, x1= 5 5 x-1=0,或x十1=0， (4).x(.x-2)=2-x, x1=1,x:=-1. x(x-2)+x-2=0, ②x+x-2=0,(x-1)(x+2)=0, (x-2)(x+1)=0, x-1=0,或x+2=0, ,.x一2=0或x十1=0， x1=1x2=-2. 解得x1=2,x2=一1. ③.x+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x-1=0,或6. 3