专题02 与圆有关的轨迹问题（3重难点题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

专题02 与圆有关的轨迹问题 题型梳理 题型方法 题型一 几何法求轨迹问题 题型二 代数法求轨迹问题 题型三 相关点法求轨迹问题 题型方法 【题型一】几何法求轨迹问题 【例1】若是圆：的内接三角形，且，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，可得线段的中点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆，即可得出结论. 【详解】由题意,, ，，， 线段的中点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆， 线段的中点的轨迹方程是：. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知，，动点C满足．则面积的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】令，利用向量数量积的坐标表示及已知求动点的轨迹，结合圆的性质求面积最大值. 【详解】令，则， 所以，即， 由构成三角形，所以点轨迹为且， 要使面积最大，只需与边最远，即为， 所以最大面积为. 故选：A 【变式2】已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，令，可求出点坐标，根据两点之间线段最短可求解. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆， 故圆心是，半径为则点的方程是 令，因为， 所以， 则 所以，可得点 则.      【变式3】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知正方体的棱长为是侧面上的动点（含端点），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积关系得出，建系计算再结合弧长公式计算求解. 【详解】正方体的棱长为是侧面上的动点（含端点）， 因为满足，所以，所以， 如图建系，设，所以， 所以，则圆心为，半径为， 因为时，，所以，所以， 则点的轨迹弧长为. 故选：B. 【题型二】代数法求轨迹问题 【例2】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，半径为1，点.若圆上存在点，满足，则点的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据得到点的轨迹方程，利用圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】设，则，， 由，可得，整理得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上. 又在圆上，所以圆与圆有公共点，则， 设，则，解得. 所以点的横坐标的取值范围是. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先由，可以求出点的坐标，然后可转换成求的最小值即可，结合三角形三边关系以及定点到圆上点的距离的最值即可得解，注意取等条件是否满足. 【详解】如图，    设，因为， 所以，即， 此方程与圆表示同一个圆，故. 又，所以， 等号成立当且仅当点在线段上. 故选：B. 【变式2】（21-22高二上·江苏泰州·期末）已知，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】表示出、，根据题意，列出等式，化简整理即可得答案. 【详解】， 由题意得，所以 整理可得，即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用两点距离公式设点坐标化简计算即可； （2）假设存在，设线设点，利用圆的性质得，联立直线与圆方程利用韦达定理计算参数即可. 【详解】（1）设，则， 整理得； （2）设存在， 联立圆C方程有，整理得， 则，则， 此时弦PQ为直径的圆过原点， 即 ，即，符合题意； 即或. 【题型三】相关点法求轨迹问题 【例3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后根据题意建立等式化简即可. 【详解】设，由题可知 故选：D 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知点，若点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“相关动点法”求点的轨迹方程. 【详解】设，，因为为中点， 所以. 又在圆：上， 所以. 即为点的轨迹方程. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 【答案】 【分析】设平面内的动点，根据列式可得点的轨迹是为圆心，半径为的圆，即可求解周长. 【详解】设平面内的动点，由得， 所以， 化简得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以周长是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，M的轨迹是一个圆. 【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可； （2）画出图形，运用相关点法求解即可. 【详解】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆.    好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】解：设， M为线段的中点，， ， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故选:C. 2．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由切线的性质得点在以为直径的圆，将两个圆的方程相减即可得到公共弦所过的定点. 【详解】由题意，因为在直线，故设， 因为圆的两条切线，切点为， 所以， 则点在为直径的圆上，设圆心为，即是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方， 所以圆， 即，又因为， ，得，即， 所以，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围. 【详解】设动点，则， 化简得， 所以点的轨迹为圆， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C.    4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离都为3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意转化为两圆相交，求参数的取值范围问题. 【详解】到原点距离为3的点的轨迹方程为， 由题意可知，圆与圆有2个交点，即两圆相交， 所以，解得：或. 故选：B 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，说明直线与圆有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得. 【详解】设点，因， 由可得：， 化简得，即， 依题意，直线与圆有公共点， 故圆心到直线的距离， 即，化简得，解得：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查动点的轨迹方程的求法与应用，属于较难题.解题的关键有二：其一，要会利用所给等式通过设点，求出其轨迹方程；其二，正确理解轨迹方程表示的几何意义，学会等价转化解题. 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ABD 【分析】尝试让取不同的值，判断方程表示的曲线. 【详解】因为，所以： 当，如方程可化为，表示双曲线； 当时，方程化为：，表示直线； 当即时，方程可化为：，表示圆； 当时，方程化为：，表示直线； 当，如，方程可化为：，表示双曲线. 故选：ABD 7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知为定点，且，下列条件中能满足动点的轨迹为圆的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】建立平面直角坐标系，根据选项条件坐标代入化简可得轨迹方程，判断轨迹是否为圆即可. 【详解】如图所示，以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，    设，则. A项，若，则， 整理得， 以代，以代，方程不变， 故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点， 令，得；令，得； 所以该轨迹不是圆，故A错误； B项，由，得， 即， 整理得，即， 所以点的轨迹是表示以为圆心，为半径的圆，故B正确； C项，若，则， 即，所以点的轨迹为圆，故C正确； D项，因为，所以， 即，所以点的轨迹为直线，故D错误. 故选：BC. 8．（24-25高二上·江苏·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C．若圆与圆有唯一公切线，则 D．圆上存在两个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【分析】当时，可得直线定点判断A正确；设，由中点坐标公式得到点的坐标，代入圆方程化简可判断B正确；由可得C错误；求出圆心到直线的距离，再结合圆上的点到直线的最大距离和最小距离可得D正确； 【详解】对于A，当时，，所以直线过定点，故A正确； 对于B，设，由题意可得点的坐标为， 代入圆方程可得，即点的轨迹方程为，故B正确； 对于C，圆，圆， 因为两圆有唯一的公切线，所以两圆相内切，所以， 即，解得，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为， 因为，所以圆上存在两个点到直线的距离为2，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，点为圆上的动点，且满足，线段PQ的中点为，则线段MB长度的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的几何性质求出的最大值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 设点，连接，由为线段PQ的中点，得， 而，则，又，于是， 则，整理得， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，显然点在圆外， 线段MB长度的最大值为. 故答案为： 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知正四棱柱中，，．若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为 ；若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】（1）利用线面垂直关系，将转化为，可得点P形成的轨迹为四分之一圆弧； （2）先求点轨迹方程，再求出圆心角，最后求出弧长即可. 【详解】如图所示， 连接. 在正四棱柱中，平面， 由平面，则， 又底面是正方形，故， 又且平面， 所以平面，而平面， 所以，在直角中，， 则，又P是侧面上的一个动点， 故点P形成的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆弧， 所以其长度为； 如图所示， 在侧面内以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则设， 由，得， 化简得， 又因为P是侧面上的一个动点， 则点P形成的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 如图所示，    因为，所以，即圆心角为， 则弧长为， 故答案为：； 11．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得点的轨迹方程，再求得圆心到点M的距离的最大值，进而利用切线长定理即可求得的最大值. 【详解】当时，直线过定点，斜率 直线过定点，斜率， 由，可得两直线垂直； 当时直线与直线垂直. 综上，直线与直线总垂直. 则点在以为直径的圆上，圆心，半径为， 圆的圆心，半径为1， 则点M到圆心的距离的最大值为， 则 故答案为：7 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆O：，直线的方程为.若直线过定点P，点M，N在圆O上，且⊥，Q为线段的中点，求点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，设，由垂径定理和直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到方程，求出轨迹方程. 【详解】直线的方程为，即， 则有，解得，即点P的坐标为． 因为点M，N在圆O上，且⊥，Q为线段MN的中点， 则，设的中点，    由垂径定理得， 即， 化简可得，即为点Q的轨迹方程． 13．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）结合两点距离公式求轨迹方程即可； （2）根据圆中的弦长公式结合点斜式计算即可. 【详解】（1）设，则， 因为，则， 整理得， 即曲线的方程为：； （2） 不妨设，如上图所示，设曲线是以为圆心的圆， 由（1）知，半径为， 取中点C，则， 由，则， 即圆心到直线的距离，解之得或， 所以的方程为：或. 14．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解； （2）设点，，由得，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为， 它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为； （2）设，，由，得， 所以，又点在圆上，故， 所以，化简得的轨迹方程为 15．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将方程转化成即可求解； （2）分截距为和不为两类情况讨论即可； （3）设，，通过代入法即可求解； 【详解】（1）由，得， 令，得， 因此点的坐标为. （2）由（1）知点的坐标. 若截距为，即直线经过原点， 设直线方程为，则， 此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得， 此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （3）设，，则， 得到，所以， 又点在上，所以， 整理得， 故的轨迹方程为. 16．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列式计算即可得答案； （2）由两圆的方程可确定两圆内切，进而根据两圆内切列式计算即可. 【详解】（1）设，则，， 则， 整理得动点的轨迹方程为； （2）圆与只有一个公共点 则圆与圆内切或外切， 又圆的圆心在圆内， 所以圆与圆内切， 所以， 解得或3. 17．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出的坐标，利用代入法求得的轨迹方程. （2）设的中点为，连接，利用勾股定理列方程，化简求得线段中点的轨迹方程. 【详解】（1）设点， ，整理得， 点在圆上， ， 整理得点的轨迹方程为. （2）设的中点为，在中，， 设为坐标原点，连接，则， ， . 故线段中点的轨迹方程为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与圆有关的轨迹问题 题型梳理 题型方法 题型一 几何法求轨迹问题 题型二 代数法求轨迹问题 题型三 相关点法求轨迹问题 题型方法 【题型一】几何法求轨迹问题 【例1】若是圆：的内接三角形，且，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知，，动点C满足．则面积的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知正方体的棱长为是侧面上的动点（含端点），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【题型二】代数法求轨迹问题 【例2】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，半径为1，点.若圆上存在点，满足，则点的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（21-22高二上·江苏泰州·期末）已知，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 【题型三】相关点法求轨迹问题 【例3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知点，若点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离都为3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知为定点，且，下列条件中能满足动点的轨迹为圆的有（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C．若圆与圆有唯一公切线，则 D．圆上存在两个点到直线的距离为2 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，点为圆上的动点，且满足，线段PQ的中点为，则线段MB长度的最大值为 . 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知正四棱柱中，，．若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为 ；若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为 ． 11．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为 . 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆O：，直线的方程为.若直线过定点P，点M，N在圆O上，且⊥，Q为线段的中点，求点Q的轨迹方程． 13．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 14．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 15．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 16．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 17．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$